高考数学一轮复习-第一周-每日一练【含答案】

第一周

［周一］

1.(2023・保山模拟)如果复数讦变(其中i为虚数单位，6为实数)为纯虚数，那么1+历的模

等于()

A.^2B.2C.1D.A/3

答案A

解析由复数的运算法则得

2—bi(2一历)(1—2i)

l+2i=(l+2i)(l-2i)

(2-2b)+(-b-4)i2-2b~b-4-

=5

2—bi

因为复数二亍为纯虚数，

1+21

2—2b—h—4

所以二金=0且#°，解得6=1，

所以i+bi=i+i,所以|i+i|=4i

2.（2023•锦州模拟）已知实数无，y,Z满足为11尤=丫^且Tn：=ze*,若y>l,贝i|（

)

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>z>xD.y>x>z

答案D

解析由训11%=a"得,=1，①

z

1e己工

由ezln]=ze]得5=-f，②

In-

x

由①②相加得]+5=0，

因为y>l,e>>0,所以，<0,

又因为1>0,所以z<0；

yA，

因为£e=ieh,y>i，

所以百彳>0,即lnx>0,所以X>1；

令兀0=%一Inx(x>l),

则/(X)=l—：=F，

当x£(l,+8)时，f(x)>0,

所以火x)=x—Inx在(1,+8)上单调递增，

即会所以,息号即资，

令g(x)=£(x>D，

则g(x)=~丁——?(x>l),

pv声

当尤>1时，g'(X)>0,所以g(X)=］在(1,+8)上单调递增，所以由］>不，得到y>x.

所以y>x>z.

3.(多选)(2023•马鞍山模拟)已知函数式尤)及其导函数/(无)的定义域均为R,记g(x)=f(无),

若/弓一龙)，g(l+尤)均为奇函数，贝!1()

A.式0)=0B.g(0)=0

C.X-l)=/(4)D.g(—l)=g(4)

答案BD

解析因为/g—x)是定义域为R的奇函数，

所以了g—j=—/g+x),

即八一x)=—y(x+i),

所以［一八一x)r=f(x+i),

即/(—x)=f(x+1),

所以g(—x)=g(x+D，

又g(l+尤)为奇函数，

所以g(l+x)=­g(l—尤)，

当x=0时，g(l)=—g(l)=g(0),

即g(l)=0,g(0)=0,故B正确；

又g(一尤)=一g(l—x),

所以g(x)=—g(l+x),

故g(x+2)=—g(l+x)=g(x),

即函数g(x)的周期为2,

所以g(—l)=g(l)=O,g(4)=g(0)=0,

即g(—l)=g(4),故D正确；

由/七―x)为奇函数可知

1

-於+

2Xx),

即人x)的图象关于点6,0)成中心对称，

不妨取八x)=[cos7t(x—l),

则g(x)=—sin兀(X—1)满足周期为2,关于点(1,0)中心对称的条件，

因为穴0)=—1八―1)=[，火4)=_5,可知A,C错误.

4.(2023•福州模拟)利率变化是影响某金融产品价格的重要因素.经分析师分析，最近利率下

调的概率为0.6,利率不变的概率为0.4.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨

的概率为0.8,在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为0.4.则该金融产品价格上涨

的概率为.

答案0.64

解析由题意可知该金融产品价格上涨的概率为0.6X0.8+0.4X0.4=0.64.

5.(2023・沈阳模拟)己知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosC=c(3

—2cosA).

(1)求9b的值；

jr

(2)右A=y求sinC.

解(1)V2〃cosC=c(3-2cosA),

・・・由正弦定理得

2sinAcosC=sinC(3—2cosA),

2sinAcosC+2cosAsinC=2sin(A+C)=2sin5=3sinC,

b3

再由正弦定理得2b=3c,・・5=3.

(2)由⑴得2sin5=3sinC,

/.2sin(A+Q=3sinC,

即2sin停+0=3sinC,

sinC+小cosC=3sinC,

二•M5cosC=2sinC,

、历

又siNc+cos2c=1,sinC>0,sinC=^j~.

［周二］

1.（2023・湖北八市联考）已知两个非零向量a,6的夹角为60。，且。_1（。-2方），则阴［等

\2a—b\

于（）

A1R亚「叵D4

3-D•7.3JJ

答案c

解析因为非零向量a,8的夹角为60。，

且a_L（a—25），

所以a-（a—25）=0,

即同2-2|aM|cos60。=0,

化简得同=向，

|2a+Z>|7（2a+8）2

\2.a-b\q（2a—by

741al2+|砰+2同|『Fj^21

一、/41al2+|〃2—2同向一、/§―3'

2.（2023•丽水模拟）已知A（l,0）是圆。：$+/=，上一点，BC是圆。的直径，弦AC的中点

为D若点2在第一象限，直线A3,80的斜率之和为0,则直线的斜率是（）

A.—李B.—（

C.—y［5D.—2下

答案C

解析已知4（1,0）是圆。：/+：/=，上一点，

所以12+02=?=1.

设直线AB的斜率为左，则直线A3的方程为

y=k(x—V),

y=k(x—Y),

所以

x*2+y2=l,

则(l+A^r-ZQr+M—lnO,/>0恒成立,

2后出一1

所以无4+XB=1+F'•=]+,,

由于办=1,所以阴=]+F

则>B=HXB—1）=一盖，由于BC是圆。的直径，所以

则弦AC的中点D的坐标为

因为直线8。的斜率之和为0,

—2kk

、―l+—―1+K

所以kBD=产7J=——k,

1+—―1+庐

整理得的t2—5）=0,

解得左=0或左=力，又点3在第一象限，所以k—1,故左=—小，即直线A5的斜率是一

小.

兀Tl\

（A>0,ft»0,一1<9<引的部分图象如图

所示，则（）

A.«x）的最小正周期为兀

B.当工£一去时，段）的值域为一坐，坐]

TT

C.将函数兀0的图象向右平移合个单位长度可得函数g（x）=sin2x的图象

D.将函数/（尤）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关

于点管，0）对称

答案ACD

解析由图可知，4=1,函数式x）的最小正周期T=4X传一袭）=无，故A正确；

»27r127r2兀

由①>0，知幻=亍=—=2,

\CO\171

所以sin(2X?+,=l,

qrTT

所以1+9=2E+1kGZ,

71

即0=2防t+不kQZ,

又一为专所以夕=袭，

所以加)=sin(2尤+&),

对于B,当无G—?时，

_，兀「兀2兀1

2工+片［一予Tj>

所以sin(2x+^)e—坐，1，

所以武招的值域为一半，1,故B错误;

对于C,将函数五x)的图象向右平移专个单位长度,

得到g(无)=sin2［一看'，+方=sin2x的图象，故C正确；

对于D,将函数八%)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=

sing+3的图象，因为当天=期时，y=sin(^+^)=sinn=0,所以得到的函数图象关于点

管，0)对称，故D正确.

4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b(2—cosA)=cz(cos8+1),a+c

=4,则△ABC面积的最大值为.

答案小

解析由正弦定理可得sinBQ—cosA)=sinA(cosB+l),

即2sinB—sin8cosA=sinAcosB+sinA,

故2sin3=sinAcos8+sin8cosA+sinA

=sin(A+B)+sinA=sinC+sinA,

故2/?=c+〃=4,解得b=2.

由余弦定理可得b2=a2+c2—2accosB

=(〃+c)2—2QC(1+COSB),

即4=42—2dic(l+cosB),

解得«c=1+cosB-

又由基本不等式可得acW(中)2=4,当且仅当a=c=2时取等号.

故丁自箭4,即cos2斗

当且仅当〃=人=。=2时取等号，故5£(0,方.

u_「1.八3sinB

故S/\ABC="2^csmB=]+cosB

,.BB

6sin77cos^

ZZcD

一石=3tan,，

2cos弓~

天|e(0,方，故当畀热，SAABC取最大值小，此时a=6=c=2.

5.(2023・淮南模拟)如图，在四棱锥P—ABCZ)中，底面ABC。是梯形，AB//CD,BD=DC=

2AB=2,BDLCD,△尸8。是等边三角形且与底面垂直，E是棱抬上一点，AE=AEP.

⑴当PC〃平面EBD时，求实数/的值；

7T

⑵当/为何值时，平面EBD与平面PBD所成角的大小为％?

解⑴在四棱锥P—ABC。中，连接AC交8。于点F,连接EF,如图.

因为PC〃平面EB。，PCU平面B4C,平面H1CC平面EBO=EF,则PC〃E尸,

因为AB〃CZ),即△ABFs/^cZ)尸，

euAFAB1

因此EC—OC—7

由PC〃斯，得普=警=3，

于是％=;,

所以实数力的值为士.

(2)在四棱锥尸一ABC。中，取3。的中点。，连接P。，如图.

z

因为△尸8。是等边三角形且与底面垂直，则有P0_L8D,平面平面P0

U平面尸3。，从而尸0_L平面ABCD,过点。作。y〃CD,又BDLCD,所以Oy_LB。,

以。为原点，分别以08,Oy,。尸所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则4(1,-1,0),很(1,0,0),£>(-1,0,0),尸(0,0,回由崩=虚2>0),

,

得GT?~T+I

则靛=合-1，-£舒，

加=(2,0,0),

设平面踮。的法向量为加=（%,y,z）,

取z=l,得加=（0,5九1）,

平面PBD的一个法向量为“=（0,1,0）,

\m'n\71

则|cos[m,n)|=

V32^3

即・,解得2=1,

3乃+1-2

jr

所以当丸=1时，平面E3Q与平面P8Z）所成角的大小为5.

［周三］

1.（2023・长春模拟）已知等比数列｛斯｝的公比为g（q>0且qWl）,若。6+801=04+843,则4的

值为（）

A.1B.|C.2D.4

答案C

解析已知等比数列｛诙｝的公比为q（q>0且qWl）,若。6+841=44+843,

则。6—。4=8为一80,所以能”=4,\。：）=炉=8,解得4=2.

2.（2023•武汉调研升阅读下段文字：“已知噌为无理数，若（、/5）应为有理数，则存在无理数

°=6=小，使得/为有理数；若（、/5）应为无理数，则取无理数。=（、份）收，b=@此时

产产=（0）也第=（地＞=2为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是（）

A.（J5）也是有理数

B.（挺）也是无理数

C.存在无理数a,b,使得〃为有理数

D.对任意无理数a,b,都有升为无理数

答案C

解析这段文字中，没有证明（J5）友是有理数的条件，也没有证明（3）夜是无理数的条件，

A,B错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a,b,使得■为有理数”，

因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a,b,不涉及对任意

无理数a,6都成立的问题，D错误.

3.（多选）（2023•湖南四大名校联考）在四棱锥P-ABCZ）中，底面ABC。是矩形，AD=^2,

48=4尸=尸。=1,平面平面4BC。，点M在线段PC上运动（不含端点），贝心）

A.存在点M使得

B.四棱锥尸一ABC。外接球的表面积为3兀

C.直线PC与直线A。所成的角为方

D.当动点M到直线8。的距离最小时，过点A,D,M作截面交尸8于点N,则四棱锥P—

ADMN的体积是:

答案BCD

解析如图1,取的中点G,连接GC,PG,BD,GCCBD=H,贝PG_LA。，

因为平面E4O_L平面A8C£),平面E4£>n平面42c£)=A。，PGu平面胆。,

所以PG_L平面ABCD,又BDU平面ABCD,则PGLBD.

又因为tanZADB-tanZDGC=4^'S^=1,

LJU

所以GC±BD,

又PGCGC=G,PG,GCU平面PGC,所以BZ5_L平面PGC.

因为MG平面尸GC,A。平面PGC,所以不成立，A错误;

因为△APO为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面API）作为底面一部分，补成棱长为1的正

方体.如图2,则四棱锥尸一A8CO的外接球即为正方体的外接球，其半径R=半，即四棱

锥尸一4BCD外接球的表面积为3兀，B正确;

如图2,直线PC与直线AD所成的角即为直线PC与直线BC所成的角，即为?C正确;

如图1,连接（图略），因为BO_L平面PGC,当动点M到直线2。的距离最小时HA/_LPC,

y[6

由上推导知PG_LGC,GC12+

2，

小一DC1V6

cos/DCG—西一逅=3,

2

水

CH=DCcosZDCH=

3，

GH=GC—CH=

6，

PH=7PG2+GH2=

yl6

，方PH=CH,

因此M为PC的中点.如图3,由M为PC的中点，即为。。的中点，平面AZJM即平面A。。

、33

与BP的交点也即为QA与BP的交点，可知N为QA的中点，故VP-ADMN=^P-AQD=^Q-APD

311

=4X6=8,D正确.

图3

4.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川省成都市举行.有

编号为12,3,4,5的五位裁判，分别就座于编号为1,2,3,4,5的五个座位上，每个座位恰好坐一

位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为.

答案20

解析依题意，5人中选出2人，他们的编号与座位编号一致，有Cg种方法，剩余3人都不

坐与自己编号相同的座位有2种方法，由分步乘法计数原理得所求的坐法种数为2C?=20.

5.已知函数式的二加一Z?£R).

(1)若。=1,b=3,求函数兀0的单调递增区间；

(2)若Z?=0时，不等式/(x)W0在［1,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

解(1)由题意得x>0,u=1,b=3时,

j(x)=^—3x+lnx,

,,1(2x-l)(x-l)

fM=2x-3+-=---------------,

令f(x)>0,解得0<x<^>或x>l.

故«r)的单调递增区间为(0,£),(1,+8).

Qi/jRuaf+lnxWO在［1,+8)上恒成立，

即aW一当在区间［1,+8)上恒成立，

设g(:v)=—乎，x2l,

.21nx—1

贝M1Ig(%)=p，

令g'(x)>0,解得xM，此时g(x)单调递增，

令g'(X)<O,解得10〈、限此时g(x)单调递减，故g(X)min=g/)=一蚩故后一去，

即实数。的取值范围为(一8,一£

［周四］

1.(2023•浙江金丽衢十二校联考)设集合A={和ogzx<2},3={尤层<9},则等于()

A.(0,3)B.(-3,3)

C.(0,1)D.(-3,1)

答案A

解析由题意得4=(0,4),8=(—3,3),所以AC8=(0,3).

2.(2023・齐齐哈尔模拟)已知角a的顶点在原点，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点

，兀1JIJIjf\

plcosg—sing,cosg+singI,贝（Jtana等于（）

A.^2-1B.y/2+1

C.y/2D.2

答案B

71..71

cosg+sing

解析tana=^

71.71

cosg—sing

^cos^+sin1+sin^

）兀.,7T7C

cosg-singcosa

1+坐L

2

3.（多选）（2023•张家界模拟）下列说法中正确的是（）

A.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19

B.若随机变量。〜N（2,02）,且P（«4）=0.8,则P（24<4）=0.4

C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球.记

事件A="第一次抽到的是红球“，事件8=”第二次抽到的是白球”，则P（B|A）=5

D.已知变量x,y线性相关，由样本数据算得经验回归方程是:=0.4x+；且算得；=4,7

A

—3.7,则4=2.1

答案ACD

解析对于A,因为共有10个数，10X80%=8,所以这组数据的第80百分位数为18和20

的平均数，即为19,故A正确；

对于B,因为随机变量1f〜N（2,『），且尸（34）=0.8,

则尸（JW2）=O.5,所以尸（2<氐4）=0.8—0.5=03,故B错误；

Q\2plplA

对于C,由题意可知尸（A）=0=§,P（A8）=至您=正，

所以P（B|A）=今黑=春故C正确;

AA________A

对于D,因为经验回归直线y=0.4x+a经过点（％,y）,所以3.7=0.4X4+“，

A

解得a=2.1,故D正确.

4.（2023・永州模拟）已知双曲线Q：J-p=l（a>0,6>0）,圆。：％2+丁=〃+/与天轴交于

A,8两点，M,N是圆。与双曲线在无轴上方的两个交点，点A,M在y轴的同侧，且AM

交BN于点、C.若血+国=血+而V,则双曲线的离心率为.

答案事+1

解析由题意可知层+庐=。2,故不妨设A(—c,0),B(c,O),即为双曲线的焦点，\AB\=2c,

由血+加=血+而可得

OM=MA+ON-CN

^MA+OC^OA-OM+OC,

即2血=近+历，

故M点为AC的中点，根据双曲线的对称性可知N为8c的中点,

又因为8M_LAC,故=

同理|A8|=|4C|,

即△A8C为正三角形，

故|AM=W|4C|=c,\BM\^y[3c,

又点M在双曲线左支上,故IBM—c=2m则e=

:启=*+L

5.(2023•东三省三校模拟)已知数列｛四｝,设+一1…+"'(weN*),若｛小｝满足性质0：

存在常数c,使得对于任意两两不等的正整数i,j,k,都有(i-/')阿t+。一左)利+(左一i)巧=c,

则称数列｛。“｝为“梦想数列”.

(1)若为=2"("GN*),判断数列｛a｝是否为“梦想数列”，并说明理由；

(2)若c“=2〃-1(“GN*),判断数列｛以｝是否为“梦想数列”，并说明理由；

(3)判断“梦想数列”｛诙｝是否为等差数列，并说明理由.

解(1)由题意知，

(;-(j-(k-i)mj=c,

(j—(k—j)mi+(z—k)mj=c,

所以c=0,

14

当6"=2"时，mi=2,/n2=3,m3=~,

142

(1—2)X-^-+(2—3)X2+(3—1)X3=—gWO,

所以｛为｝不是“梦想数列”.

(2)Ci=2i—1,Cj=2j—1,Ck=2k—1,

九(ci+c〃)

c2-lH2

ci+金Sn2n

THn===，

nnnn

P；2j2

(，-+(7-%)]+(k-z)y—o,

所以｛金｝是“梦想数列”.

C人〃1+。2+。3,a\,。1+。2

(3)①令，=1,尸2,k=3,(1-2)------g-----+(2-3)y+(3-l)^—=0,

所以41+。3=2。2,即〃2,。3成等差数列，

②令i=l,j=2,k=n(n^3),

设S〃为数列｛斯｝的前〃项和,

ss9

(1—2)才+(2—ri)ai+(n—1)菱=0,

化简得25〃+(层-3ri)ai—n(n—1)^2—0,

2szi+1+(/-〃-2)〃i—n(n~\~1)。2=0,

两式相减得2斯+1+2〃〃1—2al—2〃〃2=0今即+1=〃1+〃(。2—。1),

所以斯=的+(〃-1)3—当n—1,2,3时也成立.

综上可得，“梦想数列”｛斯｝是等差数列.

［周五］

1.（2023•汕头模拟）已知集合人={1,3,a2},5={1,a+2］,且AU5=A,则〃的取值集合为

（）

A.{-1}B.{2}

C.{-1,2}D.{1,-1,2}

答案B

解析由题意可得a+2=3或〃+2=次，

若〃+2=3,此时。=1今4=1,集合A的元素有重复，不符合题意；

若〃+2=〃2,解得4=2或4=—1,显然〃=2符合题意，而4=-1,集合A的兀素

有重复，不符合题意，故。=2.

2.（2023•漳州质检）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模

型.如果物体的初始温度是劣,环境温度是仇，则经过tmin后物体的温度6将满足9=氏

+（仇一%）其中左是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有温度为90℃的

物体，若放在10℃的空气中冷却，经过10min后物体的温度为50°C,则若使物体的温度为

20℃,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5min

C.30minD.32.5min

答案C

解析由题意得50=10+（90—10）e」叱

即匕-1°%=；,,••女=^n2,

--In2

<9=0o+（^i—^o）e10,

由20=10+（90—10）e10得e10=点

即一2口2=lir1=-31n2,解得£=30,

1Uo

,若使物体的温度为20℃,需要冷却30min.

3.（多选X2023•南通模拟）直线/：mx+y—6加=0与圆<+产=4交于A,8两点，尸为圆上

任意一点，则（）

A.线段AB最短长度为2g

B.△AOB的面积最大值为2

C.无论相为何值，/与圆相交

D.不存在优，使NAP8取得最大值

答案CD

解析由直线/：mx+y-/机=0可知机（x—也）+y=0,该直线过定点E（陋，0）,

且直线斜率一定存在，

当OE±AB时，弦AB的弦心距最长，则AB的最短长度为2严$=2啦,

此时A8的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；

△AOB的面积为SAAOB=||OA\\OB\sinZAOB=2sinZAOB,

若△AOB的面积取到最大值，则NAOB为直角，

此时|。囿=让，|42|=2&，OE±AB,与题意矛盾，故B错误；

由于直线A8过定点E(g,0),E(y[2,0)在/+y2=4内，

故无论相为何值，/与圆相交，故C正确；

尸为圆上任意一点，假设当/与x轴垂直时，如图中虚线位置,

此时劣弧A3最短，当尸为劣弧A3与无轴的交点时，/AP8最大，但由于直线/斜率存在,

故直线取不到图中虚线位置，即不存在加，使NAPB取得最大值，故D正确.

4.(2023•青岛模拟)已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球

的表面积为.

答案

解析设圆锥母线长为/,由题意27txi=兀/,1=2,

圆锥内半径最大的球与圆锥相切，

作出圆锥的轴截面△出8,截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O,D,E是切点，如图,

易知尸。是圆锥的高，。在尸。上，

TT

由E4=2,BD=1得

7T17T

因此所以NOBD=^/DBP=q,

OD=BDtm»

5.(2023・沈阳模拟)在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积

极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平

台上同时开启了打折促销直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系.

(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数

据：

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天他等可能地从甲、乙

两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率

为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8,求小李第二

天去乙直播间购物的概率；

(3)某节日期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率

均为p(0<P<l)，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取5人，记5人中恰有2

人下单成功的概率为加)，求及)的最大值点po.

..rn(ad—bc)2

参考公式：N=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其x中"=a+6+c+”

Z2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如表所示：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)列联表如下:

直播间购物

用户年龄合计

选择甲公司选择乙公司

19—24岁401050

25—34岁203050

合计6040100

零假设为Ho：选择哪家直播间购物与用户的年龄无关.

根据列联表中的数据，经计算得到依据小

OUA4UAJUAJUD

概率值a=0.001的独立性检验，推断％不成立，即认为选择哪家直播间购物与用户的年龄

有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.

⑵由题设，小李第二天去乙直播间购物的样本点有(第一天去甲直播间，第二天去乙直播间),

(第一天去乙直播间，第二天去乙直播间)，

所以小李第二天去乙直播间购物的概率尸=0.5X(l-0.7)+0.5X(1—0.8)=025.

⑶由题意，设5人中下单成功的人数为X,

则X〜8(5,p),

所以加)=C劲2(1—p)3=10p2(l—p)3,

令g(?)=p2(]—p)3=p2—303+3p4-p5,

所以g'(p)=p(2—9p+12p2—5/J3),

令/?(/?)=2—9p+l2P2—503,

所以〃⑦)=一9+242一15P2

=T5(却2+|,

h'开口向下，且在(0,3上单调递增，在售，1)上单调递减，又〃(1)=〃(1)=0,

故当pe(o,|)时，h'(p)<0,/z。)单调递减；

当pe(1，1)时，勿(p)>°，〃⑦)单调递增；

由〃仔)=°，力(1)=0,

故当pe(0,D时，h(P)>。，即g'S)>。；

当pc(1,1)时，恤)<0,即g’(p)<0,

所以g(/7)在(0,1)上单调递增，在(|,1)上单调递减，

即加)在(0,|)上单调递增，在停，I)上单调递减，

所以加)max=/(|),即。o=|.

［周六］

1.(2023・烟台模拟)若复数z满足z(l+i)=2i,则|z|等于()

A./B.2C.y［3D.3

答案A

解析Vz(l+i)=2i,

.2i2i(l-i)2i~2i2.

•，z-l+i-(l+i)(l-i)-1-i2―1+人

|z|=-\/2.

2.(2023•丽水模拟)甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每

一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是()

A-6BlC-36D-36

答案C

解析记事件A="甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8"，由题意，两个人各有6种不同

的离开方法，故共有36种结果,

则事件A包含两人分别从2楼和6楼离开，3楼和5楼离开，均从4楼离开，共有2+2+1

=5(种)不同的离开方法，所以P(A)=4.

6

3.(多选)(2023•宁德质检)若(x—l)6=ao+ai(x+l)+a2(x+l)2+a3(x+l)3H---^a6(x+l),则

()

A.的=64

B.〃()+〃2+〃4+〃6=365

C.625=12

D.。1+242+3〃3+4〃4+5〃5+6〃6=—6

答案ABD

解析令x=-1,贝(](―1—1)6=。0,即〃0=64,故A正确；

令冗=0,则。()+。1+〃2+〃3+〃4+。5+。6=(0-1)6=1,

令x=-2,则ao—0+故—俏+。4—〃5+。6=(-2—1)6=729,

1+729

则。0+。2+。4+。6=2=365,故B正确；

(X-1)6=[(X+1)-2]6,

则7kI=C§(%+1)6r(―2次

令左=1,则〃5=C[(—2>=-12,故C错误；

由(X—1)6=QO+〃I(X+1)+〃2(%+1)2+〃3(l+1>+…+〃6(%+l)6两边求导，

得6(%—1)5=〃I+2〃2(X+1)+3〃3(X+IpH---F6〃6(X+I)5,

令x=0,贝11al+2^2+343+4〃4+5的+6〃6=6义(0—l)5——6,故D正确.

4.(2023•沧州调研)若函数y=/(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切

线互相垂直，则称函数y=«x)具有T性质.若函数g(x)=ox—]+bsinxcosx+ccos2^具有T

性质，其中a,b,c为实数,且满足〃+，=1,则实数〃+A+c的取值范围是.

答案[一也，也]

bcb^~\~c^

解析由题意可得，g(x)=〃x+1sin2x+]cos2%=ox+1sinQx+9).

于是g'(x)=a+ylb2+C2COS(2X+(p)=a+cos(2x+(p).

设切点分别为尸1(X1,M),尸2(以了2),

则由函数[=g。)具有T性质,可得g'(Xi)g'。2)=—1,

即[4+cos(2xi+9)][。+COS(2X2+9)]=—1,

整理得“2+[cos(2xi