相交线与平行线中的M模型（含锯齿型）-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题03相交线与平行线中的M模型(含锯齿型)

内容导航：模型分析T典例分析T

【模型1】M型

(1)如图，已知45〃CD,BF与DF相交于点FnN8+NZ)=N8FD

【证明】

如图，延长BF交CD于点G

•/ABHCD

NB=ZFGD

又•/ZBFD=ZFGD+ND

ZBFD=ZB+ZD

(2)如图，已知N8+ND=/BED,BF与DF相交于点Fn48〃CD

【证明】

如图，延长BF交CD于点G

ZB+ZD=ZBFD

又­.•ZBFD=ZFGD+ND

ZB=ZFGD

ABHCD

【M型变式】

如图，已知45〃CD,6、鸟是平行线内的两点nN36巴+ND6q=180°+NB+N。

【证明】

：分别过片、P2做P、MHAB,P2N//CD

•••ABIICD

ABHPXMIIP2N//CD

NB=NBRM,ND=ZDP2N

ABPXP2+NDPF\=NBRM+NMPR+ZNP2P{+ZNP2D

•••ABIIPXMIIP.N//CD

NMg+ZNP2P1=180°,NB=ZBP1M,ZD=ZDP2N

NBPFz+ZD舄耳=180。+N8+ND

【模型2】锯齿型

如图，已知48〃CD,M、N是平行线内的两点，点P是线段CD上一点，连接BM、、NP,

nNB+NN=NM+NNPD

【证明】

如图：分别过点M、N做EF口AB,GHHCD

■：ABHCD

ABHEFUGHIICD

NB=NBMF,ZFMN=NMNG,NGNP=ZNPD

ZBMN=NBMF+NFMN=NB+AMNG

ZBMN=ZB+NMNG

ZMNP=AMNG+NGNP=ZMNG+NNPD

ZMNP=ZMNG+ZNPD

NMNG=/MNP-ZNPD

ZBMN=NB+/MNP-ZNPD

NBMN+ZNPD=ZB+/MNP

ZB+ZN=ZM+ZNPD

CPD

典例分析

【例1】如图，/BCD=7。。,AB//DE,则Na与满足（）

A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+Zp=90°

【答案】B

【分析】过点。作。/〃45,根据平行线的性质得到N5C歹=Na,/DCF=/p,由此即可解答.

【解析】如图，过点。作CF〃/5,

■:AB〃DE,

:.AB//CF//DE9

:・/BCF=/a,ZDCF=Z^f

,?/BCD=7U。,

：.ZBCD=ZBCF+ZDCF=Za+Zp=70°,

.•.Za+Zp=70°.

故选反

【例2】如图，AB//EF,设NC=90。，那么x,歹，z的关系式为,

AB

x

【答案】产90°x+z.

【分析】作CG//AB,DH//EF,iAB//EF,可得45〃CG加ZME尸，根据平行线性质可得Nx=Nl,ZCDH=Z2,

ZHDE=Zz,由NC=90。，可得Nl+N2=90。，由/产22+/2,可证N尸N2+900Nx即可.

【解析】解：作CG〃48,DH//EF,

■:AB//EF,

：.AB//CG//HD//EF,

：.Zx=Zl,/CDH=/2,/HDE=/z

NBCD=90。

.*.Zl+Z2=90o,

N产NCDH+NHDE=/z+N2,

VZ2=90°Zl=90°Zx,

N尸Nz+90°Nx.

BP^=90°x+z.

【例3】问题情境：如图①，直线45〃CD,点。厂分别在直线CD±.

E

EBB

P

P-

^2

DD

F

图①图②

⑴猜想:若Nl=130。，Z2=150°,试猜想/P=

⑵探究:在图①中探究/I,N2,NP之间的数量关系，并证明你的结论;

⑶拓展:将图①变为图②，若/1+/2=325。，NEPG=75。，求NPGF的度数.

【答案】(1)80°

(2)ZP=36O°-Z1-Z2;证明见详解

(3)140°

【分析】(1)过点尸作“N〃/8,利用平行的性质就可以求角度，解决此问;

(2)利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此间;

(3)分别过点P、点G作"N〃/8、KR//AB,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可.

【解析】⑴解：如图过点尸作"N〃/8,

AB//CD,

・•.AB//MN//CD.

：./l+/£PN=180。，

N2+ZPPN=180。.

VZl=130°,Z2=150°,

JZ1+Z2+/EPN+ZFPN=360°

JZEPN+FPN=360。一130。-150。=80°.

/P=/EPN+/FPN,

：.ZP=80°.

故答案为：80°；

⑵解：ZP=36O°-Z1-Z2,理由如下:

如图过点尸作AW〃/5,

AB//CD,

：.AB//MN//CD.

：.Z1+ZEPN=1SO°,

Z2+ZFPN=1SO0.

：.Z1+Z2+ZEPN+ZFPN=360°

ZEPN+ZFPN=ZPf

ZP=36O°-Z1-Z2.

(3)如图分别过点P、点G作“N〃43、KR//AB

•・,AB//CD,

：.AB//MN//KR//CD.

：.Zl+ZEPA^=180°,

/NPG+/PGR=180。,

ZAGF+Z2=180°.

・•・Z1+ZEPN+ZNPG+/PGR+RGF+N2=540°

ZEPG=ZEPN+ZNPG=75°,

/PGR+ZRGF=ZPGF,

/l+/2=325。，

JZPGF+Z1+Z2+ZEPG=540°

・•・ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案为：140。.

模型演练

一、单选题

1.如图，ABHCD,点£在NC上，44=110。，ND=15。,则下列结论正确的个数是()

(1)AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)NA=NCED+ND；(4)ABED=45°

4-----------

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解.

【解析】W：'：AB//CD,

：.N/+NC=180。，

又；4=110。,

AZC=70°,

AZAED=ZC+ZZ）=85°,故（2）正确，

ZC+ZD+ZCED=180°,

ZD+ZCED^llO°,

；.NA=NCED+ND,故（3）正确，

•.•点£在AC上的任意一点，

无法判断等于CE,/BED无法判断等于45。，故（1）、（4）错误,

故选：B.

2.如图,AB〃EF,ND=90。,则。，川,7的大小关系是（）

E

A.P=a+yB.P-a+y-90°

C.yff=y+90°-aD.P=<2+90°-/

【答案】D

【分析】通过作辅助线，过点C和点D作CG〃AB,DH〃AB,可得CG〃DH〃AB,根据AB〃EF,可得

AB〃EF〃CG〃DH,再根据平行线的性质即可得Y+(3a=9O。,进而可得结论.

【解析】解：如图，过点C和点D作CG〃AB,DH〃AB,

VCG//AB,DH//AB,

.•.CG//DH//AB,

VAB//EF,

AAB//EF//CG//DH,

VCG//AB,

・•・ZBCG=a,

・・・ZGCD=ZBCDZBCG=Pa,

VCG//DH,

・•・ZCDH=ZGCD=Pa,

VHD//EF,

・•・ZHDE=y,

ZEDC=ZHDE+ZCDH=90°,

y+pa=90°,

.,.p=a+90°y.

故选：D.

3.如图，已知直线@〃卜Zl=40°,/2=60。.则N3等于（）

a

丁

2

b

A.100°B.60°C.40°D.20°

【答案】A

【解析】解：过点C作CD〃a,

・・・CD〃a〃b,

.•.ZACD=Z1=4O°,NBCD=N2=60。,

・・・Z3=ZACD+ZBCD=100°.

故选A.

4.如图，AB〃CD,点、E,尸在直线ZB上（尸在E的右侧），点G在直线CD上，EFLFG,垂足为方，M

为线段跖上的一动点，连接GPGM,N尸G尸与N4PG的角平分线交与点。，且点。在直线45,CD之

间的区域，下列结论：①N4£F+NCGb=90。；②/AEF+2/PQG=270。；③若/MGF=2/CGF,贝U

3Z.AEF+ZMGC=210°；④若/MGF=nNCGF,则//斯+一一/MGC=90。.正确的个数是（）

77+1

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①过点尸作尸利用平行线的性质以及已知即可证明；

②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到/3=2/2,ZCGF+2Z1+Z3=18O°,结合①的结论即可证明;

③由已知得到NMGC=3/CGR结合①的结论即可证明；

④由已知得到NMGC=（〃+1）NCGF结合①的结论即可证明.

【解析】解：①过点F作如图：

,:AB〃CD,：.AB//FH//CD,

：・/AEF=NEFH,4CGF=/GFH,

■:EF工FG,即NEFG=NEFH+NGFH=90。,

:・/AEF+NCGF=900,故①正确；

②•：AB〃CD,尸。平分N4尸G,GQ平分N/GP

・・・NZPQ=N2,N尸GQ=N1,

・•・N3=N/PQ+N2=2N2,

ZCGF+ZFG2+Z1+Z3=ZCGF+2Z1+Z3=18O°,

即2N1=18O02N2NCG产，

.\2Z2+2Zl=180oZCGF,

ZP2G=18O°(Z2+Z1),

・・・2N尸。G=36O02(N2+N1)=360°(180°ZCG70=180°+ZCGF,

・•・Z^F+2ZP2G=Z^£F+180o+ZCGF=180o+90o=270°,故②正确;

③•・・ZMGF=2ZCGFf

：.ZMGC=3ZCGFf

：.3ZAEF+ZMGC=3ZAEF+3ZCGF=3(/AEF+ZCGF)=3'90。=270°；

3ZAEF+ZMGC=270°,故③正确；

E

AB

CGD

@VNMGF=n/CGF,

：.ZMGC=(n+1)ZCGF,即ZCGF=——4MGC,

n+\

ZAEF+ZCGF=90°,

：.ZAEF+—ZMGC=90°,故④正确.

n+\

综上，①②③④都正确，共4个，

故选：A.

二、填空题

5.如图，AB//CD,/2=15°,/。=25°则/〃=

M

------------D

【答案】40°

【分析】首先过点“作儿W〃48,由4B//CD,即可得儿加〃ZB//CD,然后根据两直线平行，内错角相

等，即可求得的度数.

【解析】解：过点〃■作MN〃48,

VAB//CD,

MNIIABIICD,

Z1=ZA=15°,Z2=ZC=25°,

ZAMC=Z1+Z2=15°+25°=40°.

故答案为：40°.

AB

6.如图，AB//CD,EF平分NBED,NDEF+ND=66"，NB-ND=28°,贝UN8ED=

【答案】80°

【分析】过E点作EM〃/瓦根据平行线的性质可得/2EO=N8+ND,利用角平分线的定义可求得

Z5+3ZZ)=132°,结合/2/。=28。即可求解.

【解析】解：过E点作瓦0〃48,

ZB=ZBEM,

,JAB//CD,

J.EM//CD,

：./MED=ND,

：.ZBED=ZB+ZD,

:EF平分/BED,

：.NDEF=gABED,

'：ZDEF+ZD=66°,

：.yZBED+ZD=66°,

：.ZBED+2ZD=U2°,

即N3+3NZ)=132°,

N240=28°,

AZ5=54°,ZD=26°,

：.NBED=8Q°.

故答案为:80°.

7.如图，己知4B〃C£>,易得/l+/2+N3=360。，Z1+Z2+Z3+Z4=540°,根据以上的规律求

Zl+Z2+Z3+...+Zw=

【答案】180（”1）

【分析】过点P作平行于AB的直线,运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过

点尸，。作的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用M次平

行线的性质，则"个角的和是

【解析】解：（1）如图，过点尸作一条直线尸M平行于N3,

'：AB//PM//CD,

：.Z\+ZAPM=\^0°,ZMPC+Z3=180°,

.•.Nl+N/PC+/3=360。；

(2)如图，过点P、。作PM、QV平行于

,JAB//CD,

'：AB//PM//QN//CD,

：.A\+AAPM=\^0,AMPQ+APQN=\^0,NNQC+N4=180°；

Z1+AAPQ+ZP0C+Z4=540°；

根据上述规律，显然作（〃2）条辅助线，运用（»1）次两条直线平行，同旁内角互补.

即可得到N1+N2+N3+…+N力=180°（«1）.

故答案为：180（〃-1）。

三、解答题

8.（1）已知：如图Q）,直线DE〃4B.求证：ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如图（6）,如果点C在Z8与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想？

3

【答案】（1）见解析；（2）当点C在N5与之外时，ZABC-ZCDE=ZBCD,见解析

【分析】（1）由题意首先过点C作CF〃/2,由直线42〃即，可得4B〃CF〃DE,然后由两直线平行，内

错角相等，即可证得N/2C+NCDE=N8CD；

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得/4BC=/BFD,然后根据三角形外角的性质即可证得

ZABCZCDE=ZBCD.

【解析】解：（1）证明：过点C作CF//AB,

,JAB//ED,

：.AB//ED//CF,

：.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

ZABC+ZCDE=ZBCD；

(2)结论：NABCNCDE=/BCD,

证明：如图：

"JAB//ED,

：.NABC=NBFD,

在△。尸C中，ZBFD=ZBCD+ZCDE,

ZABC=ZBCD+ZCDE,

NABCNCDE=NBCD.

若点C在直线与DE之间，猜想N/3C+N3c£>+NC£>£=360°,

"."AB//ED//CF,

：./ABC+4BCF=180°,NCDE+NDCF=180°,

/./ABC+/BCD+NCDE=ZABC+NBCF+/DCF+ZCDE=360°.

9.如图，AB//CD,点、E在直线4B,CD内部，且/E_LCE.

(1)如图1,连接/C,若/E平分44C,求证：CE平分乙4CD；

(2)如图2,点M在线段/£上，

①若ZMCE=ZECD,当直角顶点E移动时，NA4E与/MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；

②若NMCEJ/ECD(〃为正整数)，当直角顶点£移动时，/B/E与NMCD是否存在确定的数量关系?并

n

说明理由.

1V）

【答案】（1）见解析；（2）①/BAE+K/MCD=9Q°,理由见解析；@ZBAE+——ZMCD=90°,理由见解

析.

【分析】（1）根据平行的性质可得48/。+/。。=180。，再根据/ELCE可得NE/C+NEC/=90。，根据NE

平分NA4c可得/R4E=/E/C,等量代换可得/ECD+/E4c=90。，继而求得乙DCE=NEC4；

（2）①过E作E尸〃48,先利用平行线的传递性得出即〃/2〃CD,再利用平行线的性质及已知条件可推

得答案；

②过E作即〃48,先利用平行线的传递性得出EF//AB//CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.

【解析】（1）解：因为48//CD,

所以48/。+/。。=180°,

因为/E_LCE,

所以NENC+/EG4=90。，

因为/E平分/A4C,

所以NB4E=/E4C,

所以ZBAE+ZDCE=90°,

所以ZEAC+ZDCE=90°,

所以NDCE=NEC4,

所以CE平分NNCD；

（2）①乙84E与NMCD存在确定的数量关系：NBAE+gNMCD=90°,

理由如下：过£作跖〃

B

•:AB〃CD,

C.EF//AB//CD,

；・NB4E=/AEF,/FEC=/DCE,

Z£=90°,

・•・ZBAE+ZECD=90°f

*.*/MCE=/ECD,

：.NB4E+；ZMCD=90°；

n

②/BAE与NMCD存在确定的数量关系：ZBAE+——ZMCD=90°,

n+1

理由如下：过E作跖〃45,

•:AB"CD,

：.EF//AB//CD,

：.ZBAE=ZAEF,NFEC=NDCE,

•/NE=90。,

JZBAE+ZECD=90°,

•・,ZMCE=-ZECD

nf

Yl

：.ZBAE+——ZMCD=90°.

77+1

10.已知直线）〃2,/是//上的一点，2是/2上的一点，直线/3和直线〃，/2交于C和。，直线CD上有一

点尸.

（1）如果尸点在C,。之间运动时，问NE4C,ZAPB,乙阳。有怎样的数量关系？请说明理由.

（2）若点尸在C,。两点的外侧运动时（尸点与C,。不重合），试探索/以C,/APB,/尸8。之间的关

系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

【答案】（1）NPAC+/PBD=NAPB；（2）当点尸在直线4上方时，ZPBD-ZPAC=ZAPB；当点P在直

线4下方时，"AC-ZPBD=ZAPB.

【分析】（1）过点P作PE/4,由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE〃/"《，再由"两直线平行,

内错角相等”得出NP4C=NNP£、ZPBD=ZBPE,再根据角与角的关系即可得出结论；

（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线4上方时；②当点P在直线4下方时，同理（1）可得

NPAC=NAPE、NPBD=NBPE,再根据角与角的关系即可得出结论.

【解析】解：（1）NPAC+NPBD=NAPB.

过点P作尸E/4,如图1所示.

■：PE//lx,〃〃2,

APAC=NAPE,NPBD=NBPE,

■：ZAPB=ZAPE+ZBPE,

ZPAC+/PBD=/APB.

(2)结论：当点尸在直线4上方时，/尸皿-/尸4。=44尸8；当点尸在直线4下方时，ZPAC-ZPBD=ZAPB.

①当点尸在直线4上方时，如图2所示.过点尸作尸£/〃「

〃〃2,

:.PE!HJ/12,

ZPAC=ZAPE,ZPBD=ZBPE,

乙4PB=4BPE-ZAPE,

ZPBD-APAC=NAPB.

②当点尸在直线4下方时，如图3所示.过点尸作尸E/4.

•：PEI瓜,/J/。，

:.PE/llxl/121

APAC=NAPE,/PBD=ABPE,

•••/APB=/APE-ZBPE,

/.APAC-4PBD=/APB.

11.如图1,ABIICD,ZP^=130°,NPCZ)=120。，求//尸C的度数.小明的思路是：如图2,过尸作尸E///B,

通过平行线性质可求/APC的度数.

(1)请你按小明的思路，写出NNPC度数的求解过程；

(2)如图3,点P在直线AD上运动，记NP4B=Na,NPCD=邛.

①当点尸在线段8。上运动时，则N4PC与Na、N?之间有何数量关系？请说明理由；

②若点尸不在线段5。上运动时，请直接写出N/PC与Na、之间的数量关系.

【答案】⑴见解析；⑵①N4PC=Na+/0,见解析；®ZAPC=\Za-Z/3\

【分析】(1)过P悍PEHAB,利用平行线的性质即可得出答案；

(2)①过P作PE//4B,再利用平行线的性质即可得出答案；②分尸在8。延长线上和P在。8延长线上两

种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案

【解析】解：(1)如图2,过P作PE//AB

图2

QABHCD,

PEIIABIICD,

二./尸48+//尸£=180。,

NPCD+/CPE=180°,

•.•/P48=130°,/PCD=120°,

ZAPE=50°,NCPE=60°,

ZAPC=ZAPE+ZCPE=11CP.

(2)①、ZAPC=Za+Z/3,

理由：如图3,过P作PEHAB,

QABIICD,

ABIIPEIICD,

Za=ZAPE,Z/?=ZCPE,

NAPC=NAPE+ZCPE=Na+；

图3

②、ZAPC=\Za-Z/i\.

如备用图1,当尸在8。延长线上时，NAPC=/a-/0；

备用图1备用图2

理由：如备用图1,过P作尸

QABHCD,

ABHPGHCD,

:.Na=ZAPG,20=ZCPG,

NAPC=Z.APG-NCPG=Na-N/；

如备用图2所示，当尸在延长线上时，APC=4/3-2a；

理由：如备用图2,过尸作尸G/Z48,

QABHCD,

ABHPGHCD,

:.Za=ZAPG,2/3=ZCPG,

NAPC=ZCPG-ZAPG=Z/3-Za.

综上所述，ZAPC=\Za-Z/3\.

12.直线/8〃C£>,M为上一定点，N为CD上一定点、,£为直线和直线CD之间的一点.

(1)当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出/MEN,ZCNE,NMVffi'之间的数量关系；

(2)当点£在左侧时，如图2所示，试猜想/MEN,ZCNE,1之间的数量关系，并证明;

(3)当点£在右侧时，如图3所示，试猜想/MEN,ZCNE,之间的数量关系，并证明.

［答案】(1)4MEN=ZCNE+ZAME；(2)NMEN=ZCNE+ZAME,证明见解析；(3)ZMEN+ZCNE+ZAME

=360°,证明见解析.

【分析】(1)由平行线的性质及平角的定义即可得解；

(2)过点E作直线斯〃/£则斯〃CD,由平行线的性质即可得解；

(3)过点E作直线EG〃/8,则EG〃⑦，由平行线的性质即可得解.

【解析】解：(1)如图bZMEN=ZCNE+ZAME,

证明如下:

,CAB//CD,

:./CNE+/AME=180°,

NAffiN=180°,

/MEN=/CNE+NAME；

(2)如图2,ZMEN=ZCNE+AAME,证明如下:

图2

过点E作直线EF//AB,则EF//CD,

：.ZAME=ZMEF,ZCNE=ZNEF,

'：/MEN=ZMEF+ZNEF,

：.NMEN=NCNE+NAME；

图3

过点£作直线£G〃N5,贝UEG〃CO,

ZAME+ZMEG=180°,ZCNE+ZNEG=1SO°,

：.ZAME+ZMEG+ZCNE+ZNEG=360°,

'：/MEG+/NEG=/MEN,

：.ZMEN+ZCNE+ZAME=360°.

图1图2

(1)若/£=60。，则/尸=；

(2)请探索/E与/尸之间满足的数量关系？说明理由；

⑶如图2,已知EP平分NBEF,FG平分NEFD,反向延长厂G交E尸于点尸，求/尸的度数.

【答案】(1)90°

⑵"=NE+30。，理由见解析

(3)15°

【分析】(1)如图1,分别过点£,尸作EN//4B,FN//AB,根据平行线的性质得到=30。,

NMEF=NEFN,ND+NDFN=180°,代入数据即可得到结论；

(2)如图1,根据平行线的性质得到48==30。，NMEF=NEFN,由4B//CD,AB//FN,得到

CD//FN,根据平行线的性质得到ND+NDFV=180。，于是得到结论；

(3)如图2,过点尸作出//EP,设NBEF=2x°,则NEKD=(2x+30)。，根据角平分线的定义得到

NPEF=-ZBEF=x°,NEFG=；NEFD=(x+15)。，根据平行线的性质得到ZPEF=NEFH=x°,NP=NHFG,

22

于是得到结论.

【解析】(1)解：如图1,分别过点石，F作EMIIAB,FN//AB,

EMI/AB//FN,

:.NB=NBEM=30°,ZMEF=AEFN,

又ABIICD,ABIIFN,

:.CD//FNf

ZD+NOW=180。,

又・・・/。=120。，

ZDFN=60°,

/.ZBEF=ZMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,

ZEFD=ZMEF+60°

ZEFD=Z.BEF+30°=90°；

故答案为：90°；

(2)解：如图1,分别过点E,F忤EMIIAB,FN//AB,

EMI/AB//FN,

/B=ZBEM=30°,ZMEF=/EFN,

XvABHCD,ABIIFN,

:.CD//FN,

/D+NDFN=18。。,

又•••ND=120。，

ZDFN=60°,

ZBEF=ZMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,

ZEFD=ZMEF+60°,

ZEFD=ZBEF+30°；

⑶解：如图2,过点尸作FH//EP,

由(2)知，NEFD=NBEF+30。，

设ZBEF=2x°,则NEFD=(2x+30)°,

•:EP平分/BEF,GF平分NEFD,

:.NPEF=；NBEF=x°,ZEFG=|ZEFD=(x+15)°,

FHHEP,

ZPEF=NEFH=x°,NP=NHFG,

---ZHFG=ZEFG-NEFH=15°,

图1图2

14.如图1,点A、3分别在直线GH、MN上,NGAC=NNBD,NC=ND.

图1图2图3

（1）求证：GH//MN；（提示:可延长/C交肱V于点尸进行证明）

（2）如图2,ZE平分/G/C,DE平分NBDC,若ZAED=NGAC,求/G/C与乙4c。之间的数量关系;

（3）在（2）的条件下，如图3,8/平分点K在射线"上，ZKAG=^ZGAC,若乙iKB=ZACD,

直接写出/G/C的度数.

【答案】⑴见解析；（2）ZACD=3ZGAC,见解析；（3）（笔］或（等）■

【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；

（2）根据三角形的内角和为180。和平角定义得到//QD=/E+/E4。，结合平行线的性质得到

ZBDQ=ZE+ZEAQ,再根据角平分线的定义证得/CD3=2/E+/G/C,结合已知即可得出结论；

（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分

线定义求解即可.

【解析】解：(1)如图1,延长ZC交于点尸,

图1

・・・ZACD=/C,

：.AP//BD,

・•・NNBD=ZNPA,

ZGAC=ZNBD,

：.ZGAC=/NPA,

GH//MN；

(2)延长ZC交四V于点尸，交DE于点Q,

图2

・.,ZE+ZEAQ+ZAQE=180°,ZAQE+ZAQD=1SO°,

：.NAQD=NE+NEAQ,

•・•AP//BD,

：.NAQD=ZBDQ,

/.NBDQ=NE+NEAQ,

•・•/£1平分NG/C,DE平分/BDC,

：.ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,

・•・NCDB=2NE+/GAC,

VZAED=ZGAC,ZACD=/CDB,

：.ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC；

(3)当K在直线G"下方时，如图，设射线研交GH于/,

图3

GH//MN,

：.NAIB=NFBM,

■:BF平6NMBD,

：.ZDBF=ZFBM=1(180°-2DBN),

ZAIB=ZDBF,

•:ZAIB+NKAG=NAKB,ZAKB=ZACD,

：.ZACD=ZDBF+ZKAG,

•：ZKAG=-NG4c,AGAC=ZNBD,

3

1ZGAC+1(180°-4DBN)=AACD=3ZGAC,

即:NGNC+90°一g/G/C=3NG/C,

解得:=.

当K在直线GH上方时，如图，