中考数学试题分项汇编：图形的旋转（共30题）原卷版+解析

专题20图形的旋转（30题）

一、单选题

1.（2023•江苏无锡•统考中考真题）如图，44BC中，ABAC=55°,将AABC逆时针旋转a（0°<a<55。）,得

到VADE,DE交AC于F.当a=40。时，点。恰好落在上，此时—AFE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

2.（2023・天津・统考中考真题）如图，把AABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,点、B,C的对应点分

别是点。，E,且点E在3C的延长线上，连接3。，则下列结论一定正确的是（）

A.NCAE=NBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

3.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，AABC和AME是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把AADE

以A为中心顺时针旋转，点M为射线3。、CE的交点.若AB=6，AD=1.以下结论：

①BD=CE；②3£>_LCE；

③当点E在54的延长线上时，MC=上史；

2

④在旋转过程中，当线段MB最短时，AMBC的面积为

其中正确结论有（）

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023・山东聊城•统考中考真题）如图，已知等腰直角AABC,ZACB=90°,AB=&，点C是矩形ECG尸

与AABC的公共顶点，且CE=1,CG=3；点。是CB延长线上一点，且CD=2.连接BG,。尸，在矩形ECG产

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段对应的长度分别为机和小

rn

则丝的值为（)

c.VioD.屈

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新

五边形AB'CD'E'的顶点皿落在直线BC上，则正五边AB8E旋转的度数至少为'

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，AO为NR4C的平分线，且N54C=50。，将四边形ABOC绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形声短。，且NQ4c=100。，则四边形ABOC旋转的角度是

7.（2023・湖南常德・统考中考真题）如图1,在Rt^ABC中，ZABC=9Q°,AB=8,BC=6,。是AB上一

点，且AD=2,过点。作。石〃3c交AC于E,将VADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中”的

CE

值为.

图1图2

2k

8.（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知曲线G、C?分别是函数y=-二（x<0）,y=—（%>0,x>0）的图像，边

xx

长为6的正AABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点8、C在X轴上（3在C的左侧），现将44BC绕原点。顺

时针旋转，当点8在曲线G上时，点A恰好在曲线C?上，则上的值为

9.（2023•辽宁•统考中考真题）如图，线段AB=8,点C是线段A3上的动点，将线段8C绕点5顺时针旋转

120。得到线段3D,连接8,在的上方作RtADCE,使/£）。£1=90。,/£'=30。，点b为。£的中点，连

接AF,当AF最小时，ABCD的面积为.

10.（2023.江西•统考中考真题）如图，在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角a

（0。<。<360。）得至UAP,连接尸C,PD.当APCD为直角三角形时，旋转角a的度数为.

11.（2023・上海•统考中考真题）如图，在AABC中，ZC=35°,将AABC绕着点A旋转或0°<£<180。）,

旋转后的点8落在8C上，点2的对应点为。，连接AD,AD是,SAC的角平分线，则。=.

c

12.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，在RCABC中，/SAC=90。，AB=3cm,4=60°.将AABC

绕点A逆时针旋转，得到△AB'C,若点8的对应点？恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是

cm（结果用含万的式子表示）.

13.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,将“ISC绕点A逆

AF）

时针方向旋转90。，得到△Afi'C.连接BE，交AC于点。，则=的值为.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰AABC,ZA=120°,AB=2.现将AABC以点8为旋转中

心旋转45。，得到△A3C,延长CA交直线BC于点D则AO的长度为.

15.（2023•浙江嘉兴・统考中考真题）一副三角板ABC和。跖中，

NC=N£>=90。，NB=30。，NE=45。,BC=EF=T2.将它们叠合在一起，边BC与所重合，8与AB相

交于点G（如图1）,此时线段CG的长是,现将AD郎绕点C⑺按顺时针方向旋转（如图2）,

边E尸与A3相交于点“，连结加，在旋转0。至IJ60。的过程中，线段扫过的面积是.

三、解答题

16.（2023•北京•统考中考真题）在AABC中、ZB=ZC=a（O°<a<45°）,AMJ_5C于点。是线段MC

上的动点（不与点M,C重合），将线段。暇绕点。顺时针旋转2a得到线段QE.

（D如图1,当点E在线段AC上时，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段上存在点尸（不与点8,M重合）满足。尸=£）C,连接AE,EF,直接写出4E产

的大小，并证明.

17.（2023・四川自贡•统考中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M,N分别是斜

（1）将ACDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点N距离的最大值和最小值;

⑵将ACDE绕顶点C逆时针旋转120。（如图2）,求的长.

18.（2023・四川达州・统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,AABC的顶点均在小正方形

的格点上.

（1）将"LBC向下平移3个单位长度得到△A4G,画出△A4C；

（2）将AABC绕点C顺时针旋转90度得到&,画出“B©；

⑶在（2）的运动过程中请计算出AABC扫过的面积.

19.（2023・辽宁・统考中考真题）在RtAABC中，ZACB=90°,C4=CB,点。为的中点，点。在直线A8

上（不与点A3重合），连接CD,线段CO绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,过点8作直线/L3C,

过点E作跖，/,垂足为点尸，直线所交直线OC于点G.

（1）如图，当点。与点。重合时，请直接写出线段AD与线段跖的数量关系；

（2）如图，当点D在线段A3上时，求证：CG+BD=y/2BC;

s

（3）连接DE,ACDE的面积记为S-41BC的面积记为邑，当EF:3C=1:3时，请直接写出”的值•

20.（2023・四川乐山・统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活

动

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图，将一个三角形纸板AABC绕点A逆时针旋转。到达△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB',

AC=AC,BC=B'C；ABAC=ZB'AC',ZABC=ZABC',ZACB=ZAC'B'（）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图

形旋转的关键；故数学就是一门哲学.

【问题解决】

（1）上述问题情境中“（）”处应填理由：；

（2）如图，小王将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板ABC绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板

A'B'C'的位置.

①请在图中作出点。；

②如果超'=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另

一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是

多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题.

21.（2023•浙江绍兴•统考中考真题）在平行四边形A5co中（顶点AB,C,O按逆时针方向排列）,

4

4B=12,4D=10,/3为锐角，且sinB=g.

（1）如图1,求A3边上的高的长.

⑵P是边A3上的一动点，点C,。同时绕点尸按逆时针方向旋转90。得点C,D'.

①如图2,当点C'落在射线C4上时，求成的长.

②当△ACD是直角三角形时，求取的长.

22.（2023・四川南充・统考中考真题）如图，正方形A3CD中，点M在边3C上，点£是4欣的中点，连接ED,

EC.

BMC

（1）求证：ED=EC；

（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点"落在AC上，连接当点M在边8C上运动时（点M不

与B,C重合），判断AOW?的形状，并说明理由.

⑶在（2）的条件下，已知AB=1,当/OEB，=45。时，求8M的长.

23.(2023•江苏扬州•统考中考真题)【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30。的三角板开展数学探究活动，两块三角板

分别记作AADB和^AD'C,ZADB=ZA'D'C=90。,NB=NC=30。，设AB=2.

【操作探究】

如图1,先将AADB和△4D'C的边AD、A77重合，再将AA'DC绕着点A按个勺'付方向旋转，旋转角为

a(0°<a<360°),旋转过程中AADB保持不动，连接BC.

⑴当》=60。时，BC=；当5c=20时，«=°;

(2)当&=90。时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)如图2,取BC的中点R将AA'O'C绕着点A旋转一周，点E的运动路径长为.

24.(2023.湖南.统考中考真题)(1)［问题探究］

如图1,在正方形A8C。中,对角线AC、3D相交于点。.在线段AO上任取一点尸(端点除外)，连接P£>、PB.

D«-----------------,C

QA

图1

①求证：PD=PB；

②将线段DP绕点尸逆时针旋转，使点。落在54的延长线上的点。处.当点P在线段AO上的位置发生变

化时，/。尸。的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究A。与OP的数量关系，并说明理由.

(2)［迁移探究］

如图2,将正方形A8CO换成菱形ABCD,且WC=60。，其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系，

并说明理由.

Dy-----------入C

A

图2

25.(2023・湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一

条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家

托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当AABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到AA'PC,连接尸P,

由PC=P'C,ZPCP=60。，可知△PCP为①三角形,故PP=PC,又PA=R4,故

PA+PB+PC=PA+PB+PP'>AB,

由②可知,当8,P,P',A在同一条直线上时，PA+P3+PC取最小值，如图2,最小值为A3,此时

的尸点为该三角形的“费马点”，5.WZAPC=ZBPC=ZAPB=(3);

已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/区4czi20。，

则该三角形的“费马点”为④点.

(2)如图4,在AABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知点P为AABC的“费

马点”，求PA+P8+PC的值；

AA

A

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2.x/3km,ZACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,0a元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元.(结果

用含a的式子表示)

26.(2023•四川•统考中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC,

以BC为边在BC上方作RU5DC,且ZDBC=30°.

⑴若N&)C=90。，以A3为边在4B上方作RtZXBAE,且NA£B=90。，NEBA=30。，连接DE,用等式表

示线段AC与DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE_LAB,AB=4,AC=2,求8C的长；

(3)如图3,若ZBCD=90。,AB=4,AC=2,当AQ的值最大时，求此时tan/CBA的值.

27.(2023・湖北黄冈・统考中考真题)【问题呈现】

△C4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AC,BE,探究AC,

BE的位置关系.

图1图2备用图

(1)如图1,当“7=1时，直接写出AD,8E的位置关系:

(2)如图2,当根N1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用】

(3)当机=6,43=4",0石=4时，将ACDE绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求3E的长.

28.(2023•内蒙古赤峰•统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三

角尺放在正方形A3C。中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两

边CM,CN始终与正方形的边AD,AB所在直线分别相交于点N,连接MN,可得ACMN.

【探究一】如图②，把VCDM绕点C逆时针旋转90。得到ACB”,同时得到点H在直线AB上.求证：

Z.CNM=Z.CNH■,

【探究二】在图②中，连接3D,分别交CM,CN于点、E,F.求证：LCEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线8。与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连

接AC交于点。，求黑的值.

NM

29.（2023・湖南•统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：

在正方形ABCD的边上任意取一点G,以为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点8顺时针

旋转.

图①图②图③

特例感知：

（1）当BG在BC上时，连接DEAC相交于点P,小红发现点P恰为。尸的中点，如图①.针对小红发现

的结论，请给出证明;

（2）小红继续连接EG,并延长与D厂相交，发现交点恰好也是O9中点P,如图②，根据小红发现的结论,

请判断VAPE的形状，并说明理由;

规律探究:

（3）如图③，将正方形B£FG绕点2顺时针旋转a,连接。尸，点P是中点，连接AP,EP,AE,NAPE

的形状是否发生改变？请说明理由.

30.（2023・贵州・统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究,

在等腰直角三角形ABC中，C4=CB,ZC=90°,过点5作射线BDIAB,垂足为6,点尸在CB上.

图②图③

如图②，若点尸在线段CB上，画出射线上4,并将射线Q4绕点尸逆时针旋转90。与3D交于点E,根据题

意在图中画出图形，图中NPBE的度数为..度;

⑵【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段上4与PE的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图③，若点尸在射线CB上移动，将射线丛绕点尸逆时针旋转90。与8。交于点E,探究线段之

间的数量关系，并说明理由.

专题20图形的旋转（30题）

一、单选题

1.（2023•江苏无锡•统考中考真题）如图，44BC中，ABAC=55°,将AABC逆时针旋转a（0°<a<55。）,得

到VADE,DE交AC于F.当a=40。时，点。恰好落在上，此时—AFE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【分析】根据旋转可得ZB="）B=ZADE,再结合旋转角夕=40。即可求解.

【详解】解：由旋转性质可得：NBAC=NDAE=55。,AB=AD,

'：a=40°,

：.ZDAF=15°,NB=ZADB=ZADE=70°,

：.ZAFE=NDAF+ZADE=85°,

故选：B.

【点睛】本题考查了几何一旋转问题，掌握旋转的性质是关键.

2.（2023•天津•统考中考真题）如图，把AABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,点8,C的对应点分

别是点。，E,且点£在8c的延长线上，连接即，则下列结论一定正确的是（）

B.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得=AC=AE,BC=DE,故B选项和D选项不符合题意,

ZABC=ZADE

•.彳员CE=ASC+?BAC

彳如⑦=ADE+?BAC,故C选项不符合题意，

彳员CB=AED

彳页C3=CAE+?CEA

•.•彳CEA+1BED

WAE=BED,故A选项符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

3.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，AABC和AADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把

以A为中心顺时针旋转，点M为射线2D、CE的交点.若AB=6AD=1.以下结论：

@BD=CE；②BD1CE；

③当点E在54的延长线上时，MC=上诋；

2

④在旋转过程中，当线段M5最短时，AMBC的面积为

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】证明丝即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明"CMS/ECX得出

筹=与1,即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在0A的下方与。A相切时，MB的值最

小，可得四边形AEWD是正方形，在Rt^MBC中MC=dBC?-MB?=0+1，然后根据三角形的面积公式

即可判断④.

【详解】解：:△ABC和石是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,

BA=CA,DA=EA,ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

・・•△_6AZ）白,

ZABD=ZACE,BD=CE,故①正确；

^ZABD=ZACE=a,

：.ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=NDBC+ZBCA+NACE=45。-a+45。+a=90。，

:.BDLCE,故②正确；

当点E在54的延长线上时，如图所示

ZDCM=NECA,NDMC=ZEAC=90°,

ZDCMs/ECA

.MCCD

*'ACEC

AB=y[3,AD^l.

：.CD=AC-AD=y/3-l,CE=yjAE2+AC2=2

.MC_V3-1

MC=t诋，故③正确;

2

,?/BMC=90。，

...当CE在。A的下方与。4相切时，MB的值最小，ZADM=ZDAE=ZAEM=90°

二四边形AEMD是矩形，

又

，四边形AEMD是正方形，

**•MD=AE=1,

；BD=EC=4AC2-A£2=◎，

MB=BD-MD=e-1，

在RtAMBC中，MC^y/BC2-MB2

PB取得最小值时,MC=y]AB2+AC2-MB2=r3+3-(a-lj=6+1

•••S"=gAffixMC=g("l)(0+l)=g

故④正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形

的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.(2023•山东聊城•统考中考真题)如图，已知等腰直角AABC,ZACB=90°,AB=鱼，点C是矩形ECG产

与AABC的公共顶点，且CE=1,CG=3；点。是CB延长线上一点，且8=2.连接3G,£＞尸，在矩形ECG尸

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DR对应的长度分别为“和小

则竺的值为()

n

c.VToD.岳

【答案】D

【分析】根据锐角三角函数可求得AC=8C=1,当线段3G达到最长时，此时点G在点C的下方，且8,C,

G三点共线，求得5G=4,DG=5,根据勾股定理求得。尸=回，即加=圆，当线段BG达到最短时,

此时点G在点C的上方，且8,C,G三点共线，则3G=2,DG=1,根据勾股定理求得。尸=血，即〃=及，

即可求得生=屈.

n

【详解】：AABC为等腰直角三角形，A3=应，••.AC=BC=A0sin45o=夜x正=1,

2

当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且8,C,G三点共线，如图:

DG=DB+BG=5,

在RtZXDG召中，DF=JOG?+GF?=招+f=后，

即机=A/26,

当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B,C,G三点共线，如图:

DG=BG-DB=\,

在RtADG/中，DF=^DG1+GF2=#+12=72»

即〃=^2，

故嘲小

故选：D.

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键.

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新

五边形AB'CD'E'的顶点DC落在直线上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为

【答案】72

【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到，。B的度数，进而得出旋转的角度.

【详解】解：：五边形ABCDE是正五边形,

ZDCF=360°^5=72°,

新五边形AB'CD'E'的顶点D0落在直线3C上，则旋转的最小角度是72。，

故答案为：72.

【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用.

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，4。为/R4C的平分线，且NR4C=50。，将四边形ABOC绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形四短且NtMC=100。，则四边形ABOC旋转的角度是.

【答案】75。

【分析】根据角平分线的性质可得NBAO=NQ4C=25。，根据旋转的性质可得NB4C=ZB'AC'=50。,

ZB'AOf=ZOfAC=25°,求得NQ4O'=75。，即可求得旋转的角度.

【详解】为NBAC的平分线，44c=50。，

ZBAO=ZOAC=25°,

将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'0'C,

：.ABAC=AB'AC=50°,ZB'AO=ZO'AC=25°,

ZOAO'=ZOAC-ZO'AC=100°-25°=75°,

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.

7.（2023・湖南常德・统考中考真题）如图1,在RtAiABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上一

点，且45=2,过点。作。E〃BC交AC于£,将VADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中”的

CE

值为.

【分析】首先根据勾股定理得到AC=,他23灰=10,然后证明出△45ESZ\MC,得到募=笠，进

ABAC

4DAR

而得到F=然后证明出△ABD“ACE，利用相似三角形的性质求解即可.

AEAC

【详解】•・•在RtAABC中，ZABC=90°,45=8,BC=6,

•*-AC=VAB2+BC2=10

DE//BC

：.ZADE=ZABC=90°,ZAED=ZACB

：.AADE^ABC

.ADAE

**AB-AC

.AD_AB

**AE-AC

ZBAC=ZDAE

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD

：.ZBAD=ZCAE

AABZ）S八ACE

・BDAB_84

CD-AC-10-5,

4

故答案为：—.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

9k

8.（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知曲线G、。2分别是函数>=——（%<0）,y=—（左>0,X>0）的图像，边

xx

长为6的正AABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点3、。在X轴上（3在。的左侧），现将绕原点。顺

时针旋转，当点3在曲线G上时，点A恰好在曲线G上，则左的值为.

【答案】6

【分析】画出变换后的图像即可（画AAQB即可），当点A在y轴上，点3、C在X轴上时，根据AABC为等

边三角形且可得黑=4,过点A、8分别作x轴垂线构造相似，贝LBHOsOEA,根据相似

三角形的性质得出S0.E=3,进而根据反比例函数%的几何意义，即可求解.

【详解】当点A在y轴上，点8、C在无轴上时，连接AO,

•••AABC为等边三角形且AO」3C,则ZBAO=30°,

tan4AO=tan30。=%=迫，

OA3

如图所示，过点分别作％轴的垂线，交工轴分别于点瓦尸，

AOLBO,NBFO=ZAEO=ZAOB=90°,

Z.BOF=90°-ZAOE=ZEAO,

ABFOSOEA,

S-AOE（OA）3，

-

…之s.0--1'

..S/XAOE=3,

k=6.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，％的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相

似三角形是解题关键.

9.（2023•辽宁•统考中考真题）如图，线段AB=8,点C是线段A3上的动点，将线段8C绕点8顺时针旋转

120。得到线段3D,连接C。，在A3的上方作RtADCE,使/。。e=90。,/石=30。，点尸为£）石的中点，连

接AF,当"最小时，ABCD的面积为.

【答案】也

【分析】连接CF,BF,BF,切交于点P,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得跳■垂直平分CF,

//止尸=60。为定角，可得点尸在射线2P上运动，当A尸，5尸时，AF最小，由含30度角直角三角形的性

质即可求解.

【详解】解：连接CRBF,BF,切交于点P,如图，

••,NOCE=90。，点尸为DE的中点，

FC=FD,

ZE=30。，

ZFDC=60°,

△人»是等边三角形，

ZDFC=NFCD=60°；

••,线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD,

：.BC=BD,

FC=FD,

，3尸垂直平分CF,ZABF=60°,

.•.点尸在射线3P上运动，

.•.当尸时，AF最小,

止匕时ZFAB=90°-ZABF=30°,

：.BF=-AB=4-

2

,/ZBFC=-ZDFC=30°,

2

NFCB=NBFC+ZABF=90°,

BC=LBF=2,

2

*/PB^-BC=1,

2

由勾股定理得PC=^/BC2-PB2=43，

/.CD=2PC=2g,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平

分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点尸的运动路径是关键与难点.

10.（2023・江西・统考中考真题）如图，在YABCD中，ZB=6Q°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角a

（0。＜。＜360。）得到AP,连接尸C,PD.当APCD为直角三角形时，旋转角a的度数为.

【答案】90°或270°或180°

【分析】连接AC,根据已知条件可得/区4c=90。，进而分类讨论即可求解.

【详解】解：连接AC,取8C的中点E,连接AE,如图所示，

•.,在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,

BE=CE=-BC=AB,

2

是等边三角形，

AZBAE=ZAEB=60°fAE=BE,

：.AE=EC

：.ZEAC=ZECA=-ZAEB=30°,

2

・•・ABAC=90°

：.AC±CD,

如图所示，当点尸在AC上时，止匕时NW=NBA。=90。，则旋转角。的度数为90。,

当点P在C4的延长线上时，如图所示，贝iJa=360。—90。=270。

当尸在B4的延长线上时，则旋转角。的度数为180。，如图所示,

VPA=PB=CD,PB//CD,

・・・四边形PACD是平行四边形，

•.*AC±AB

，四边形PAC’D是矩形，

NPDC=90。

即是直角三角形,

综上所述，旋转角。的度数为90。或270。或180。

故答案为：90。或270。或180。.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性

质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.（2023・上海・统考中考真题）如图，在AABC中，ZC=35°,将“LBC绕着点A旋转。（0°＜。＜180。），

旋转后的点B落在BC上，点8的对应点为。，连接ADAD是，54c的角平分线，则。=.

【分析】如图，AB^AD,ZBAD=a,根据角平分线的定义可得/。0=/氏4。=£,根据三角形的外角

性质可得/4。3=35。+£，即得N8=NADB=35o+a,然后根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD,ZBAD=a,

,/AD是NBAC的角平分线，

ZCAD=ZBAD=a,

VZADB=ZC+ZCAD=35°+a,AB^AD,

：.ZB^ZADB=350+a,

则在AABC中，VZC+ZGW+ZB=180°,

35°+2a+35°+c=180°,

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟

练掌握相关图形的性质是解题的关键.

12.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，在中，/SAC=90。，AB=3cm,NB=60°.将AABC

绕点A逆时针旋转，得到△AB'C',若点8的对应点？恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是

cm（结果用含"的式子表示）.

【答案】布兀

【分析】由于AC旋转到AC',故C的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

在直角AABC中，/3=60。，则/C=30。,

贝U3C=2AB=2x3=6（cm）.

，AC=^BC2-AB2=V62-32=3/(cm).

由旋转性质可知，AB=AB',又一3=60。，

AABB'是等边三角形.

ZBAB'=60°.

由旋转性质知，ZCAC=60°.

故弧CC'的长度为：言x2x%xAC=gx3g=g;r(cm)；

故答案为：血兀

【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键

是明确C点的运动轨迹.

13.(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=1,将AABC绕点A逆

时针方向旋转90。，得到△ABC，.连接BB',交AC于点，则诙的值为.

【答案】5

【分析】过点。作于点凡利用勾股定理求得A8=M，根据旋转的性质可证AABB'、ADFB是

等腰直角三角形，可得=再由身仞8=:*3。'4。=：、。?><42,得4。=亚〃尸，证明

△AFD〜AACB,可得变=竺，即AF=3D尸，再由4尸=如一。尸，求得。F=叵，从而求得

BCAC42

CD=-,即可求解.

2

【详解】解：过点。作。尸，AB于点产，

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

AB=532+1?=J1U，

将AABC绕点A逆时针方向旋转90°得到AAB'C,

/.AB^AB'^y/10,ABAB'=90°,

是等腰直角三角形，

NAB?=45。，

又：DF±AB,

：.NFDB=45°,

・・・△丽是等腰直角三角形,

/.DF=BF,

*.*SAnR=—xBC2xA2D=—xDFxAB即AD=y/WDF,

ZC=ZAFD=90°,ZCAB=ZFAD,

AAFD~AACB,

DF

—,即AF=3O尸，

~BCAC

又•:AF=回-DF,

/.DF=—，

4

••・3加萼=

0)=3--=-,

222

5

AD2<

CD.1'

2

故答案为：5.

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰AABC,ZA=120°,AB=2.现将AABC以点6为旋转中

心旋转45。，得到△A3C,延长CA交直线BC于点D则AD的长度为.

【答案】4+2百或4一2石

［分析］根据题意，先求得BC=26，当AABC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点5作3E，AB交AD

于点E,当ULBC以点B为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作。尸，3c'交BC'于点尸，分别画出图形，

根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作侬_LBC于点M,

,等腰AABC,ZBAC=120°,AB^2.

AABC=ZACB=30°,

/.AM=^AB^l,BM=CM=dAB?_AM2=也,

：.BC=2B

如图所示，当AABC以点5为旋转中心逆时针旋转45。，过点3作班，43交AO于点E,

,?ZBAC=120°,

Z.ZDAB=60°,NA'£S=30。，

在RLxA'BE中，A'E=2A3=4,BE=JA®-A®=2也，

;等腰AA5C,NB4c=120°,AB=2.

ZABC=ZACB=30°,

AABC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，

ZABA=45°,

ZDBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZA;BD=180°-45°-30°=105°

在△ABD中，ZD=180°-/DA'B-ZA'BD=180°-60°-105°=15°,

/.ZD=ZEBD,

•*.EB=ED=2y[3,

，A'D=A'E+DE=4+2yf3,

如图所示，当AABC以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作止LBC'交BC'于点尸，

A

：.DF=BF

在RtAOC'F中，NC'=30°

DF=—FC

3

，BC=BF+^BF=2^3

/.DF=BF=3-y/3

：.DC'=2DF=6-2^f3

/.A,D=C,D-A,C,=6-2-X/3-2=4-2A/3,

综上所述，AD的长度为4-2指或4+2若，

故答案为：4-2指或4+26.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类

讨论是解题的关键.

15.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）一副三角板ABC和。跖中，

ZC=Z£>=90°,ZB=30°,NE=45。,BC=EF=12.将它们叠合在一起，边BC与所重合，8与A3相

交于点G（如图1）,此时线段CG的长是,现将AD砂绕点C（尸）按顺时针方向旋转（如图2）,

边政与A3相交于点连结D/f,在旋转0。至U60。的过程中，线段扫过的面积是.

【答案】6娓-60；12万-18宕+18

【分析】如图1，过点G作GHLBC于H,根据含30。直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出

BH=s/3GH,GH=CH,然后由BC=12可求出G”的长，进而可得线段CG的长；如图2,将ADEF绕点

C顺时针旋转60。得到AQEF，g与AB交于GI,连接。刀，AD{,AQ当尸是ADE尸旋转0°至U60。的过程

中任意位置，作DN±CR于N,过点B作BM1卬）交RD的延长线于M,首先证明ACDR是等边三角形，

点2在直线AB±,然后可得线段DH扫过的面积是弓形DRD的面积加上ADQB的面积，求出DN和,

然后根据线段D//扫过的面积=S弓形卬钟+2乃£®=S扇形ccp—SAC〃£>+S0DB列式计算即可.

【详解】解：如图1,过点G作于

C(F)

H

At-----------R---------------

D

图1

,/ZABC=30°,ZDEF=NDFE=45°,ZGHB=ZGHC=90°,

/.BH=+GH,GH=CH,

BC=BH+CH=y/3GH+GH=U,

•*.GH=6A/3-6,

CG==A/2X(6A/3-6)=6^6-6A/2；

如图2,将ADEF绕点C顺时针旋转60。得到△A与尸，药与AB交于G1,连接DQ,

由旋转的性质得：Z£1CB=Zr)CD1=60°,CD=CDt,

AACD2是等边三角形，

"?ZABC=30°,

；.ZCGlB=90°,

：.CGX=|BC,

,/CE}=BC,

：.CGt=|CE1；即A3垂直平分CEX,

*/是等腰直角三角形，

点D］在