河北省五校2025届高三年级上册第一次联合测评数学试题（含答案）

河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知4={%，092(<2},8={%|久2一支—240},贝IJ(CR4)CB=()

A.{x|-l<x<i]B.[x|-2<x<J}

C.RD.[x\x>^

2.已知数列{a九},%=2,且出i+i=7^—(n>1),贝南2024=()

1

B2D

.2-

3.已知向量3=（4,3,—2）,b=（2,1,1）,则2在向量b上的投影向量为（）

A.（3,|,|）B.（|,舒）C.信|,|）D.（4,2,2）

1-124

4.已知.aT--a=f，aE（0,兀），贝kos2a=

sin2cosa/

17177979

A_R__r——D__—

8181128128

5.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据例、子算经》记载，算

筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如1||表示62,=7表

示26,现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0）,则这个两位数不小于50的

概率为（）

纵式」IlHIIIIIHIIITn1w

横式：——=三三皂_£xi=

12345678

3

5

6.若low%+，。94y=2,贝叶+:的最小值为（）

1

A.苧B.iC.|D.2

7.已知抛物线/=4y,P为直线y=-1上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为4B,则方•丽的

值为（）

A.0B.1-2D.-1

8.已知函数/(%)=汽+g+31nx在％e(a,2-3a)内有最小值点，则实数a的取值范围是()

111

A.a>1B.-<a<1C.0<a<-D.0<a<-

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z满足zi=Ci-1,则下列说法正确的是()

A.z的虚部为i

B.\z-2i\=\z\

C.若复数Zi，Z2满足|z/=。|=且Z1-Z2=Z,则|Zi+Z2l=2，^

D.若复数Z3满足|Z-Z31<<2,则Z3在复平面内对应的点构成图形的面积为2兀

10.设f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,且/(X)为单调函数,/(I)>1,若对任意XeR有f(g(x)-%)=

a(a为常数)，g(f(久+2))+(X))=2久+2,贝1]()

A.g(2)=0B./(3)<3

C.f(x)-x为周期函数D.Xfc=i/(4/c)=2n(n+1)

11.在棱长为1的正方体4BCD-中，P为棱上一点，且B1P=2PB,Q为正方形内一动

点(含边界)，则下列说法中正确的是()

A.若DiQ〃平面&PD,则动点Q的轨迹是一条长为苧的线段

B.存在点Q,使得DiQ，平面&P。

C.三棱锥Q-力止。的最大体积为焉

D.若。1(2=苧，且D1Q与平面&PD所成的角为0,则sin。的最大值为鸳

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

525

12.若(3%—I)=a0+a1x+a2x+…+a5x,则a[+2a2+3a3+4a4+5a5=.

13.已知点P是双曲线C:”，=l(a>0,b>0)左支上一点&尸2是双曲线的左、右两个焦点，且P01

。尸2，尸尸2与两条渐近线相交于风可两点(如图)，点可恰好平分线段「尸2,则双曲线的离心率是.

14,若函数f(x)=sin6x+cos6x+^sin4x-6在［0,勺上有两个零点，则小的取值范围是____.

o4

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

数列｛a^｝?两足：a1—1,a^+i—2ci^+1；设—an+1

(1)证明｛b｝是等比数列，并求｛厮｝的通项公式；

(2)求｛an｝的前n项和立.

16.(本小题12分)

2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入

健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，

得到如下列联表：

周平均锻炼时长

年龄合计

周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时

50岁以下4060100

50岁以上(含50)2575100

合计65135200

(1)试根据a=0.05的f独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？氏2精确到0.001)；

(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，

再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X,求X的分布

列和数学期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

2=Mad-bc)其中n=

参考公式及数据:ya+b+c+d.

7t(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面力BCD,PB与底面4BCD所成角为45。，四边形力BCD是梯形,

(1)证明：平面P4C1平面PCD；

(2)若点T是CD的中点，点M是P7的中点，求点P到平面力的距离.

(3)点7是线段CD上的动点，PT上是否存在一点M,使PTL平面4BM,若存在，求出M点坐标，若不存

在，请说明理由.

18.(本小题12分)

已知椭圆C：各，=l(a〉6>0)的右焦点为F(1,O),离心率为苧，直线Z经过点F,且与C相交于4B两

点，记，的倾斜角为a.

(1)求C的方程；

(2)求弦4B的长(用a表示)；

(3)若直线MN也经过点F,且倾斜角比/的倾斜角大求四边形AMBN面积的最小值.

19.(本小题12分)

已知函数f(%)=21nx—：—1—2.

(1)当。=一3时，求函数/(%)的极值；

(2)若函数/(%)有唯一的极值点%o.

①求实数a取值范围；

②证明：%Q/(XO)+2%o•er~x°+1>0.

参考答案

1.71

2.4

3.2

4.B

5.B

6.A

7.4

8.C

9.BD

1Q.BCD

ll.ACD

12.240

13.75

15.解:⑴由题意知an+i=2an+1,则册+i+1=2(a九+1),

即bn+i=2bn,即a1=1,则瓦=a1+1=2,

故｛6n｝是首项为2,公比为2的等比数列,

nn

故6n=2",即a"+1=2,an=2—1；

(2)由于册=2"—1,故S”=2+22+--+2n-n=2『“)—n=2n+1-n-2.

1—z

16.解：（1）零假设/：周平均锻炼时长与年龄无关联.

2

由2X2列联表中的数据，可得f=喘鬻急黑=5.128,

2

•••%x5,128>x005=3.841.

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断/不成立,

即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.

（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5x编=2人，不少于4小时的有5x编3人,

所以X所有可能的取值为1,2,3，

Z'lZ^2QZ-«2f->\.QZ_13/"*01

所以P(X=1)=^=K，P(X=2)=等=|,P(X=3)=甯=》

所以随机变量X的分布列为:

X123

331

p

105To

随机变量X的数学期望E(X)=lx^+2x|+3x^=|

17.解：(1)由P41平面ABC。，ABu平面4BCD,CDu平面4BCD,

得PA1AB,PALCD,PB与底面ABC。所成角为NPBA=45。.

所以三角形P4B为等腰直角三角形，AB=AP=1.

又由四边形力BCD是直角梯形，BC//AD,可知力B1BC,

所以回A8C为等腰直角三角形，而BC=1,故

在直角梯形48CD中，过C作CE14D,垂足为E,则四边形4BCE为正方形，

可知力E=BC=CE=1.

所以DE=1,在等腰直角三角形CDE中，CD=72.

贝！I有AC?+=2+2=4=2。2,所以j_AC.

又因为P41DC,PACtAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC.

所以DC1平面P2C.因为DCu平面PC。，所以平面PAC1平面PCD.

(2)以4为坐标原点，分别以4B,4D,4P所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

贝|J4(O,O,O),P(O,O,1),8(1,0,0),£>(0,2,0),C(l,l,o).

因为7是CD的中点，点M是PT的中点，所以7弓,|,0),

设平面4BM的法向量为元=(x,y,z),AB=(1,0,0),AM=LIY

4Z/

(x=0

则俨-AB=O,得[3+白+卜=。，

'tn-AM=0

取y=4,贝口=一6,得平面48M的一个法向量为元=(0,4,—6),

而布=(0,0,1)，所以点P到平面42M的距离为粤==搐=智—

(3)设和,=AlC+(1-A)AD=(A,A,0)+(0,2-22,0)=(2,2-2,0),注意到2(0,0,0),

所以7(4,2-尢0),

所以丙=(尢2-尢一1),

设两=iiPT=MU,2-2,-1)=(附2〃-眼一〃),注意到P(0,0,l),

所以尢2〃—〃尢1—〃)，

因为2(0,0,0),8(1,0,0),所以通=(1,0,0),宿=(q,2〃一〃尢1一〃)，

若PT1平面力BM,

则当且仅当偿,雪二七。，即当且仅当上；,

(PT,AM=4a2+〃(2—A)+〃—1=0—5

此时M(0,|,J

综上所述，当且仅当T,n重合，此时存在M(0,|,g,使PT1平面力8M.

(C=1,

18.解：(1)由题意知收=苧,

解得Q=b=19

U2-b2

C2,

2

所以C的方程为v券+y2=i.

(2)当aH5时，设，的方程为y=々(％-1)，=tana,^(上,力)，

y=k(x-1),

联立%27得(2/+1)%2-4k2%+2肥-2=0,

12+y=L

4k22k2-2

其中/=8(/c2+1)>0,且％1+犯=2,%i%2=7

2k'+l2k'+l

所以|4B|=月(/+1)(/一冷)2==卡却

2聿2k+：1f)1+sina

当仇=即寸，|28|二等=/^

综上，对任意的ae[0,7T),\AB\=上'

1+sina

(3)由题意知a£[0片),由⑴知1=2/2I2v_2

41+sin2a，|MN|=1+sin2(a+打

71

二匚[、[2yl~22y/~2y/~2

所以、Sc四边形AMBN=12I\4AmB\I\n>MfANM\s-m-=-1x耳砧x"诉而X-

_________8/2______________________8/2____________

(3+sin2a)(3—cos2a)9+3(sin2a—cos2a)—sin2acos2a,

令sin2a—cos2a=t,tG[—1,V-2],

贝Usin2acos2a=三，SmAMBN=昌鬟育

因此，当t=2时，四边形4MBN的面积取得最小值塔|产

Zoy

19.解:(1)由函数/(x)=21n久—三―2,可得其定义域为(0,+8),且(⑺=|+9

2(x2+2x+a)

当a=-3时，可得10)=2%尸)=2。一普+3),

则当ov%vi时，/(%)<0；当%>1时，/(%)>0,

所以/(久)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，

所以，当％=1时，函数/(%)的极小值为/(1)=一3,无极大值.

(2)①由(1)可知，分析h(%)=/+2%+a的图像特征，

可得九(%)在(0,+8)上单调递增，且h(0)=a,

当a>。时，则((久)=2(，：y+a)>0恒成立，

故函数f(X)在(0,+8)恒单调递增，即无极值点；

当a<0时，令/'(%)=0,解得%0=-1-V1-a<0舍去，%0=-1+，1-a>0,

则函数/(%)的单调递增区间为(—I+VT^,+8),单调递减区间为(0,-1+YTF)

即此时/(%)有唯一的极值点第0，且满足%。+2%o+a=0成立；

综上所述：当。<0时，函数f(%)有唯一的极值点%°；

②由①可知，函数/(%)有唯一的极值点第o=-1+V1-a>0,且a=-(%o+2%o),

故%行(%o)+