四川省成都市某中学2025届高三年级上册入学考试数学试卷（含答案）

四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M={x\-x+x2<6},N={-2,—1,0,1,2},则MCN=()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0}D.[-1,0,1,2}

2.命题’勺久>0,/—x+4W0”的否定为()

A.V久>0,久2一万+4>0B.Vx<0,%2—%+4>0

C.>0,x2—x+4>0D.Vx<0,%2—x+4<0

3.已知向量五=(1,1),b=(0,t),若W10+26),则也|=()

A.苧B.1C.yf2D.2

4.已知圆C:(x—4)2+y2=*点M在线段比W3)上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为4

B,以4B为直径作圆C',则圆C'的面积的最大值为().

57r

A.7TB.27rc.yD.37r

5.若过点Qb)可以作曲线y=e%+i的两条切线，贝U()

A.eb+1<aB,ea+1<bC.0<b<ea+1D.0<a<eb+1

6.已知定义在正实数集上的函数〃)=《。丝"一》&°I*设屋氏。是互不相同的实数，满足

I5—\xf&x>16.

f(a)=/(/?)=/(c),贝Ijabc的取值范围为()

A.(16,25)B.(256,400)C.(64,100)D.(64,256)

7.设正四面体力BCD的棱长为2.则所有与此正四面体的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面

积之和为()

A.3B.4+73C.3+/3D./3

8.“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容

器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻

仓，且粒子经过n次随机选择后到达2号仓的概率为匕，已知该粒子的初始位置在2号仓，则Pio=().

1

2

3

A1Z1R511「工D乌

512512512D'128

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.二项式(口一§6的展开式中()

A.前三项系数之和为22B.二项式系数最大的项是第4项

C.常数项为15D.所有项的系数之和为0

10.已知函数/(%)=cos(2x-2@)(卬6(0,勃的图象与函数g(x)=sin(2久+⑴)的图象重合，贝！］()

A.g((p)=1

B.gO)的单调区间为(一曙)

C.直线x=弊g(x)的图象的对称轴

D.直线y=—/3(x-§+3是曲线y=g(x)的切线

11.设a,b是非零复数，Z1,Z2是方程/+ax+6=0的两个复根，且氏+z2|=||z1|一则以下说法错

误的是()

A.存在负实数九使得Z2=B.b是负实数

C.存在实数〃N4,使得a?=岫D.存在实数v<0,使得口2=讪

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知等比数列｛册｝为递增数列，且。3+。7=3,。2/8=2,则如=.

13.tan5°+tan10°+(2--\f3)tan5°tanl0°=.

14.设。是团4BC的外接圆的圆心，G是重心，CD是中线，且。G1CD,贝UsinC的最大值是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知团ABC的内角2、B、C的对边分别为a、b、c,已知cosAsinB=sinC—gsin4,a=2A/-2.

(1)求B;

(2)若回ABC的面积为2C，求c.

16.(本小题12分)

在如图所示的试验装置中，两个正方形框架2BCD,4BEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活

动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<

72).

c

（1）求MN的长；

（2）当MN的长最小时，求平面MM4与平面MNB夹角的余弦值.

17.（本小题12分）

小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，第无天的高度为“根，测得数据

如下：

为近似描述y与x的关系，除了一次函数甘=bx+a,还有夕=bQ+a和『=b/+a两个函数可选.

（1）从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y与x的关系，并求出其回归方程@保留到小数点后1位）；

（2）判断说法“高度从1000cm长到1001CM所需时间超过一年”是否成立，并给出理由.

£之1（%「幻（%—歹）_骞Li%叫一位歹

参考公式:b=X%（阳一盼2一£%*_疝2，

参考数据（其中3=/五,it—xf）：±=20,u=4,i=668,y=8,Yd=ixt—4676,E7=i数=140,

£7=1年=7907396,£理々%=1567,£；=1%%=283,£忆3%=56575.

18.（本小题12分）

已知6、尸2分别为椭圆C:务，=l（a〉b〉0）的左、右焦点，点P（竽,1）在椭圆C上，且回6PF2的垂心

sr^^2/65、

为耿丁，一》

（1）求椭圆C的方程;

(2)设4为椭圆C的左顶点，过点尸2的直线/叫椭圆C于0、E两点，记直线AD,AE的斜率分别为七，k2,若

用+电==",求直线，的方程.

(3)设d是从椭圆中心到椭圆在点Q处切线的距离，当Q在椭圆上运动时，判断d2|Q&||QF2l是否为定值.若

是求出定值，若不是说明理由.

19.(本小题12分)

已知函数/(%)=xlnx,

(1)判断g(x)=+/(久)的单调性.

11

(2)求函数h(%)=%1"+(1—x)ln(l—%),xE[0,1)的值域.

(3)证明|f(y)-/(x)|<\y-xl10<%<y<1.

参考答案

l.D

2.X

3.B

4.0

5.C

6.5

7.C

8.X

9.BCD

10.AD

ll.BC

12.2

13.2-0

14苧

15J?：(1)

由sinC=sin(i4+B)=sin^cosB+sinBcosA,

贝”有cosZsinB=sinZcosB+sinBcosA--sin^,

BPsinXcosB=-sinA,由ZE(0,兀)，故sinZH0,

故cosB=又Be(0,n),

故8=与；

(2)

由B=*a=2V-2,

故S回ZBC=1acsinB=|x2V-2x^-c=2V~3,

解得c=272.

16.解：（1）

以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，

贝|力(1,0,0),C(O,O,1),F(1,1,O),F(O,1,O),

因为CM=BN=a,所以M（各0,1-N岛，壶,0）,

\MN\-a2-V-2a+1=J(a-苧)+当口=苧时，|MN|最小，

此时，M,N为中点，则wQ,|,0)),取MN的中点G,连接4G,BG,

则G因为4M=2N,BM=BN,所以4G1MN,BG1MN,

C\Z，：424)/，

所以N4GB是平面MM4与平面MNB的夹角或其补角，

因为耐=(m，而=V-1

所以cos(就函=潟篇=V，

所以平面MM4与平面MNB夹角的余弦值是今

17.1?：⑴

由散点图可知，这些数据集中在图中曲线的附近，

而曲线的形状与函数y=Q的图象很相似，

因此可以用类似的表达式9=+a来描述y与x的关系，

即三个函数中亨=a的图象是拟合y与x的关系“最好”的曲线.

令u=C，则=根据已知数据，

得五=4fy=8,£7=13%=283,=?=i密=得0,

所以务=学卢=暮发=1^2.1,

£乙1雀-7/140-7x1628

又回归直线#=bu+a经过点(4,8),所以a=8—2.1x4=-0.4,

所以y关于工的回归直线方程为亨=2.1u—0.4,即产=2.1，亍—0.4；

(2)

说法”高度从1000CM长到1001cm所需时间超过一年”成立.

设其幼苗从观察之日起，第m天的高度为1000cm,

有1000=2.1布一0.4,解得小〜226939,

第?i天的高度为1001cm,

<1001=2.1/n-0.4,解得n《227393,

n-m=227393-226939=454天，

所以说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”成立.

18.1?：(1)

设&(—c,0)/2(c,0)，由团6PF2的垂心为H(孚》知1P4，

_5

故kF[H,kpFz=大寿一,市一=-1，化简得，y-C2=3>解得c=l，

—+c—"c

又因点P(竽,1)在椭圆C上，则靛+玄=1，

因尼—a2—1,故得赤7+。2_]—L解得a—2,b—V-3>

故椭圆C的方程为。+*=1.

4o

(2)

如图，由(1)知，4(—2,0),4(1,。)，若直线1的斜率不存在，

由对称性可得，七+七=0,不合题意；

若直线1的斜率为k,贝心的方程为y=k(x-1),

(y=k(x—1)

由12y2消去y得，(4炉+3)/一81%+4k2-12=o,①

+9=1

8k24k2-12

显然4>0,设。（%1，%）,£（%2，丫2），则无1+x2,%2=2

24k'+3t加+3

于是，七+七=黑+焉=华詈+华富=/1—亮+1一4）

%］十N%2十/%］十Z%2十/1］十/％2十乙

3(-8k^2+4)

=碓-得黑焉』=此一4d+3]=—t=—；,解得，k=7,

4/C2-1216k2

2'7+4i

4d+34廿+3

则直线，的方程为7久—y—7=0.

⑶

先来证明过椭圆C*+昌=1,（小〉”0）上一点QQo，y°）的切线方程为第+整=1.

由椭圆c：与+m=1,可得，4=1-4

1

当y>0时，y=几%求导可得：y'=

1_n1_n2x（）

••.当yo>。时，k=-冷。•=一裾X。.药=一密.克，

nu

二切线方程为y-yo=-森,微(％-沏)，

22222

整理为：nx0x+m2yoy=myo+nXg=mn,

两边同时除以病声得：等+缚=i.

mznz

同理可证：当<0时，切线方程也为老+警=1.

mznz

当y0=0时，切线方程为X=±爪满足等+警=L

综上，过椭圆上一点Q（xo，y0）的切线方程为零+等=L

依题意，设椭圆上的点Q（x0,y。），则过点QOo，yo）的切线方程为平+岑=1,

即3久0刀+4yoy-12=0,原点到切线的距离为d=।12"

J9亚+16兆J9必+4（12-3福）j48-3xg

由椭圆的第二定义，产£=£，则IQ&I="o+4|，同理IQ3I=抄0—4］,

卜o+2|a

则IQ&IIQBI=；1就一161=；（16-就），

故d2|Q0||QF21=-诏）=12为定值.

19.解：⑴

由题意9(久)=/(%+§-/(%)=(%+])E(%+2)-%ln%，其定义域为(0,+8)

则“(%)=In(%+3+1-(In%+1)=In(1+劫，

因%>0,故g'(%)=In(1+—>0,故g(%)在(0,+8)上单调递增

(2)

考虑"(%)=(1-；)x~e-ln(l

令“(%)=ln(l—%)+%,得〃(%)=1—,

当％e[0,1)时，〃'(%)=1-<o,故“(%)在[0,1)上单调递减,