人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：§1 2 第1课时 空间向量基本定理

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1§1.2空间向量基本定理第1课时空间向量基本定理学习目标1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.知识点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．思考零向量能否作为基向量？〖答案〗不能.零向量与任意两个向量a，b都共面．知识点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．(×)2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(√)4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(×)一、空间的基底例1已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．解假设eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面．则存在实数λ，μ使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．跟踪训练1(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有()A．1个 B．2个C．3个 D．0个〖答案〗B〖解析〗因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，令a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则x＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.〖答案〗0〖解析〗因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.二、空间向量基本定理例2如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).解连接A′N(图略)．eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′N,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(A′C′,\s\up6(→)))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.延伸探究若把本例中“eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a”改为“eq\o(AC′,\s\up6(→))＝a”，其他条件不变，则结果是什么？解因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a－eq\f(1,2)c.反思感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．跟踪训练2如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解连接BO，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.1．下列结论错误的是()A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底D．若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面〖答案〗C〖解析〗由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c〖答案〗C〖解析〗对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))C.eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)) D.eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))不共面，可以作为空间的一个基底．4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(AO2,\s\up6(→))，eq\o(AO3,\s\up6(→))}为基底，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))，则()A．x＝y＝z＝eq\f(1,2) B．x＝y＝z＝1C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2〖答案〗B〖解析〗eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))＝eq\o(AO1,\s\up6(→))＋eq\o(AO2,\s\up6(→))＋eq\o(AO3,\s\up6(→))，对比eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\