2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.2 导数及其几何意义教案 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.2导数及其几何意义教案新人教B版选择性必修第三册一、教学内容

本节课的教学内容来自于2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用的6.1节导数及其几何意义，具体包括以下几个部分：

1.导数的定义：通过极限的思想，理解导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。

2.导数的计算：掌握基本函数的导数公式，并能运用导数计算给定函数在某一点的导数。

3.导数的几何意义：了解导数表示曲线在某一点处的切线斜率，理解导数与函数图像的关系。

4.应用导数求函数的极值：通过导数的正负性，判断函数的单调性，进而求出函数的极值。

5.应用导数解决实际问题：运用导数解决生活中的优化问题，如最优化路线、最快速度等。二、核心素养目标

本节课的核心素养目标包括：

1.逻辑推理：通过导数的定义和几何意义的探究，培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用极限的思想理解和运用导数。

2.数学建模：通过实际问题的引入，培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高其数学建模的核心素养。

3.直观想象：通过导数与函数图像的关系的讲解，培养学生的空间想象能力，使其能够直观地理解导数的几何意义。

4.数学运算：通过导数的计算公式的学习和运用，提高学生的数学运算能力，使其能够熟练地计算各种函数的导数。

5.数据分析：通过函数极值的求解，培养学生运用导数分析数据的能力，提高其数据分析的核心素养。三、学习者分析

1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在之前的课程中已经学习了函数的概念、极限的思想、以及基本的数学运算。他们对函数图像有一定的了解，能够进行简单的函数计算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对高中数学课程中的导数和函数分析部分比较感兴趣，特别是能够将数学知识应用到实际问题中。他们的数学基础能力较强，喜欢通过运算和实际问题来理解概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解导数的定义和几何意义时，学生可能会遇到难以理解极限概念和瞬时变化率的困难。在计算导数时，可能会对复杂函数的求导法则和运算规则感到困惑。此外，将导数应用于实际问题中，可能会遇到难以建立数学模型的挑战。四、教学资源

1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、教学PPT、数学软件（如GeoGebra）、计算器。

2.课程平台：学校提供的教学管理系统，用于发布教学内容、作业和测试。

3.信息化资源：网络上的数学教学视频、导数相关的文章和案例分析。

4.教学手段：小组讨论、问题引导、案例分析、互动式教学、练习和反馈。五、教学实施过程

1.课前自主探索：

教师活动：设计并发布导数自主学习任务单，包括导数的定义、基本导数公式等内容。

学生活动：学生独立完成自主学习任务单，通过查阅资料或使用数学软件来探究导数的计算和几何意义。

教学方法：问题引导、自主学习。

教学手段：教学PPT、数学软件。

作用和目的：培养学生自主学习的能力，提前熟悉导数的基本概念和计算方法。

2.课中强化技能：

教师活动：通过PPT展示导数的定义和几何意义，讲解基本导数公式，并进行例题演示。组织小组讨论，让学生探讨导数在实际问题中的应用。

学生活动：学生认真听讲，参与小组讨论，通过例题理解导数的计算和应用。

教学方法：互动式教学、小组讨论。

教学手段：教学PPT、案例分析。

作用和目的：加深学生对导数概念的理解，提高学生的数学运算能力和问题解决能力。

3.课后拓展应用：

教师活动：布置课后作业，包括巩固导数计算和应用导数解决实际问题。提供解答疑问的时间，帮助学生解决作业中遇到的问题。

学生活动：学生完成作业，自主复习导数知识，并在需要时向教师请教疑难问题。

教学方法：自主学习、问题解决。

教学手段：教学PPT、作业反馈。

作用和目的：巩固学生对导数的掌握，培养其将数学知识应用于实际问题的能力，提高学生的数据分析核心素养。六、知识点梳理

1.导数的定义

-导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，即极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。

-导数的计算：利用基本导数公式和导数的运算法则进行计算。

2.基本导数公式

-常数的导数为0；

-幂函数的导数：d/dx(x^n)=n*x^(n-1)；

-指数函数的导数：d/dx(a^x)=a^x*ln(a)；

-对数函数的导数：d/dx(ln(x))=1/x；

-三角函数的导数：sin(x),cos(x),tan(x)的导数分别为cos(x),-sin(x),sec^2(x)。

3.导数的几何意义

-导数表示曲线在某一点处的切线斜率，即曲线在该点的切线斜率等于该点的导数值。

-切线方程：y-y1=f'(x1)(x-x1)，其中(x1,y1)为切点，f'(x1)为切线斜率。

4.导数的应用

-求函数的极值：通过导数的正负性和单调性来判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值。

-求函数的最值：通过导数的方法，求出函数在定义域内的最大值和最小值。

-解决实际问题：运用导数解决生活中的优化问题，如最优化路线、最快速度等。

5.高阶导数

-高阶导数是指对函数进行多次求导，例如二阶导数、三阶导数等。

-高阶导数的计算：根据导数的运算法则进行计算，例如(f(x))^n的(m)阶导数可以表示为n*(n-1)*...*(n-m+1)*f(x)。

6.导数与图形

-导数与函数图像的关系：导数的正负性决定了函数图像的凹凸性和拐点。

-凹凸性和拐点的判断：通过二阶导数的正负性和零点来判断函数图像的凹凸性和拐点。

7.导数的其他应用

-最小二乘法：通过导数的方法，求出最小二乘法的参数估计值。

-最大似然估计：运用导数求解最大似然估计问题，从而得到模型参数的最佳估计值。七、教学反思

今天的课堂整体上是比较顺利的，学生们对于导数的定义和几何意义有了更深入的理解，通过例题和小组讨论，他们也能将导数应用到实际问题中。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。

首先，我觉得在导数的定义部分，虽然我用了极限的思想来解释导数，但部分学生仍然感到困惑。在今后的教学中，我可能需要借助更多的图形和实际例子，让学生更直观地理解瞬时变化率和极限的概念。

其次，在讲解基本导数公式时，我发现部分学生对于幂函数、指数函数和三角函数的导数掌握得并不扎实。针对这一点，我计划在今后的课程中，花更多的时间让学生通过练习来巩固这些基本的导数公式。

此外，虽然我在课堂上给了学生足够的时间来进行小组讨论和实际问题的探讨，但课后作业的反馈显示，仍有部分学生对于如何运用导数解决实际问题感到困惑。因此，我计划在今后的教学中，更多地选取一些与生活密切相关的实际问题，让学生在解决问题的过程中，更好地理解和运用导数。

最后，虽然我尽量让课堂气氛活跃，鼓励学生提问和参与讨论，但发现仍有部分学生上课时较为沉默，不愿意主动参与。如何激发这部分学生的学习兴趣和积极性，是我今后需要思考和解决的问题。八、课后拓展

1.拓展内容：

-阅读材料：推荐学生阅读《导数入门》、《导数及其应用》等数学普及书籍，以加深对导数概念的理解。

-视频资源：建议学生观看KhanAcademy、Coursera等在线教育平台上的导数相关课程视频，以不同角度理解和巩固导数知识。

-实际案例分析：让学生寻找身边的实际问题，如最短路径问题、最佳投资问题等，尝试运用导数来解决。

2.拓展要求：

-学生自主学习：鼓励学生在课后时间进行自主学习和拓展，通过阅读材料、观看视频等方式加深对导数知识的理解。

-提出疑问：学生在自主学习过程中遇到疑问，可以随时向教师提问，教师将提供必要的指导和帮助。

-完成拓展练习：学生需要完成一定的拓展练习，如解决实际问题、绘制函数图像等，以巩固所学知识。

-交流分享：鼓励学生在课堂上或课后与同学分享自己的学习心得和拓展成果，互相学习和进步。九、课堂小结，当堂检测

1.课堂小结：

-导数的定义：极限思想，瞬时变化率，表示函数在某一点处的瞬时变化率。

-导数的计算：基本导数公式，导数的运算法则，计算各种函数在某一点的导数。

-导数的几何意义：切线斜率，曲线在某一点处的切线斜率等于该点的导数值。

-导数的应用：求函数的极值，解决实际问题，运用导数解决生活中的优化问题。

2.当堂检测：

-选择题：判断下列函数在某一点的导数是否正确。

-计算题：计算给定函数在某一点的导数。

-应用题：运用导数解决实际问题，如最优化路线、最快速度等。

-证明题：证明导数的运算法则。

-综合题：结合导数的定义、计算和几何意义，解决综合应用问题。

3.检测要求：

-学生需要在课堂上完成当堂检测，检测所学知识的掌握程度。

-教师应及时批改学生的检测试卷，给予反馈和指导。

-针对检测中出现的问题，教师应及时进行讲解和辅导，确保学生理解掌握。

-鼓励学生相互讨论和解答疑问，共同学习和进步。

4.检测分析：

-通过当堂检测，教师可以了解学生对导数的掌握情况，发现教学中需要改进的地方。

-学生可以通过检测发现自己的不足，及时进行复习和巩固。

-检测结果可用于调整教学计划和教学方法，以提高教学效果和学生的学习效果。十、板书设计

1.导数的定义：

①极限思想：lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h

②瞬时变化率：表示函数在某一点处的瞬时变化率

③导数的几何意义：曲线在某一点处的切线斜率

2.导数的计算：

①基本导数公式：d/dx(x^n)=n*x^(n-1)，d/dx(a^x)=a^x*ln(a)，d/dx(ln(x))=1/x，sin(x),cos(x),tan(x)的导数

②导数的运算法则：和、差、积、商的导数法则

③高阶导数：d^2/dx^2(f(x))，d^3/dx^3(f(x))等

3.导数的几何意义：

①切线斜率：曲线在某一点处的切线斜率等于该点的导数值

②凹凸性和拐点：二阶导数的正负性和零点判断

4.导数的应用：

①求函数的极值：通过导数的正负性和单调性判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值