2024年高考数学一轮复习讲义：函数与方程（习题含解析）

第8节函数与方程

考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系2理解函数零点存在定理，并能

简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.

I知识诊断•基础夯实

知识梳里

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y=/(x),我们把使於』的实数x叫做函数y=/(x)的零

点.

⑵函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

方程y(x)=()

有实数解

2.函数零点存在定理

(1)条件:①函数y=Ax)在区间口,加上的图象是一条连续不断的曲线；②£位四<0.

(2)结论：函数丁=火力在区间(a,0)内至少有一个零点，即存在cG(a,b),使得血)

=0>这个c也就是方程五x)=0的解.

|常用结论

1.若连续不断的函数1%)在定义域上是单调函数，则人x)至多有一个零点.函数的零

点不是一个“点”，而是方程五x)=0的实根.

2.由函数y=/(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a,加上有零点不］夕⑺

一定能推出火。)次。)<0,如图所示，所以五0次。)<0是v=Xx)在。「力力'

闭区间3,加上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

⑴函数外)=2x的零点为0.()

⑵图象连续的函数y=段)。弓。)在区间(a,0)7。内有零点，则加)•型)<0.()

（3）二次函数y=ax2+0x+c（aW0）在b2-4ac＜0时没有零点.（）

答案（1）V（2）X（3）V

解析（2）成a）次与＜0是连续函数y=/（x）在（a,与内有零点的充分不必要条件，故

⑵错误.

2.（多选）（2021.威海调研）下列说法中正确的是（）

A.函数五的=尤+1的零点为（一1,0）

B.函数五x）=x+l的零点为一1

C.函数/U）的零点，即函数/U）的图象与x轴的交点

D.函数人x）的零点，即函数五x）的图象与x轴的交点的横坐标

答案BD

解析根据函数零点的定义，可知7（x）=x+l的零点为一1.函数y=/（x）的零点，

即函数y=Hx）的图象与x轴的交点的横坐标，因此B,D正确，A,C错误.

3.（2022.武汉期末）函数八%）=3工+九一2的零点所在的一个区间是（）

A.（0,1）B.（b2）

C.（-2,-1）D.（-l,0）

答案A

解析»=-l,^1）=2,故|0）成1）＜0,由零点存在定理可知人x）的零点所在的

一个区间是（0,1）.

4.（2019•全国HI卷）函数於）=2sinx—sin2x在［0,2兀］的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由2sinx—sin2x=0,得sin尤=0或cosx=1.

又无弓［0,2兀］,由sinx=0,得x=0,兀，2Tl.

由COSX—1,得X=0,271.

...於）=0有三个实根0,兀,271,即於）在［0,2扪上有三个零点.

5.（易错题）函数而c）=ax2—x—1有且仅有一个零点，则实数a的值为.

答案0或一（

解析当。=0时，fix）=—X—1,

令人x）=0得尤=—1,

故兀0只有一个零点为一1.

当aWO,则/=l+4a=0,

._1

.•a——

6.函数八光)="2，一近一2在区间(1,2)内有零点，则实数上的取值范围是.

答案(0,3)

2

解析令八%)=0,/.x-2x—h;—2=0,即左=2%——，

x

2,

即y=左与0。)=2工一二，xG(l,2)的图象有交点，

Ji

2

又9(1)=21—；在(1,2)上单调递增，

且0(1)=0,矶2)=3.

：.0<k<3.

I考点突破•题型剖析

考点一函数零点所在区间的判断

1.(多选)(2021.荷泽质检)函数火x)=e、-x—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(—2,-1)B.(-L0)

C.(0,1)D.(l,2)

答案AD

解析/-2)=4>0,^-l)=7-l<0,»=-l<0,/l)=e-3<0,^2)=e*2-4>0,

因为八一2)负一l)<0,汽1)次2)<0,所以汽x)在(一2,—1)和(1,2)内存在零点.

2

2.函数H%)=2工一；一a的一个零点在区间(1,2)内，则实数。的取值范围是()

A.(l,3)B.(l,2)C.(0,3)D.(0,2)

答案C

2?

解析因为函数Hx)=2'—a在区间(1,2)上单调递增，又函数Hx)=2-x—;一a

的一个零点在区间(1,2)内，则有｛1)次2)<0,

所以(一。)(4—1—a)<0,即〃(Q—3)<0,所以0<Q<3.

3.(2022・长沙调研)设函数Hx)=5—In无，则函数丁=於)()

A.在区间g,1),(1,e)内均有零点

B.在区间仁，1),(1,e)内均无零点

C.在区间g,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点

D.在区间g,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

答案D

解析令段)=0得gx=Inx.

作出函数y=gx和y=ln%的图象，如图，

ex

显然y=/U)在g，1)内无零点，在(1,e)内有零点./

4.若a<b<c9则函数八%)=(九一。)(%—6)+(%—/?)(%—c)+(x—c)(x—〃)的两个零点分

别位于区间()

A.(Q,b)和S，c)内

B.(—Q)和(Q,力内

C.S，c)和(c,+8)内

D.(—8,〃)和(C,+8)内

答案A

解析Va<b<c,

=(a—b)(a—c)>0,

投b)=(b—c)(b—a)<0,

艮d)=(c—d)(c—Z?)>0,

由函数零点存在性定理可知，在区间(Q,b),S，C)内分别存在零点，又函数人功

是二次函数，最多有两个零点，因此函数的两个零点分别位于区间(a,b),(b,

c)内.

感悟提升确定函数»的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=/(x)在区间［凡句上的图象是否连续，

再看是否有人。)次份<0,若有，则函数y=/(x)在区间(a,。)内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用

图象法求解，如y(x)=g(x)—/z(x),作出y=g(x)和y=/z(x)的图象，其交点的横坐标

即为函数人为的零点.

考点二函数零点个数的判定

例1(1)已知函数y=/(x)是周期为2的周期函数，且当x©[—1,1]时，次x)=23—

1,则函数网x)=/(x)—|lgx|的零点个数是()

A.9B.10C.llD.18

答案B

解析由函数y=/(x)的性质，画出函数y=/(x)的图象，如图，再作出函数y=|lgx|

的图象，

-3-1O135791011彳

由图可知,y=/(x)与y=|lgx|共有10个交点，

故原函数有10个零点.

(2)函数Hx)=2*n(x+l)]—4的零点个数为.

答案2

解析由题意，函数人%)=2*11(%+1)|—4的零点个数即为两个函数丁=2=+2与丁

=|ln(x+l)|的交点个数，两个函数的图象如图.

由图知，两个函数有2个交点，

故函数<x)=211n(x+l)]—4的零点个数是2.

感悟提升函数零点个数的判定有下列几种方法

(1)直接求零点：令人x)=0,如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在口，句上是连续不断的曲线，且

Aa)•成b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零

点.

(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值,

就有几个不同的零点.

x2-bx—2,xWO,

训练1⑴函数危尸1「c的零点个数为()

「1十Inx,x>0

A.3B.2C.7D.0

答案B

解析法一(直接法)由於)=。得。；,2=。或i—lEn-。，解得尸一2或

x=e.

因此函数1x)共有2个零点.

法二(图象法)函数人为的图象如图所示，由图象知函数人乃共有2个零点.

⑵(2021.福州联考)已知函数人乃是定义在R上的偶函数，满足h%+1)=—人防，当

JT一

x©[0,1]时，fix)=cos则函数y=/(x)—国的零点个数是()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析由八x+l)=-/(x),得兀Y+2)=HX),

知周期T=2,

令加)一国=0,得於)=|R.

作出函数y=/(x)与g(x)=|x|的图象如图所示.

由函数的图象知，y=/(x)-|x|有两个零点.

|考点三函数零点的应用

角度1根据零点的个数求参数

2y[x,

例2(1)已知函数火x)=<1若关于x的方程«x)=—；x+a(a©R)恰

一，X>1.4

1X

有两个互异的实数解，则。的取值范围为（）

「591（591

A[W'4JB.04

<591「59]

C匕,W」U{1}D9,4JU{1}

答案D

当直线/经过点A时，

19

有2=—^Xl+a，«=4；

当直线/经过点B时，

有1=一（Xl+a,a=|；

由图可知，。@丘一5，不9时，函数丁=於）的图象与/恰有两个交点.

另外，当直线/与曲线y=J,x>l相切时，恰有两个公共点，此时a>0.

-ax~\~1=0,

由/=4—4X/X1=0,得a=l（舍去负根）.

59-

-

不-

综上，4

_U{1}.

元3—3x~|~]—aJQ0

（2）（2022・湖北九市联盟质量检测）若函数火劝=｛一、，'恰有3个零

I3xa,x0

点，则实数。的取值范围为.

答案（T,0）U[l,4）

3

解析设g(x)=%1—+3x3+fl,"x。>，0,

由题意得<%)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y=a有3个交点.

J3——3,x>0,

*°)、3f+6x,xWO,

.•.g(x)的极大值g(—2)=4,极小值g(l)=—1,

又g(O)=O,03—3X0+1=1,

故可作出此函数的图象，如图所示，

例3若函数«v)=(/n—2)/+如;+(2阳+1)的两个零点分别在区间(一1,0)和区间

(1,2)内，则机的取值范围是.

’1r

答案

4-2,

解析依题意，结合函数火x)的图象分析可知,

->nW2,

需满足，/(-1)-/(0)<0,

/(1)•/(2)<0,

,机W2,

[m-2一m+(2m+l)](2m+1)<0,

<

[m-2+加+(2m+l)]

<[4(m—2)+2m+(2m+1)]<0,

11

解

得-<<-

4m2

感悟提升(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方

程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.

(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图

象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的

特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.

训练2(1)已知函数火x)=[:二'(a£R),若函数人乃在R上有两个零点，

3x19%>0

则a的取值范围是()

A.(—0°,—1)B.(—8,1)

C.(—1,0)D.[-l,0)

答案D

解析当x>0时，y(x)=3x—1有一个零点无=/

因此当xWO时，汽x)=ex+a=O只有一个实根，

.•・〃=—e"(xWO),则一1WQ<0.

(2)已知函数月x)=/—。若五x)没有零点，则实数。的取值范围是()

Ji

A.[0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.[0,1)

答案A

p%(JC—1)e'

解析法一设g(x)=T，则g，(x)=------?-----(xWO).

AJL

.•.g(X)的单增区间为(1,+8),

单减区间为(一8,0),(0,1),

，g(x)的图象如图所示，故a的取值范围为[0,e).

法二由火x)=——。=0,得ex=ax.

若a<0时，显然y=ex与y=ax有交点,

因此若兀0无零点，必然有aNO.

当y=ax与y=相切时，

设切点P(xo,曲),

则〃=e*o且exo=axo,

=

••ci—cixo9••xo1,

x

则切线斜率k=eo|xo=1=e.

因此，要使曲线y=e%与y=ax不相交，

则OWaVe.

⑶若函数«x)=[10gdi—2r(Q>0且的两个零点是加，n,贝4()

A.mn=1B.mn>l

C.O<mn<lD.以上都不对

答案C

解析由题设可得|log岗=&),不妨设a>l,m<n,画出函数

y=\logax\,y=g)的图象如图所示，结合图象可知0<冽<1,

n>l,且一loga/n=logan=以上两式两边相减可得logfl(mn)=

<0,所以故选C.

微点突破/嵌套函数的零点问题

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零

点，通常先“换元解套”，设中间函数为/,通过换元将复合函数拆解为两个相

对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

一、嵌套函数零点的个数问题

e"x<0

例1(2022.长沙质检)已知函数其中e为自然对数的底

数，则函数g(x)=3[/(x)]2—1Q/(X)+3的零点个数为()

A.4B.5C.6D.3

答案A

解析当x20时，»=4x3-6x2+l的导数为了(乃二口%2—12x,

当0<%<1时，/(x)<0,1x)单调递减，%>1时，/(x)>0,式1)单调递增,

可得人x)在龙=1处取得最小值，最小值为一1,且人0)=1,

作出函数兀0的图象，

g(x)=3[Xx)]2—IQ/(X)+3,可令g(x)=o,r=Xx)，

可得3?-10r+3=0,

解得t=3或g,

当/=g,即«v)=g时，g(x)有三个零点;

当/=3时，可得人x)=3有一个实根，即g(x)有一个零点,

综上，g(x)共有四个零点.

二,由嵌套函数零点的个数求参数的范围

]n(—x—])—]

例2函数Hx)=L若函数g(x)=X/(x))—a有三个不同的零

、2x十19x1,

点，则实数。的取值范围是.

答案[—L+8)

解析设/=於)，令用a))—a=0,则。=/⑺.在同一坐标系内

作y=0y=/(，)的图象(如图).

当a2—1时，y=a与y=/(/)的图象有两个交点.

设交点的横坐标为力，/2(不妨设/2>九)，则/1<—1,包三一1.

当力<—1时，有一解；当/2三一1时，位=/(x)有两解.综上，当a2一1时,

函数g(x)=f(f(x))—a有三个不同的零点.

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.已知函数人1)=<，，''［则函数人为的零点为()

、1十10g2X,1,

A3,0B.—2,0C.^D.O

答案D

解析当xWl时，令人》)=2工一1=0,解得x=0；

当X>1时，令兀X)=l+log2X=0,

解得x=1,

又因为X>1,所以此时方程无解.

综上，函数五X)的零点只有0.

2

2.函数I/(x)=lnx—£的零点所在的区间是()

A.(l,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

答案B

2

解析函数«v)=ln龙一二在(1,+8)上单调递增，且在(1,+8)上连续.

XL

因为火2)=ln2—2<0,汽3)=ln3—1>0,

所以汽2)次3)<0,

所以函数的零点所在的区间是(2,3).

3.(2022•南昌模拟)已知x=a是函数外)=2」log与的零点，若O<xo<a,则加⑹

2

的值满足()

A./xo)=O

B人xo)>O

C<xo)<O

D<xo)的符号不确定

答案C

解析人工)=2工-108%在(0,+8)上单调递增,

2

且五。)=0,又O<xo<a,

•••人阳))<火。)=0,即火阳))<0.

4.(2022・西安调研)设函数«¥)=6^+了-2,g(x)=lnx+/-3.若实数a,5满足/(a)

=o,g(b)=o,则()

A.g(a)<0勺g)B<0)<0<g(a)

C.0<g(a)勺3)D.»<g(a)<0

答案A

解析易知函数五x)单调递增，且火0)=—l<0,#l)=e—1>0,由人a)=0知0<a<l；

函数g(x)在定义域内单调递增,g(l)=—2<0,g(2)=ln2+l>0,由g(ZO=O知2泌>1,

所以g(a)<g(l)<0,胆)次D>0,故g(a)<0勺S).

5.已知函数若段)有两个零点X2(X1>X2),贝！J九1

2(x+1)~t,%VO,

一X2的最小值是()

315

A.lB.2C.TD.77

4lo

答案D

解析根据题意可得五一/=0,解得xi=?(/>0),2(%2+1)-/=0,解得X2=^t

2

—1(/<2),则也一了2=--5+1=1—+1|(0W/<2),当/=(时，★一空取得最

小值，

6.若函数y=Ax)(xeR)满足人x+4)=/(x),且x@(—2,2］时，»=1|A|,则函数y

=兀0的图象与函数y=lg|x|的图象交点个数为()

A.4B.6C.8D.10

答案C

解析••F>+4)=/(x),...函数加0是周期为4的周期函数.

又x©(—2,2］时，»=^|x|,

I.作出函数次x)的图象如图所示.

y

尸IgLd

—10—8—6—4-2［p2~4681()~~~

•.”=±10时，y=lg|±10|=l,

由数形结合可得函数y=/(x)的图象与函数y=lg|x|的图象交点个数为8.

7.(多选)已知定义在R上的奇函数人用的图象连续不断，且满足_Ax+2)=/(x),则

以下结论成立的是()

A.函数人x)的周期7=2

B<2021)=;(2022)=0

C.点(1,0)是函数y=Ax)图象的一个对称中心

D<x)在［―2,2］上有4个零点

答案ABC

解析定义在R上的奇函数兀0的图象连续不断，且满足Hx+2)=/(x),所以函数

的周期为2,所以A正确；

八-1+2)=次-1),

即yU)=A—D=-/l)，

所以汽1)=A—1)=0，

所以火2021)=/1)=0,

人2022)=/(0)=0,所以B正确；

>+2)=»=-^-x),C正确；

人x)在[―2,2]上有八一2)=八一1)=/(0)=汽1)=,2)=0,有5个零点，所以D错误.

gxWO

8.已知函数火x)=<,g(x)=/(x)+x+a若g(x)存在2个零点，则。的取值

Jnx,x>0,

范围是()

A.[-l,0)B.[0,+8)

C.[-l,+8)D.[L+8)

答案C

解析由g(x)=O得兀0=—x—a,作出函数y(x)和y=-x—a

的图象如图所示.

当直线y=—x—a的截距一aWl,即—1时，两个函数的

图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的

取值范围是[—1,+°°).

9.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=\x-a\—l的图象只有一个

交点，则a的值为.

答案2

解析兀0=2sinxcosx——=sin2x一—，函数1工)的零点个数可转化为函数州=sin

2x与y2=f图象的交点个数，在同一坐标系中画出yi=sin2x与y2=f的图象如

图所示.

由图可知两函数图象有2个交点，则五x)的零点个数为2.

11.已知函数人x)=21gx+x—4的零点在区间(左，左+1)(左©Z)上，则左=.

答案3

解析函数4x)=21gx+x—4在(0,+8)上为增函数，

又..7(3)=2炫3+3—4=21g3—l=lg9—1<0,汽4)=21g4+4—4=21g4>0,

即汽3)次4)V0,

则函数/(x)=21gx+x—4的零点在区间(3,4)上，即左=3.

12.若xi是方程xe*=l的解，X2是方程xlnx=l的解，则xix2=.

答案1

解析xi,X2分别是函数丁=巴函数y=lnx与函数的图象的交点A,3的横

坐标，所以A(X1,J),B(X2,二口两点关于y=x对称，XI=77,因此X1X2=1.

|B级能力提升

——D，x，0

13.(多选)(2021•衡水检测)已知函数於尸''’若无1<冗2V%3<%4,且

Jlog2%|,X>0,

八%1)=火%2)=八%3)=火工4),则下列结论正确的是()

A.X1+X2=—1B.X3X4=1

C.1<X4<2D.O<X1X2X3X4<1

答案BCD

一，一2x%W0

解析由函数八%)=n,'作出其函数图象：

l|log2X|,X>0,

由图可知，xi+x2=—2,—2<xi<—1；

当y=l时，|log2x|=1,有x=；,2,

所以T<X3<1<X4<2；

由兀⑶=於4),有|10g2X3|=|10g2X4|,

即10g2X3+10g2^4=0,

所以X3X4=1,

则X1X2X3X4=X1X2=X1(—2—X1)=—(XI+1)?+1七(0,1).故选BCD.