浙江省金华市某中学2025届高三年级上册10月月考数学试题（含答案）

浙江省金华第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若复数z满足|=1T,贝口=（）

A.ITB.1+iC.-1—iD.-1+i

2.直线a〃平面a,PE那么过P且平行于a的直线（）

A.只有一条，不在平面a内B.有无数条，不一定在平面a内

C.只有一条，且在平面仇内D.有无数条，一定在平面a内

3已知五,另为单位向量，若G+2石）1（3之一另），贝!JcosG%）=（）

A.卷B.C."D.一/

4.（2万-助7的展开式中2项的系数是（）

A.672B.-420C.560D.-560

5.某圆锥母线长为1,其侧面积与轴截面面积的比值为2兀，则该圆锥体积为（）

A.8B.8C--D-24~

6.已知随机变量4〜N（2〃2）,且P（f<1）=>a）,贝吐+急（0<久<砌的最小值为（）

A.5B.yC.yD.y

7.已知函数/（%）=2cos2<k）x-（sin3久-cosa）x）2（a）>0）的图象关于直线x=考轴对称，且/'（久）在（0,§上没

有最小值，则3的值为（）

13

A.2B.1C.2D.2

8.已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分

选对的得2分.若选项中有i（其中i=2,3,4）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所

得的分数为随机变量=2,3,4）,贝ij（）

A.2E6）>4E&）>E（氧）B.4E6）>E曰）>2E6）

C.2E63）>E（n）>4E&）D.4E（§2）>2E&3）>以口）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.某科技公司统计了一款4pp最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为夕

=-0.6%+CL,则()

月份编号X12345

下载量y(万次)54.543.52.5

A.y与久负相关B.a=5.6

C.预测第6个月的下载量是2.1万次D.残差绝对值的最大值为0.2

10.设5„是公比为正数等比数列{册}的前n项和，若a2/a3a5=言，贝弘)

1Q

A.a4=iB.S3=JC.an+S,,为常数D.{S「2}为等比数列

o4

11.已知定义域为R的偶函数〃>)满足+2)=—八—x),当x6(1,2］时/(x)=2，—2,则下列结论正确的

有()

A./(-I)=0BJ(久)的图象关于点(3,0)成中心对称

C./(2024)>f(2025)D)(房正6)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若双曲线史+上三=1的离心率为3,则该双曲线焦点到渐近线的距离为

mm+1

13.曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x—y+1=0垂直，则a=.

14.已知集合M={(a,b)|a<-1,且0<6<m},其中meR.若任意(a,6)eM,均有a,Zog2

b-b-3a>0,求实数爪的最大值_____.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

QTT

已知a,b,c分别是三角形三个内角力，B,C的对边，己知a=5,sin4=-,B-A=五

(1)求cosC的值；

(2)求“8C的周长.

16.(本小题12分)

如图，长方体ABCD-AiBiCiDi中，点分别在上，n.AELArB,AFLArD.

(1)求证：ArC1平面4EF；

(2)当4B=AD=l,A4i=2时，求平面4EF与平面的夹角的余弦值.

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17.(本小题12分)

已知直线久-2y+1=0与抛物线C:y2=2Px(p>0)交于4B两点，且|4B|=

⑴求P；

(2)设尸为C的焦点，M,N为C上两点，FM-FN^O,求△MFN面积的最小值.

18.(本小题12分)

已知函数/(吗=炭竺，其中e为自然对数的底数.

(1)当a=l时,求f(久)的单调区间；

(2)若方程/(X)=1有两个不同的根%1,比2.

(i)求a的取值范围；

(花)证明：/+始>2.

19.(本小题12分)

若数列力„：的"2,…G(n>2)满足|以+1-以|=l(fc=1,2,■■■则称4n为E数列，记S(4n)=a1+a2

++cin.

Q)写出满足的==0,且SCAD>0的一个E数列45；

(2)若的=2,n=2024,证明：E数列4n是递增数列的充要条件是斯=2025；

(3)对任意给定的整数门(几22),是否存在首项为。的E数列4n,使得S(40=。？如果存在，写出一个满足

条件的E数列力如果不存在，说明理由.

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参考答案

1.5

2.C

3.D

4.D

5.B

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.挛或Q

3J

13.一聂一0.25

14.2

15.(1)

7TTT

由B=5+8得：C=n—A—B=5—24

cosC=cos(^—2X)sin2X=2sinXcosX,

由B=?+4知8>A,故/为锐角，COST4=yJl-sin2A=^

4jf

3424

•••cosC=2sinZcosZ=2x-x-=—.

⑵

由(1)知：sinB=sin怎+/)=cos/=sinC=cos2c=枭

由正弦定理得：急a+b+c25

sin/+sinB+sinC3

•••a+b+c=素sin/+sinB+sinC)=§■(卷+1+3=14,

故"BC的周长为14.

16.(1]

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因为BC_L平面u平面ABBiAi，所以AE1BC,

又AEIAIB且4iBCBC=B,ArB,BCu平面4]BC,所以力E_L平面力iBC,

且&Cu平面&BC,故力E1&C,同理，AFlAiC,

AE,AFu平面4EF,4EnAF=A,

所以&C1平面4EF.

(2)

以4为原点，4B,AD,441所在直线为即,z轴建立空间直角坐标系，如图：

则41(0,0,2)此(1,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0),

在平面AiBD中，~BD=(-1,1,0),478=(1,0-2)

设平面力18。的一个法向量为3=(x,y,z),

则｛二2：乙”，可取3=(2,2,1)

由(1)知，平面4EF的一个法向量为瓦了=(1,1,—2)

设平面4EF与平面&BD的夹角为仇

则cosJ=|cos(n,x7c)|=«=号

故所求的夹角的余弦值为噜.

17.解:设4巧,心),8(冷而，联立｛/当瑟J4)，

消去%得：y2-4py+2p=0,

•••yi+丫2=4p,y02=2p,d=16P2—8p>0,

1

•••p(2p-l)>0,.,・p>5，

\AB\="1+41yLy2I=@J(yi+丫2)2-4)7/2=

16P2-8p=48,••・2P2-p—6=0,(2p+3)(p—2)=0,

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•••p-2,

(2)由(1)知y2=4%,所以F(1,O),显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：x=my+n,N(%2,》2)

y2——4%

Z，可得y2-4m-47i=0,所以yi+y2=4m,y^=-4n,

{my+n2

4=16m2+16n>0=>m2+n>0,

因为加•而=0,所以(小一1)(%2-1)+y，2=o，

22

即(znyi+71—1)(my2+n—1)+—0，BP(j^+I)yiy2+m(n—l)(yi+y2)+(n—l)=0,

2

将yi+y2=4m,y2——4n,代入得4zn2=n—6n+1,

...4(m2+九)=(n_1)2>o,所以九w1,且九2一6几4-1>0,解得九>3+2也或n<3—2也.

设点F到直线MN的距离为d,所以d=看需，

222

\MN\=y/l+m\y1+y2\=y/1+m7(yi-y2)-4yiy2="1+病。167n2+16rl

=y/1+7712^/4(712—6n+1)+16n=2^1+^2|n—1|,

1

所以△MNF的面积S=^\MN\xd=|xTX2J1+研n—l|,

又n23+2也或n<3-25所以当n=3—2他时，△MNF的面积S仅讥=(2—2避>=12-8^2.

18.(1)

由题意得/(无)=号竺，xe(0,+8),则/。)=—野，

由尸(x)=o,解得X=1.

当0<久<1时，f'(x)>0/0)单调递增，

当x>1时，f'(x)<0,/(尤)单调递减；

综上，f(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减；

⑵

1+\nx

①由玩竺=1，得—CL

X

设9(久)=匕酗

由(1)得或久)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减,

又gg)=0,g(l)=1,当久>1时，g(x)>0,且当xr+8时，g(久)->0,

所以当°<a<l时，方程号=a有两个不同的根，即方程*=1有两个不同的根,

故a的取值范围是(0,1).

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(九)不妨设xi<%2,贝1J0<X1<1<X2，且皿产=蛇(1.

人142

法一：

当尤2c[2,+8)时,结合(i)知君+始>超24>2,即好+虐>2；

当初6(1,2)时，2—。6(0,1).

设p(X)=gO)-g(2-x)=等+”为)-七。<x<1,

同用小_欣.ln(2r)Inxln(2-x)_InJCr-l)?+1]„

见p(%)--森一(2_x)2>_姿>u,

所以p(X)在区间(0,1)内单调递增，

则p(x)<p(l)=0,即g(x)<g(2—x),

所以g(2-xi)>5(%i)=g(X2),

又XiG(0,1),2rl>l,x2>l,g(x)在区间(1,+8)内单调递减,

所以2—<%2，即%1+%2>2,

又％1H%2，所以好+^2>2%1%2，

故2妊+2%2>%i+%2+2巧%2=(%i+x2)2>4,所以好+成>2,得证.

法二：

设%(%)=0(%)-9(§)=1[二'一%(1一1口无),%e(0,+oo),

则"(%)=+In%=In%-x>0,

所以以%)在区间(0,+8)内单调递增，又仗1)=0,

所以仅小)=<o,即gOD<g(J.

又g(%2)=gOi)，所以g3)<昭)，

1

又%2>1,—>Lg(x)在区间(1,+8)内单调递减.

人1

1

所以久2>彳，即犯式2>1，

X1

又X1大犯，所以/+始>2乂1乂2〉2,得证.

19.⑴

数列0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列45.

(2)

必要性：由E数列4是递增数列，得四+1-耿=1(左=1,2,…,2023),

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则上是首项为2,公差为1的等差数列，所以02024=2+(2024-1)x1=2025；

充分性：由|以+1-耿|=1(，=1/2,•••,n—1),

得。2024一。202341，。2023一。202241，......，。2一。141，

于是。2024一—2023,即。2024―+2023,而=2,。2024=2025,

因此。2。24=。1+2023,上述各不等式都取等号，

即以+1-以=1>0(k=1,2,…,2023),从而4n是递增数列,

所以E数列4是递增数列的充要条件是斯=2025.

(3)