2022-2023学年北师大版八年级数学上学期期末考试试题汇编：勾股定理（原卷版+解析）

专题01勾股定理

仁经、泉砒

勾股定理

1.（2022春•柳州期末）如图，在RtAABC中，ZC=90%AC=5,BC=12,则AB=（）

A.12B.13C.14D.15

2.（2021秋•凤翔县期末）如图，以RtAABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=杷,

则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.-C.3瓶D.3A/5

2

3.（2022春•哪阳区期末）小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知

口杯的内径6on,口杯内部高度95，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是（）cm.

A.9B.10C.11D.12

4.（2022春•琼海期末）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等

技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下

图形：在AABC中，ZACB=90°,图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到

三个正方形的面积分别为225、400、S,则S的值为（）

5.（2021秋•市北区期末）如图，在三角形ABC中，AB=AC=17,BC=16,点。为3c的中点，则点

。到AC的距离为（）

6.（2022春•北京期末）图1是第七届国际数学教育大会（/CME-7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的

直角三角形（如图2）演化而成的.如果图2中的。4,=A4=4A=3=44=1，那么Q4的长为（

）

A.VioB.4C.3D.272

二.勾股定理的证明

7.（2022春•泰江区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发

端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）

8.（2021秋•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,

已知大正方形面积为81,小正方形面积为16,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,请观察

图案，指出以下关系式中不正确的是（）

A.x2+y2=81B.x+y=\3C.2孙+16=81D.x—y=4

9.（2021春•抚顺期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与

形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

10.（2020春•高唐县期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在RtAABC中，AC=b,

BC=a,N4CB=9O。，若图中大正方形的面积为48,小正方形的面积为6,则（a+bf的值为（）

A.60B.79C.84D.90

11.（2020春•乳山市期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形MCD与正方形

EFGH.连接EG,相交于点。、与相交于点P.若GO=GP,则邈盛竺生的值是.

S正方形EFGH

D

B

12.（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形54。，绕其锐角顶点逆时针旋转90。

得AO4E,所以44E=90。，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而

四边形面积等于RtABAE和RtABFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.

三.勾股定理的逆定理

13.（2022春•靖西市期末）在AABC中，^AC2-BC2=AB2,则（）

A.ZA=90°B.ZB=9O0C.ZC=90°D.不能确定

14.（2022春•普兰店区期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A.6,7,8B.5,6,7C.4.5,6,7.5D.4,5,6

15.（2021秋•滨海县期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.1,B2B.5,12,13C.5,6,7D.7,24,25

16.（2022春•兴宁区校级期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,拒D.6,8,11

17.（2022春•凤泉区校级期末）满足下列条件时，AA5c不是直角三角形的是（）

A.AB=1,BC=2,AC=A/3B.AB2-BC2=AC2

C.ZA—NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

18.（2021秋•莱阳市期末）下列不能判定AABC是直角三角形的是（）

A.a2+b2-c2=0B.a:b:c=3:4:5

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.ZA+ZB=ZC

19.（2022春•廉江市期末）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（）

A.应，应，2B.5,7,11C.9,12,15D.15,20,25

四.勾股数

20.（2021秋•常宁市期末）下列各组数中，不是勾股数的一组是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.6,8,10D.5,12,13

21.（2021秋•揭西县期末）下列各组数中，是勾股数的是（）

A.1,y/5,2B.0.3,0.4,0.5C.8,15,17D.5,6,7

22.（2022春•曲靖期末）观察下面几组勾股数，并寻找规律：

①4,3,5；

②6,8,10；

③8,15,17；

@10,24,26；

请你根据规律写出第⑤组勾股数是.

23.（2022春•宁江区校级期末）下列各组数，是勾股数的是（）

A.B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

24.（2022春•来宾期末）阅读理解:如果一个正整数机能表示为两个正整数a,b的平方和，即加,

那么称机为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义

勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

五.勾股定理的应用

25.（2022春•惠州期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内

走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的路长为（）

26.（2022春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和3,然后把中点C向

上拉升8c机至。点，则橡皮筋被拉长了（）

D

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

27.（2022春•枣阳市期末）一个门框的尺寸如图所示，下列长x宽型号（单位：加）的长方形薄木板能从

门框中通过的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

28.（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9c加，内壁高

12cm.若这支铅笔长为18cm,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

29.（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面3E的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出

水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（

）

A.26尺B.24尺C.17尺D.15尺

30.（2021秋•中牟县期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去闹（读kun,

门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从

点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸,点C和点。到门槛AB的距离都为1尺（1尺=10寸），

则钻的长是（）

乡寸

门槛

图1图2

A.104寸B.101寸C.52寸D.50.5寸

六.平面展开-最短路径问题

31.（2022春•耶城区期末）如图，台阶阶梯每一£三高20加，宽30cm,长50。〃，一只蚂蚁从A点爬到3

点，最短路程是（）cm.

A.10屈B.50君C.120D.130

32.（2022春•长寿区期末）如图，长方体的底面边长分别为2c机和4c帆，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开

始经过4个侧面爬行一圈到达。点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm.

33.（2021秋•麦积区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为10c〃z,底面周长为24aw,在杯内壁离杯底3c%的点

3处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2c机与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处

到内壁3处的最短距离为c/n.（杯壁厚度不计）

34.（2021秋•福田区校级期末）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点3处有一滴糖浆，容器外A点处

的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5a〃，宽为3c机，高为4s,点A距底部匕”，请

问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A.3'^vicmB.IQcmC.5旧cmD.Jll3cm

35.（2021秋•高新区校级期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点尸在墙面上.若上4=AB=5

米，点P到距的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点3,它的最短行程是米.

优逡机洲噩Q

1.（2022春•威宁县期末）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,则AC边上的高的长为（

)

D.5

5

2.（2022春•景县期末）如图，在RtAABC中，ZACB=90°，点。是钻的中点，且。。=正，如果RtAABC

2

的面积为1,则它的周长为（）

■^5+1

B.6+1C.君+2D.75+3

2

3.（2021秋•船山区校级期末）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从

A点到3点只能沿图中的线段走，那么从A点到3点的最短距离的走法共有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

4.（2022春•莘县期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在RtAABC中，AC=b,

BC=a,ZACB=90°,若图中大正方形的面积为60,小正方形的面积为10,则（a+6）?的值为

5.（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形助C,绕其锐角顶点逆时针旋转90。

得S4E,所以N54E=90。，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形AfiFE面积相等，而

四边形ABFE面积等于RtABAE和RtABFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.

bD

6.(2022春嘀桥区校级期末)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从

3出发沿射线3C以kv〃/s的速度运动，设运动时间为f(s).

(1)求边的长.

(2)当AAB尸为等腰三角形时，求f的值.

7.(2021秋•密山市校级期末)已知：如图1,RtAABC中，ZACB=90°,。为AB中点，DE、DF分

别交AC于E,交BC于F,且D£_LDF.

(1)如果C4=CB,求证：AE2+BF2=EF2；

(2)如图2,如果C4<CB,(1)中结论4序+防2=所2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由.

8.(2022春•韩城市期末)已知：如图，四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB_L3C.求

四边形ABC。的面积.

9.(2022春•鼓楼区校级期末)如图，在AABC中，AD=15,AC=12,DC=9,点3是8延长线上

一点，连接至，若AB=20.求：AABD的面积.

BDC

10.（2022春•永定区期末）如图，一架梯子至长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米.

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

11.（2022春•慈溪市期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面A处，另

一端在地面3处，墙角记为点C.

（1）若AB=6.5米，3C=2.5米.

①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点3将向外移动多少米？

②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点3向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能,请说明理由；

如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.

（2）若AC=3C,则顶端A下滑的距离与底端3外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若

不等，请比较顶端A下滑的距离与底端6外移的距离的大小.

12.（2021秋•随县期末）如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为。，对角线为6,

长方形对角线为c.一只蚂蚁从A点爬行到C点.

（1）求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由；

（2）如果把右边的正方形由C沿EF翻转90。得到如图2所示的正方体相邻的两个面（实线表示），贝I蚂

蚁从A点到C点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明

交点的准确位置.（可测量猜想判断）

图2

专题01勾股定理

《隹翼泉砒题

勾股定理

36.(2022春•柳州期末)如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,则AB=(

A.12

【分析】根据勾股定理直接求即可.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：AB=yjAC2+BC2=^52+122=13.

故选：B.

37.(2021秋•凤翔县期末)如图，以RtAABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角

形.若AB=g,则图中阴影部分的面积为()

C.30D.3#)

【分析】根据勾股定理得到BC2+AC2=AB2=3，根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：由勾股定理得：BC2+AC2=AB2=(^)2=3,

则S阴影部分+|xc2=1(BC2+AC2+A52)=3,

故选：A.

38.（2022春•员耶日区期末）小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜

滑到杯里，已知口杯的内径6a〃，口杯内部高度9cM7,要使吸管不斜滑到杯里，下列吸

管最短的是（）ctn.

A.9B.10C.11D.12

【分析】连接AB,利用勾股定理求出AB的长，再比较大小即可.

【解答】解：如图，连接

3

由题意知，BC=6cm,AC9cm,

由勾股定理得，AB=7AC2+BC-=府+9』=3JB（aw）,

3历＜11,

故选：C.

39.（2022春•琼海期末）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方

程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数

学活动中，数学小组发现如下图形：在AABC中，ZACB=90°,图中以AB、BC、AC

为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S,

则S的值为（）

A.25B.175C.600D.625

【分析】由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,直接代入计算即可.

【解答】解：在AA5c中，Z4cB=90。，

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

.-.225+400=5',

，S=625.

故选：D.

40.（2021秋•市北区期末）如图，在三角形ASC中，AB=AC=17,BC=16,点。为8C

的中点，则点。到AC的距离为（）

【分析】连接AD，过点。作DE，AC于点E,根据已知和等腰三角形的性质得出AD，

和8=8,根据勾股定理求出4）,根据三角形的面积公式求出即可.

【解答】解：如图，连接A3,过点。作DELAC于点E,DE的长即为所求，

■：AB=AC,。为BC的中点，BC=16,

:.AD±BC,BD=DC=8,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD=4AC2-CD2=V172-82=15,

SMnc=2-AD2CD=-ACDE,

,-xl5x8=-xl7-Z）E,

22

解得。石=空

17

故选：D.

41.（2022春•北京期末）图1是第七届国际数学教育大会（/。跖-7）会徽图案，它是由一串

有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的.如果图2中的

=44=44=••==1,那么。4g的长为（）

A.VioB.4C.3D.2A/2

【分析】OA=I，根据勾股定理可得。4=炉力=应，€>%=«垃）2=6,找至U

。4=册的规律，即可计算的长.

【解答】解：:。4j=l,

由勾股定理可得=#+12=①,

04=«历+f=5

OAn='Jn,

=花=20.

故选：D.

二.勾股定理的证明

42.（2022春•泰江区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是

论证几何的发端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）

A.

【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断.

【解答】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，

-abH—cibH—/=一（6/+b）（a+b）,

整理可得储+k=02,

；.A选项可以证明勾股定理，

在5选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

4x—ab+C?=（a+,

整理得〃+/=。2,

选项可以证明勾股定理，

在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积,

4x—ab+(6-op=c~,

整理得4+〃=°2,

；.C选项可以说明勾股定理，

在。选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，

（67+b）~=ci~+2ab+b-,

以上公式为完全平方公式，

选项不能说明勾股定理，

故选；D.

43.（2021秋•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成

的正方形图案，已知大正方形面积为81,小正方形面积为16,若用x,y表示直角三

角形的两直角边（x>y）,请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）

A.尤?+>2=81B.x+y=13C.2;vy+16=81D.x—y=4

【分析】由题意］:①一②可得2肛=65记为③，①+③得到(x+y)2=146由

此即可判断.

【解答】解：由题意黑

①一②可得2孙=65③，

2孙+16=81,

①+③得x2+2xy+y2=146,

x+y=J146,

①③④正确，②错误.

故选：B.

44.（2021春•抚顺期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史

上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证

明勾股定理的是（）

【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可.

【解答】解：A>,：^ab+^c2+^ab=^（a+b\a+b）,

.•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、4xga6+c2=（°+。）2,

.•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C>>.,4x^aZ?+（Z>-<7）2=c2,

.•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

。、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

故选：D.

45.（2020春•高唐县期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在RtAABC

中，AC=b,BC=a,NACB=90。，若图中大正方形的面积为48,小正方形的面积

为6,则（°+bf的值为（）

A.60B.79C.84D.90

【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（6-。），再根据四个直角三角形的面积等于大

正方形的面积减去小正方形的面积求出2必，然后利用完全平方公式整理即可得解.

【解答】解：由图可知，（6-°）2=6,

4x1=48-6=42,

2

2ab—42,

（a+6）2=3-a）2+4ab=6+2x42=90.

故选：D.

46.（2020春•乳山市期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形

ABCD与正方形EFGH.连接EG,3。相交于点O、比）与相交于点尸.若GO=GP,

则$正方”的值是_2+夜

S正方形EFGH

D

B

【分析】先证明AB尸G3ABCG(ASA),得出PG=CG.设OG=PG=CG=x,则£G=2x,

FG=日,再由勾股定理得出3。2=（4+28）%2,即可得出答案.

【解答】解：•.•四边形£FGH为正方形,

...NEGH=45。,ZFGH=90°,

・.・OG=GP,

Z.GOP=ZOPG=67.5°,

ZPBG=22.5°,

又・・・NO3C=45。，

.*.ZGBC=22.5°,

:・ZPBG=NGBC,

•.♦NBGP=NBGC=900,BG=BG,

:.ABPG=ABCG(ASA),

:.PG=CG.

设OG=PG=CG=x,

・.・O为EG,BD的交点,

EG=2x，FG=0尤，

;四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,

/.BF=CG=x，

BG=x+0尤，

BC2=BG2+CG2=x\y/2+1)2+x2=(4+2友)/,

..S正…(4+2吁

=2+四,

S正方形EFGH("x)-

故答案为：2+尬.

47.（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC,绕其锐角顶

点逆时针旋转90。得AD4E,所以44£=90。，且四边形ACFD是一个正方形，它的

面积和四边形池在1面积相等，而四边形ABFE面积等于RtABAE和RtABFE的面积之

和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.

bD

【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形

ABEE面积等于RtABAE和RtABFE的面积之和，化简整理得到勾股定理.

【解答】解：由图可得：

正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=RtABAE和RtABFE的面积之和，

即S正方形ACFD=SABAE+,

22

.b=lc+（.+。）（6-。）

"~2C2

整理得：a2+b2=c2.

三.勾股定理的逆定理

48.（2022春•靖西市期末）在AABC中，AC2-BC2=AB2,贝！J（）

A.ZA=9O0B.ZB=90°C.ZC=90°D.不能确定

【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案.

【解答】解：•.•AC2-BC2=AB2,

:.AC2=BC2+AB2,

.-.ZB=90°.

故选：B.

49.（2022春•普兰店区期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A.6,7,8B.5,6,7C.4.5,6,7.5D.4,5,6

【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答.

【解答】解：A、•:62+72=85,82=64,

62+72*82,

.-.6,7,8不能作为直角三角形的三边长，

故A不符合题意；

B、•：52+62=61,72=49,

52+6?#7。，

.-.5,6,7不能作为直角三角形的三边长，

故5不符合题意；

C、4.52+62=56.25,7.52=56.25,

.-.4.52+62=7.52,

.­.4.5,6,7.5能作为直角三角形的三边长，

故C符合题意；

D、•.•42+52=41,6?=36,

.-.42+5。工62,

.-.4,5,6不能作为直角三角形的三边长，

故。不符合题意；

故选：C.

50.（2021秋•滨海县期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.1,百，2B.5,12,13C.5,6,7D.7,24,25

【分析】利用勾股定理逆定理进行判断即可.

【解答】解：A、12+（＞/3）2=22,能构成直角三角形，故此选项不合题意；

B、52+122=132,能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、52+62^72,不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

D、72+242=252,能构成直角三角形，故此选项不合题意.

故选：C.

51.（2022春•兴宁区校级期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,近D.6,8,11

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形.如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可.

【解答】解：A、42+52^62,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项

不符合题意；

B、22+32^42,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意;

C、12+12=（A/2）2,符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；

D、62+82^112,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.

故选：C.

52.（2022春•凤泉区校级期末）满足下列条件时，AABC不是直角三角形的是（）

A.AB=1,BC=2,AC=73B.AB2-BC2=AC2

C.ZA-ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可.

【解答】解：A.-.-12+（^）2=22,

AABC是直角三角形，不符合题意；

B、AB2-BC2=AC2,

AB2=BC2+AC2,即AABC是直角三角形，不符合题意；

C、ZA-ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

，NA=90。，即AABC是直角三角形，不符合题意；

D、•.•NA:N3:NC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,

;.NA=45。，4=60。，NC=75。，即AA5c不是直角三角形，符合题意.

故选：D.

53.(2021秋•莱阳市期末)下列不能判定AABC是直角三角形的是()

A.a2+b2-c2=0B.a:b:c=3:4:5

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.ZA+ZB=ZC

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是

90°即可.

【解答】解：A、由4+62一/=0,可得1+62=02,故是直角三角形，不符合题意；

B、32+42=52,能构成直角三角形，不符合题意；

C>•.•ZA:ZB:ZC=3:4:5,:.ZC=180°x—--=75°,故不是直角三角形，符合题意；

3+4+5

D.-.-ZA+ZB=ZC,.-.ZC=90°,故是直角三角形，不符合题意；

故选：C.

54.(2022春•廉江市期末)下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是()

A.忘，忘，2B.5,7,11C.9,12,15D.15,20,25

【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可.

【解答】解：A.v(V2)2+(^)2=2+2=4,22=4,

二(0)2+(0)2=22,

.♦.以虚，血,2为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.52+72=25+49=74,II2=121,

--.52+72^112,

.•.以5,6,11为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

C.-.-92+122=81+144=225,15?=225,

.-.92+122=152,

.•.以9,12,15为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.15?+202=225+400=625,25?=625,

.-.152+202=252,

.•.以15,20,25为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

四.勾股数

55.（2021秋•常宁市期末）下列各组数中，不是勾股数的一组是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.6,8,10D.5,12,13

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是

否等于最长边的平方.

【解答】解：A、22+32^42,不是勾股数，此选项正确；

B、32+42=52,能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；

C、62+82=102,三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；

D、52+122=132,是正整数，故是勾股数，此选项错误.

故选：A.

56.（2021秋•揭西县期末）下列各组数中，是勾股数的是（）

A.1,A/5,2B.0.3,0.4,0.5C.8,15,17D.5,6,7

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出

答案.

【解答】解：A1,02不是整数，不是勾股数；

80.3,0.4,0.5不是整数，不是勾股数；

C.82+152=172,是勾股数；

D.52+62^72,不是勾股数；

故选：C.

57.（2022春•曲靖期末）观察下面几组勾股数，并寻找规律：

①4,3,5；

②6,8,10；

③8,15,17；

@10,24,26；

请你根据规律写出第⑤组勾股数是12,35,37.

【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第〃组数,

则这组数中的第一个数是2（〃+1）,第二个是：“（"+2）,第三个数是：（〃+1）2+1.根据这

个规律即可解答.

【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（〃+1）；第二个是：«（n+2）；第三

个数是：S+lA+l.

所以第⑤组勾股数是12,35,37.

故答案为：12,35,37.

58.(2022春•宁江区校级期末)下列各组数，是勾股数的是()

A.B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

【分析】根据勾股数的定义：满足4+尸的三个正整数，称为勾股数判定即可.

【解答】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；

B,不是整数，故不是勾股数，不符合题意；

C、62+72^82,不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意；

D、52+122=132,能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；

故选：D.

59.(2022春•来宾期末)阅读理解：如果一个正整数能表示为两个正整数a,b的平方

和，即机="+/，那么称〃7为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；

②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是

广义勾股数.依次正确的是()

A.②④B.①②④C.①②D.①④

【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可.

【解答】解：①•.•7不能表示为两个正整数的平方和，

，7不是广义勾股数，故①结论正确；

@-.-13=22+32,

.•.13是广义勾股数，故②结论正确；

③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是

广义勾股数，故③结论错误；

22

④设叫="+火m2=c+d,

2222

则mt-m2-(a+b)-(c+d)

=a2c2+crd2+b2c2+b2d2

=(a~c~+b~d~+2abed)++b2c~—2abed)

=(ac+bet)。+(ad-be)2,

以/=儿或℃=61时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，

如2和2都是广义勾股数，但2x2=4,4不是广义勾股数，故④结论错误，

，依次正确的是①②.

故选：C.

五.勾股定理的应用

60.(2022春•惠州期末)如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷

径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的

路长为（）

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

【分析】利用勾股定理求出4?的长，再根据少走的路长为计算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=V62+82=10（m）,

少走的路长为AC+8C-AB=6+8—10=4（租），

故选：D.

61.（2022春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和3,

然后把中点C向上拉升8cm至。点，则橡皮筋被拉长了（）

zTD\

~C铲X

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

【分析】根据勾股定理，可求出4）、皮）的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离.

【解答】解：根据题意得：AD=BD,AC=BC,ABVCD,

则在RtAACD中，AC^-AB^6cm,CD=8cm；

2

根据勾股定理得：AD=VAC2+CD2=V62+82=10（cm）；

所以AD+BO—ABuZAD—ABuZO—lZuSCcm）；

即橡皮筋被拉长了8cm；

故选：C.

62.（2022春•枣阳市期末）一个门框的尺寸如图所示，下列长x宽型号（单位：加）的长

方形薄木板能从门框中通过的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可

得出答案.

【解答】解：薄木板不能从门框内通过.理由如下：

连接AC,则AC与AB、3c构成直角三角形，

Ilm-

根据勾股定理得AC=VAS2+BC2=A/12+22=A/5«2.236>2.2.

只有2.9x22薄木板能从门框内通过,

故选：A.

63.（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,

内壁高12s.若这支铅笔长为1862,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（

)

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度.然后求其差.

【解答】解：根据题意可得图形：AB=12cm,BC=9cm,

在RtAABC中：AC=yjAB2+BC2=V122+92=15（cm）,

所以18-15=3（cm）,18-12=6（51）.

则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm~6cm之间.

观察选项，只有选项。符合题意.

故选：D.

64.（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根

芦苇，它高出水面2尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,

则这个芦苇的高度是（）

A.26尺B.24尺C.17尺D.15尺

【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程

x2+82=（x+2）2,再解即可.

【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：

/+8?=（x+2）2,

解得：x=15,

所以x+2=17.

即：这个芦苇的高度是17尺.

故选：C.

65.（2021秋•中牟县期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门

去阑（读如77,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2

（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙。的长度为2寸，点C和

点。到门槛池的距离都为1尺（1尺=10寸），则他的长是（）

A.104寸B.101寸C.52寸D.50.5寸

【分析】取项的中点O,过。作于E,根据勾股定理解答即可得到结论.

【解答】解：取的的中点O,过。作DEL至于E,如图2所示：

由题意得：OA^OB=AD=BC,

设O4=OB=AD=3C=厂寸，

则=（寸），£比=10寸，OE=-CD=\^,

2

，AE=（r-l）寸,

在RtAADE中，

AE2+DE-=AD2,即（—1）2+102=产,

解得：r=50.5,

.-.2r=101（寸），

;.AB=101寸，

故选：B.

图2

六.平面展开-最短路径问题

66.（2022春•邸城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20。"，宽30cm,长50cm,一只蚂

蚁从A点爬到B点、,最短路程是（）cm.

A.10789B.50>/5C.120D.130

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【解答】解：如图所示，

它的每一级的高为20cm,宽30cm,长50cm,

AB=A/502+1002=50y[5（cm）.

答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50氐根,

故选：B.

67.（2022春•长寿区期末）如图，长方体的底面边长分别为2c“2和，高为5cm.若一

只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达。点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13

cm.

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用

两点之间线段最短解答.

【解答】解:

•.•PA=2x(4+2)=12,QA=5

;.PQ=13.

故答案为：13.

68.（2021秋•麦积区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为10c〃z,