2023届高考数学二轮复习：构造函数

第8讲构造函数

知识与方法

利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式

综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为

利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一

个可导函数是用导数证明不等式的关键.本节我们来探讨构造函数研究不等式的策略.

典型例题

构造差函数

当待证不等式的两边含有同一个变量时，一般可以通过“左减右，，或，，右减左"构造差函数，

利用导数研究其单调性，进而借助单调性证明原不等式成立.

【例1】求证:当％>0时,e*>ex+(x—l)2.

【解析】证法1：

今/(%)=ex—ex—(%—1)2,则广(%)—ex—e—2(%—1),

今g(%)=ex—e—2(%—1),则g，(x)—ex—2,由“(%)=0?x=ln2,

当％E[0,1112)时9，(%)<O,g(x)单调递减；

当xG(ln2,+8)时"(%)>O,g(x)单调递增，

所以g(%)min=9(ln2)-2-e-2(In2-1)=4-e-21n2<0,

%0

又g(0)=3-e>0,故存在%0e(0,ln2),使得g(%o)=0,BPe-e-2(x0-1)=0

当％G(O,%。)时g(x)>0,当%E(%o，ln2)时g(%)<0,

又g(l)=0,且g(%)在(ln2,+8)单调递增，

故当％6Qn2,l)时g(%)<0,当%e(1,+8)时g(%)>0,

所以/(%)在[O,%o)递增，在(%o,1)递减，在。+8)递增，又/(0)=0,/(1)=0.

故当%e[0,+8)时,/(%)max=/(0)=/⑴=0;

即当%>。时,/(%)>0,所以e">ex+(%—l)2.

证法2:

令/(%)="+『)2(久之0),/(为)=_(XT):3),

当XG(0,3—e)U(1,+8)时/(%)<0,

当%e(3-e,1)时型(%)>0,

所以/(%)在[0,3-e),(1,+8)上单调递减，在(3-e,1)上单调递增.

又/(O)="⑴=1,

故经啖)2<1对一切％G[0,+8)恒成立，

即>ex+(%—l)2：

【例2】设a,bER,函数/(久)=In%—ax,g(x)—%

(1)若/(%)=In%-a%与g(x)=?有公共点P(l,TH),且在P点处切线相同，求该切线方程;

⑵若函数/(%)有极值但无零点,求实数a的取值范围；

(3)当a>0,b=1时，求F(%)=/(%)一g(x)在区间［1,2］的最小值.

［r(1)="(1)

'得a=^,b=—点所以该切线方程为％-2y-2=0.

【解析】(1)由1/(1)=g(l),

(2)当a<0时，由尸(%)=：—a>0恒成立,

可知函数/(%)在定义域(0,+8)单调递增,此时无极值.

当a>0时,由/(%)—--a—0得％=->0;

xa

由/'(%)=：—a>0得％E(0,十);((为)=|—a<0得％E(十，+8).

于是％—:为极大值点，且/(%)max=/(；)=-Ina-1.

由于函数/(%)无零点，因此/(%)max=/6)=-Ina-1<0,解得a>

2

⑶不妨设F(x)=Inx—ax—［，得/(久)=：a+/=J—设九(%)=ax—x—1,

因为a>0,所以/=1+4a>0,

设九(%)=0的两根为尤i，%2,且久1<%2，

由％1%2=—\<0得％1<0,%2>0且％2="［『a.

所以F=出土要口2.

所以当F'(x)=0时％=x2;

当尸'(%)>0时,％2>%>0;

当F'(%)<0时,％>x2.

所以F(x)在(0,幻递增，在%，+8)递减

<1

(1)当0<%2<1时，即2a'解得a>2时,［1,2］?%，+8),F(%)在口,2］递减;

U(l)>0,

所以F(%)min-F(2)=ln2-1-2a.

02/11

(2)当%2>2时,即九⑵<0解得0<aW［时,［1,2］?(0,%2］，«%)在［1,2］递增;

所以F(%)min-F(l)--a-1.

(3)当1<%2<2时，即:<a<2时中(%)在［1,%2］递增,［%2,2］递减；

所以F(2)-F(l)=ln2-1-2a+a+1=ln2+|-a.

(i)当ln2+|<a<2时,F(2)<F(l),所以F(%)min=F(2)=ln2-1-2a.

(ii)当？<a<ln2+凯寸/⑵>F(l),所以F(%)min=F(l)=—a—1.

综合(1)⑵⑶得F(%)=/(%)-g(x)在区间［1,2］的最小值为:

-CL-1,

0<a<ln2+

F(久)min

ln2———2u,(a之ln2+—.

变形构造函数

【例3】已知函数/(%)=竽g(%)=ex.

(1)若函数九(%)=|a%2+x［l一(a+1)/(%)］有唯一的极小值点,求实数a的取值范围；

(2)求证:/(%)+1<g(x-1).

【解析】九(%)=|a%2+x［l—(a+1)/(%)］=|ax2+x—(a+l)ln%,/iz(%)—ax+1—

a+12、八、

---=-a-x--+-x--(-a-+-l-)=-(-a-x-+--a-+-l-)(-x---l)(,X>0),

XXX

设r(%)=(ax+a+1)(%—1),

当a=0时/(%)=(%—1),

在％G(0,1)时/(%)<0,即"⑺<0,所以以工)单调递减，

在汽E(1,+8)时,丁(丁)>0,hf(%)>0,所以/I(T)单调递增，

所以函数以%)有唯一的极小值点成立；

当a>0时,令r(%)=0,得第i=-1—1<0,%2=1，

在汽G(0,1)时/(%)<0,即<0,所以以工)单调递减，

在％G(1,+oo)时/(%)>0.(%)>0,所以八(%)单调递增，

所以函数以%)有唯一的极小值点成立；

当a<0时，令丁(%)=0,得%1=—1—，汽2=1,当=—!_—(<0时不合题意，

则％i=-1—>0,且丁1W即-1<a<0且aW——,

设m=max{xlrx2},n=min(x1,x2L

在汽e(0,几)时,丁(%)<o,即〃(%)<0,所以/i(x)单调递减,

在汽E(ji,m)0^*,r(x)>0,»(')>0,所以八(汽)单调递增，

在％G(犯+8)时/(%)<0,即八口)<0,所以h(x)单调递减,

所以函数九(%)有唯一的极小值点成立；

综上所述"的取值普寓为Q>—1且a—1.

(2)/(%)+1<g(x—1)?^^+1<ex-1?lnx+x<%ex-1

x

令0(x)=%ex-1—x—lnx(x>0),

则R'Q)=%ex-1+e%T—1—^=(%+l)ex-1-=(%+1)^ex-1—令h(%)=ex~1—5

易知hQ)在汽G(0,+8)上单调,增，且h⑴=0,'

故当汽E(0,1)时,/1(x)<0,此时”(%)<O,0(x)单调递减；

当XG(1,+8)时也(%)>0,此时(//(%)>0,"(%)单调递增.

所以0(T)的最小值为9(1)=0,

故当汽E(0,+8)时〃(％)>0(1)=0,即％e、T—x—Inx>0,

所以回-1_i>器即/(%)+1<5(%-1).

【点睛】本题第⑵问的证明中，将待证不等式进行等价变形，变形的目的就是构造函数证明

不等式，构造函数需要考虑的问题就是:导数结构要简单，且能方便地判断出正负.对于含有指数

与对数混合式的不等式,往往要将对数前面的系数变成常数，这样构造的函数，求一次导数之后

便不再出现对数符号，可避免多次求导的麻烦.变形过程中，点睛意体会"对数靠边走，指数找朋

友”的妙处.

［例4］已知函数/(汽)=ln(x+1)+a(x2+%)+2.

(1)当a=1时，求/(%)在点(0,f(0))处的切线；

(2)当a>0时，若/(%)的极大值点为均,求证:/(小)<-21n2+|.

【解析】(l)y=2x+2.

(2)解法1:

04/11

当a>0时/'(汽)=」一+a(2x+1)=」一[a(2x+1)(%+1)+1],%>—1记g(x)=

%+1X"I-1

a(2x+1)(%+1)+1,则r(%)=W9(*)/(%)与g(%)符号相同，令尸(“)=0,即a(2%+1)(%+

1)+1=0(去>0),记九(%)=a(2x+1)(%+1),则g(%)=九(%)+1.

当工E（一1,第1）时，尸（%）>0;xG（工1，%0）时,广（工）<0/（%）在％=第1处取得极大值.再求第07

令h'(x)=a(4%+3)=0,得%o=—1所以％1€(―1,—与满足a(2%i+1)(%1+1)+

1

1=0,故Q=-

(2*1+1)(欠1+1)'

/(%1)=In(%1+1)+axr(%1+1)+2

1

=In(%1+1)——-----------—?+1)+2

、)(2%i+l)(%i+1)1V1)

Xi

—In(%1+1)—+2

2%i+1

，己3(%)——In(%+1)—2+i+2,%G(—1,一工),

(2%+1)—2x4X2+3X%(43+3)0

则/（%）=ZT7

(2%+1)2(x+l)(2x+l)2(x+l)(2x+l)2'

所以0)(%)在％e(―L—1)上单调递增M(x)<3(—

_3

即/6)</(-1)=In(1-9-己+2=-21n2+1.

从而不等式得证.

解法2:

当a>0,r(%)=—+a(2%+1)=2a-+3=+a+l(%>—1),

X+1X+1

今g(%)=2ax2+3ax+a+l(x>—1),故g(%)min=9(一：)=1一也

(i)当1一色之0,即0<。48时，

8

此时g(x)>0恒成立，即尸(久)>0JQ)单调递增，无极值,不符合题意；

(ii)当1—-<0,即a>8时,由g(—1)=1>0,g(0)=a+1>0,

8

则g(x)在区间(-1,-g上有唯一零点％0,在(-j0)上有唯一零点％2，

当％e（一1,%0），（%2，+8）时,0（%）>0,即/（%）>0,/（%）单调递增;

当%G(质,%2)时,g(%)<o,即尸⑺<o,/(%)单调递减;

故fO)在第=第0处取得极大值,因此第1=%0,

又g(%i)=2。好+3axi+a+1=0,则。=—2x2_^x+1/

因此fQi)=In(%1+1)++1)+2=In(%1+1)—2：；］+2,

记h(%)=ln(x+1)-2x+i+2(-1<%<一Z)，

12x+l-2x_x(4x+3)

则九'(%)0在(一L-上恒成立,

X+1(2%+1)2-(%+1)(2%+1)2

故/lQ)单调递增,

因此h(x)<h(—=-21n2+—,

也即/(%i)<-21n2+，得证.

转化构造函数

在用导数处理不等式的过程中，有时需要将不等式转化之后再构造函数，其本质还是构

造函数，使得所构造的函数易于处理.

【例5】已知函数/1(%)=In%+署—2(aCR).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当a=2时，求证:/(%)>0在(1,+8)恒成立；

,,丫2

(3)求证:当％>0时,ln(%+1)>——.

ex—1

【解析】(1)/'(%)二三_三为=(%>0),若。<2,/(%)在(0,+8)上单调递增;

若a>2,/(x)在(0,a—1—Va2—2a),(a-1+Va2—2a,+8)上单调递增，在(a—1—

Va2—2a,a—1+7dz—2a)上单调递减.

(2)由⑴可知，当。=2时/(%)在(1,+8)上单调递增，则/(%)>/⑴=0,故/⑴>0在

(1,+8)恒成立;

⑶证明:由⑵可知:当%>1时Jn%+———2>0,

X+1

所以当%>0时,ln(%+1)+--之---2>0,即InQ+1)>卫•在(0,+8)恒成立.

(%+1)+1%+2

下面只需证三>二即可，

即证2e%>x2+2x+2(%>0),

即证2e%—%2—2%—2>0(%>0).

06/11

设g(x)=2ex—x2—2x—2,g'(%)=2ex—2x—2,

设九(%)=2ex—2x—2,h.'{x)-2ex—2,

易知九黑久)>0在(0,+8)上恒成立，所以九(%)在(0,+8)上单调递增,

所以九(无)>九(0)=0,从而g(%)单调递增,

所以g(%)>g(0)=0,从而2e*-%2-2%-2>0.

所以含>W，即当>>°时，皿久+1)>9・

【点睛】本题第(3)题巧妙利用已证不等式ln(%+l)>落,将复杂的待证不等式ln(%+

22

1)>三进行放缩，进而转化为证明e久>^+%+1(%>0),显然这是％>0时e久的泰勒展

e%—12

开式.

还可以利用"指数找朋友"证明曾这个不等式，过程如下：

要证/>^+%+1(%>0),只需证给等<2,

2e"

令/(%)=胃上(％>0),则/(为)=一?<0,所以/(%)在(0,+8)上单调递减,

所以/(无)</(0)=2,即巴泸<2,所以即>[+%+1(%>0).

故原不等式成立.

换元构造函数

【例6】已知函数/(为)=%|—2alnx(aER).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若In%1—lnx=—+/求证:%i>肛+2.

2%%2

【解析】⑴/(%)的定义域为(0,+8),/(为)=1+点一§=立等.当q三1时,f(%)在

(0,+8)上单调递增；

当a>1时,/(、)在(0,a—7dz—1)和(a+yja2—1,+8)上单调递增，

在(a—Va2—1,a+7a2-1)上单调递减.

⑵证明:由于Injq—lnx2=—+之得In%1—lnx2>0,所以％i>x2>0.

■X1%2

Ji

-+匕所以Ina=立良=令卫=。则

因为Imq-lnx2t>ljnt=—.

X1%2x2久1久2X2X1

t+it+1t2-l1

所以％=lnt'%2—%2-tint-Ini

要证%1>久2+2,只需证明白6—>2,即证t—1>21nt(t>1).

由⑴可知，当a=1时,/(%)=%-1-21nx在(0,+8)单调递增，

所以当t>1时，有/(t)>/(I)=0,即t—}>21nt(t>1)成立，

所以%1_亚=需=2(t，)>Q21nt=2,故%]>X2+2.

【点睛】本题通过换元，把%1，女转化为亡的函数，构造关于亡的函数就可以轻松解决问题.把

%1，犯的关系变形为齐次式，可设t==ln|,t==e久1-外等构造函数来解决.该

方法在第三章双变量问题处理会进二步深入*绍.

递推关系构造

r2

【例7】已知函数/1(%)=sin%+y—ln(l+x).

(1)证明:/(%)>0;

(2)数列满足：0<a1<|,an+1=/(an)(nEN*).

-1

(i)证明：0<an<-(nGN*);

(ii)证明:？几EN*,an+1<an.

【解析】⑴由题意知J'G)=cos%+%一士(％e(-L+8)).

(1)当久e(—1,0)时，/(%)<i+x-^<x<o,所以/(%)在区间(―1,0)上单调递减；

(2)当%6(0,+8)时，令g(%)=f'(x),g'(x)=1+而土—sin%>三不>0,所以g(x)在

(0,+8)上单调递增，因此g(%)>g(0)=0,故当％G(0,+8)时，尸(%)>0,所以

/(%)在(0,+8)上单调递增，因此当久G(_1,+8)时,/(%)>/(0)=0,所以/(%)>0.

(2)⑴由⑴知,/(%)在区间(0,)上单调递增,/(久)>/(0)=0,

88

因为(9=(1+3=1+退+专或+?>l+4+7=12>e,

故1—81n|=Ine—In停)<0.

所以

/1\1137T1311/3\1

/(%)<f-=sin-+--ln-<sin—+-—ln-=-+xl—81n-<

八'/⑵28268228\2/2

因止匕当第G(0，)时,0</(%)<1.

又因为由e(o渡)所以厮=/(册_1)=/(/(即-2))=?=/(/(?(/(%))))e(0,|).

(ii)函数％(%)=/(%)—%(0<T<则八'(％)=/'(%)—1=x+cosx—1-

08/11

令(p(x)-"(%),则d(%)=7(%)>0,所以3(%)在(0，)单调递增，

因此九'(久)=<p(x)<<p(|)=[+cos]-1一|=cos|-^<0,

\Z/ZZ3Zo

所以九(%)在区间(o,9上单调递减，所以九⑴</1(0)=0.

因此,册+i-an-/(an)-an-/i(an)<0,所以？nGN*,an+1<an.

强化训练

1.证明:当％>0时,(％—2)ex+%+2>0.

【解析】证法1：

设/(%)=(%—2)ex+(%+2)(%>0),

则尸(%)=(X—l)ex+=xex>0,

所以/(%)在(0,+8)递增,所以广(%)>r(0)=-1+1=0,

所以/(%)在(0,+8)递增，所以/(%)>/(0)=0.

证法2:

要证(久—2)ex+x+2>0,只需证明——ex>—1.

(x-l)(x+2)ex-(x-2)e%x2ex

令Mx)=冷心,则/(%)=

(%+2)20+2)2’

当%>0时;(%)>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增,

因此当%>0时,/(%)>/(0)=-1,

所以(久—2)e工>—(%+2),故(％—2)ex+%+2>0.

2.已知函数/(%)=ln(a-x),x-0是函数%/(%)的极值点.

⑴求a；

⑵证明：*2<1.

xfM

【解析】⑴得a=1.

⑵证明:由⑴知%/(%)=xln(l-x),

%+/(x)x+ln(l-x)

要证<1,即证<1.

xfMxln(l-x)

由％ln(l—%)W0得:％<1且％W0.

因为当％G(—oo,0)时,％ln(l—%)<0;

当％e(0,1)时—%)<0;

故只需证明汽+ln(l-%)>xln(l-%),

即证第+(1—x)ln(l—%)>0(%<1且第W0).

令h(x)=%+(1—x)ln(l—%),%E(—8,1),

则九'(％)=1+(—l)ln(l—%)+(1—%)?^-=—ln(l—%),

i—%

所以八'(0)=o,当工e(―8,o)时,、(%)<o；当%G(0,1)时>0,

所以比=0为九(%)的极小值点，

所以九(%)>h(0)=0,即％+ln(l—x)>xln(l—%),

x+ln(l-x)

所以<1成立，即需<1.

xln(l-x