2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：平面向量基本定理及坐标表示（含新定义解答题）（学生版+解析）

第02讲平面向量基本定理及坐标表示（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高一下广东深圳•阶段练习）若向量M=（l,2）,B=（2,-x）方//B,则％=（）

A.1B.-1C.-4D.4

（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）已知丽=g超，用赤，砺表示而，则而等于

2.

1—.3—►

B.-OA+-OB

3344

1—.4-►

C.——OA+-OBD.--OA--OB

3333

3.（2024・四川广安•二模）已知。，E分别为AABC的边A3,AC的中点，若DE=（3,4）,

B（-2,-3）,则点C的坐标为（）

A.(4,5)B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

4.（23-24高一下•山东枣庄•阶段练习）若向量£=（2,1）1=（2,2）,则。-=（）

A.(0,-1)B.(—2,—1)C.(-2,-3)D.(6,3)

5.（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）在锐角AABC中，AD为5c边上的高，tanC=2tanB,

AD=xAB+yACf则％一丁的值为()

111

A.——BC.——D.-

2-433

6.（23-24高一下•山东•阶段练习）在YABCD中，G为"3。的重心，满足

AG=xAB+yAD^x,eR),则x-2y=()

45

A.-B.一C.0D.-1

33

7.（2024•福建漳州•模拟预测）在AABC中，。是边上一点，且比）=2DC,石是AC的中

点，记AC=^n,AD=〃，贝（］屁=（）

J——►/―—►

A.-n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.—m-3n

222

⑴用石分别表示向量而，BF；

(2)求证:3,E,尸三点共线.

14.(23-24高一下•天津静海•阶段练习)已知向量2=(-1,3),5=(1,2).

⑴求悔一目的值；

⑵求及向量Z在向量入上的投影向量的坐标；

(3)^AB=2a-b,BC=a+mb,且A、B、C三点共线，求机的值.

15.(23-24高一下•辽宁抚顺•开学考试)在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、

减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学

中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的

乘法运算：若。=(菁,％),1=(%,%)，则。③石=(芯,%)•(尤2，%)=(尤述2-%%，%为+%%).请

按这种运算，解答如下两道题.

⑴已知a=(1,2),b=(2,3),求

⑵已知a=(1,2),a®b=(6,5),求B.

B能力提升

L（2024•四川宜宾•二模）已知向量@=（1,2）万=（3,1）,向量N满足」，汗,a//（c+b）,则"

（）

A.（-2,-1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（2,1）

2.（23-24高一下•重庆万州•阶段练习）在三角形ABC中，点。是在边上且亚=3丽,AC

边上存在点E满足丽=2区（2>0）,直线。和直线BE交于点若定=〃DF（〃>0）,

则物的值为（）

3.（22-23高三上•全国•阶段练习）在平行四边形ABCD中，屁=2应5，AF=AC+2AB,若

%

EF=2AB+//AD（2,//eR）,贝ij—=（）

A.1B.2C.4D.8

4.（2024•云南红河•二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-A4G中，

NAA8=/AAC=m，加=九百，CN=jnCC{,若存在几w（0,l）,〃e（0,l）,使说.就=0

成立，则X+〃的最小值为.

W

'C

A

B

5.(23-24高一下•辽宁抚顺•阶段练习)如图，正方形ABCD中，E、b分别为线段AB、BC

上的点，满足AEuW,连接DEAF交于点G.

(1)求证：DEYAF；

UL1ULUUULILIUI//

⑵设AE=x,AB=l,DG=ADA+林DF，求今的最大值和的最大值.

/I

C综合素养(新定义解答题)

1.(22-23高一下•北京,期中)对平面向量2=(尤,y),定义M(Z)=|x|+|y|.

⑴设8=(3,-2),求/(£)；

⑵设A(0,2),B(2,0),C(4,l),0(5,3),E(6,2),点P(x,y)是平面内的动点，其中是

整数.

(回)记加(西)，M(PB),M(PC),M(PD),M(瓶)的最大值为，(尸)，直接写出“尸)的

最小值及当KB取最小值时，点P的坐标.

(回)记5(F)=M(PA)+M(PB)+M(PC)+M(PD)+M(PE).求s(P)的最小值及相应的点P的

坐标.

第02讲平面向量基本定理及坐标表示（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）若向量商=（1,2）石=（2,-何万/不，则-=（）

A.1B.-1C.-4D.4

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得.

【详解】向量苕=（1,2）,方=（2,-尤），万/店,所以一x=4,即x=-4.

故选：C

2.（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）已知丽=g丽，用砺，砺表示而，则无等于

1—.3—►

B.-OA+-OB

3344

1.4.1—.4—►

C.——OA+-OBD.——OA——OB

3333

【答案】C

【分析】根据向量减法，将正湿用丽，丽，砺表示，然后整理可得.

—►4-

【详解】因为AP=]AB,

所以加_函=：（砺一正），整理得而=_；况+[砺.

故选：C

3.（2024・四川广安•二模）已知。，E分别为44BC的边AB,AC的中点，若瓦=（3,4）,

5（-2,-3）,则点C的坐标为（）

A.（4,5）B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

【答案】A

【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.

【详解】因为。，E分别为AB,AC的中点，

所以反=2反=（6,8）,

设C（x,y）,又见—2,-3）,所以（x+2,y+3）=（6,8）

4.（23-24高一下•山东枣庄•阶段练习）若向量£=（2,1）,5=（2,2）,则（）

A.（0,-1）B.（-2,-1）C.（-2,-3）D.（6,3）

【答案】C

【分析】根据题意，结合向量的运算法则，即可求解.

【详解】由向量2=（2,1）7=（2,2）,可得Z-2石=（-2,-3）.

故选：C.

5.（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）在锐角AABC中，AD为5c边上的高，tanC=2tanB,

AD=xAB+yAC,贝！］%一丁的值为（）

1111

A.——B.-C.——D.-

2233

【答案】C

.1.__.

【分析】根据锐角三角函数及tanC=2tanB得到B£>=2£）C,即可得到CD=§C3,再由平

面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出九、丁，即可得解.

【详解】如图在锐角中，AD为5C边上的高，

所以tanC=^^,tanB=,又tanC=2tan5,

DCBD

所以g=2xg,所以3D=2OC,则无=：函，

DCBL）3

所以诟=庶+力=*+3^=衣+!（通_码=：彩+;破

__,,3121

XAD=xAB+yAC,所以《0,所以无一y=可_鼻=-1.

乙DDN

故选：C

6.（23-24高一下•山东•阶段练习）在YABCD中，G为AABC的重心，满足

AG=xAB+yAD（x,yGR）,则无-2y=（）

45

A.—B.—C.0D.—1

33

【答案】c

【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算,

可得答案.

【详解】设AC,3。相交于点。，G为AABC的重心，

AG=AO+dG=AO+|oB=AO+1DB=1（AB+AD）+1（AB-AD）

2―•1—.

^-AB+-AD,

33

21

所以

22

所以％_2>=§_§=0.

故选：C.

7.（2024•福建漳州•模拟预测）在AABC中，。是边上一点，且9=2。。,石是AC的中

点，记AC=m,AD=〃，则BE=（）

5-一7--5—一

A.-n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.一m-3n

3222

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.

【详解】BE=AE-AB=^AC-(AC+CB)

5―-~~-5

=-AC-3AD=-m-3n,

22

故选：D.

8.（23-24高一下•重庆渝中•阶段练习）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学

中广泛使用.有机物"蔡"可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所

示的图形.已知〃与CDEFGH为全等的正六边形.若点尸为右边正六边形CDEFG”

的边界（包括顶点）上的动点，且向量衣=则实数2+”的取值范围为（）

D.[-L2]

【答案】C

【分析】由"等和线定理"结合图形分析得解.

【详解】

UUUULHJUUU1

由平面向量共线定理可得，AO=xAC+yAJ,x,yeR,则0,C,J三点共线的充要条件是

x+y=l.

下面先证明"等和线定理”，

uumUULIuuiuuuuUUM

如图，设AP=)tAO,AP=AAC+juAJ,

UUU.LILUJUUU

因为O,C,J三点共线，所以存在x,yeR,使得A。=xAC+yA/.

AP=kAO=k^xAC+yAJ）=kxAC+kyAJ,

:.A=kx,ju=ky,贝!|彳+〃=Zr（x+y）=左.

由"等和线定理"结合图形可知：当点尸在C。上时，易得2+〃=1,

当点尸在DE上时,易得14X+〃V2,

当点P在E1尸上时,易得24九+〃43,

当点P在尸G上时，易得2+〃=3,

当点P在G”上时,易得242+〃43,

当点P在8上时,易得1。+〃42,

综上，可得14几+“43.

故选：C.

二、多选题

9.（23-24高一下•江苏南通・阶段练习）已知向量I，1不共线，且次=2相'+

OB=-2q+3e2，OC=q+Ae2,若A,B,C三点共线，则实数4的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】AC

【分析】首先表示出现、AC，依题意可得◎〃屁，根据平面向量共线定理得到须=tAC，

从而得到关于4、f的方程组，解得即可.

【详解】因为丽=24]+£，OB=-2^+3e^,OC^+Xe1,

以AB=OB—OA=-2q+3e,-（2力6+e。）=（—2—2彳）6+2e,,

AC=OC—OA=q+4%-（2彳6+e2j=（l—22）ex+（2-l）e2,

又向量冢，瑟不共线，A,B,C三点共线，

所以技〃陇，则荏=/z，即（-2-2/1），+2耳=/[（1-2力）冢+（几-1）回,

-2-22=Z（l-2A）

所以，解得

2=/（2-1）

故选：AC

10.（23-24高二上•广东东莞•阶段练习）若4（0,13）,3（2,5⑹,C（6,疗）三点共线，则机的值

为（）

A.-2B.-13C.2D.13

【答案】CD

【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可知荏=（2,5根-13）,记=（6,/-13）,

因为A、B、C三点共线，则宓工共线，

___»___►16=2/1

不妨设AC=XABn,^=2=3，

Im-1137=zpm-13J

贝!1nr—15%+26=0n根=2或13.

故选：CD

三、填空题

11.（23-24高一下•福建莆田•阶段练习）在三角形ABC中，。是8C上靠近点C的三等分点,

E为中点，若赤=x荏+y/，贝ljx=.

【答案】

6

【分析】根据向量基本定理得到答案.

—■1—■1—.1—.1—.

【详解】因为E为A。中点，所以2石=324+52。=-5A台+不台。,

因为。是3C上靠近点。的三等分点，所以而=§配=亚，

22133J63

故答案为：-之

0

12.（23-24高一下♦天津滨海新•阶段练习）已知：点A（-l,-l）和向量日=（2,3）,若福=3商,

则点B的坐标是.

【答案】（5,8）

【分析】设B（x,y）,利用向量共线的关系，列出方程求解即可.

【详解】设*x,y）,则:W=（x+I,y+I）=31=3（2,3）=（6,9）,

所以x+l=6,y+l=9,解得：尤=5,y=8.

所以点8的坐标是(5,8).

故答案为：(5,8).

四、解答题

13.(23-24高一下•辽宁抚顺•开学考试)如图，在AABC中，D,P分别是BC,AC的中点,

2

=—AD,AB=a,AC=b-

⑴用痴分别表示向量而，帝；

⑵求证:5,E,尸三点共线.

【答案](1)覆=；0+1)，BF=-a+^b-

⑵证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得.

(2)由(1)的信息，利用共线向量的定理推理即可.

【详解】(1)在AABC中，由。是BC的中点，AD=—(AB+AC)=—(a+b),

2,2__.2]__]__

而AE=—AD,于是AE=—AD=—x—(a+b)=-(a+b)

33323

又歹是AC的中点，所以而=丽+/=-砺+,/=-£+1尻

22

.1,1___.1,1__.1—.2___.

(2)由(1)知，AE=-AB+-AC^-AB+-x2AF^-AB+-AF,因止匕丽=2丽,

333333

即屉〃彷，而座,ER有公共点E,所以8,E,尸三点共线.

14.(23-24高一下•天津静海•阶段练习)已知向量2=(-1,3),5=(1,2).

⑴求恢一目的值;

(2)求£石及向量Z在向量加上的投影向量的坐标；

(3)^AB=2a-b,BC=a+mb,且A、B、C三点共线，求，W的值.

【答案】(1)5

(2)a=(-1,3),后=(1,2),(1,2)

⑶-;

【分析】（1）首先求出2%-石的坐标，再由坐标法求出向量的模;

（2）由坐标法求出7方、回，再根据投影向量的定义计算可得;

（3）首先求出而、衣的坐标，依题意荏〃耳心，根据平面向量共线的坐标表示得到方程,

解得即可.

【详解】（1）赤=（一1,3）,5=（1,2）,

回2々=2(-1,3)-(1,2)=(-3,4),

回悔-q=J9+16=5；

(2)•.•2=(-1,3),5=(1,2),

回=-lxl+3x2=5，忖=Jl~+2-=小；

a-bb5（1,2）.

向量Z在向量行上的投影向量为WW=71X「|M1，2）.

（3）;A、B、C三点共线

AB//BC，

•.­AB=2a-^=2(-1,3)-(1,2)=(-3,4),

BC=a+mb=(―1,3)+2)=(jn—1,2〃z+3),

-3(2m+3)=4(m-l),：,m=~—

15.（23-24高一下•辽宁抚顺•开学考试）在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、

减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学

中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的

乘法运算：若2=（芭,％）,b={x2,y2）,贝!石=（和％）•（々,%）=（石尤2—%小/%+*2%）.请

按这种运算，解答如下两道题.

(1)已知a=(1,2),3=(2,3),求a③

(2)已知。=(1,2),a®b=(6,5),求

【答案】⑴（-4,7）

(2)r6=f!匚16，-二7

【分析】（1）直接利用新定义计算即可;

（2）设B=（x,y）,利用新定义计算，列方程组求解.

【详解】(1)因为2=(1,2),B=(2,3),a®b=(^,•(x2,y2)=(xix2-yly29xiy2+x2y^),

所以£区B=(lx2-2x3,lx3+2x2)=(T,7)；

(2)设,

因为Q=(1,2),a®b=(xp^)•(x2,y2)=(^x2-乂%，芯%+W%)，

所以石=(九一2y,2x+y),

因为£(8)石=(6,5),所以(x—2y,2x+y)=(6,5),

B能力提升

L（2024・四川宜宾・二模）已知向量讶=（1,2）,5=（3,1）,向量己满足E_L万，a//（c+5）,则-

()

A.（-2,-1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（2,1）

【答案】C

【分析】设出^=（不丁），根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.

【详解】设1=(x,y),则“石=(x+3,y+l),

由"J_£，得尤+2y=0,

又打〃卜+方），得y+l-2（x+3）=0,即y=2x+5,

%+2y=0x——2

联立,解得

y=2x+5y=i

•.1=(-2,1).

故选：C.

2.（23-24高一下•重庆万州•阶段练习）在三角形ABC中，点。是在AB边上且布=3项,AC

边上存在点E满足丽=几段（X>0）,直线CD和直线仍交于点尸，若定=〃方政〃>0）,

则初的值为（）

【答案】C

【分析】

将丽和而都用丽和阮表示出来，然后利用丽=加定列式计算即可.

【详解】由题意，EA=ACE(A>0),

1____1____1__1

贝|」而=前+酝=前+——CA^BC+——(BA-BC\^——BA+——BC,

1+21+4')1+41+4

同理可得.BF=-^—BC+-^—BD=-^—BC+—^—BA

问理出付.]+〃[+〃i+〃4(1+〃)，

因为直线8和直线酩交于点尸,

所以存在机使旃=根诙=心-丽+皿-前,

1+21+2

mA1

1+4力3小±，日1+丸14(1+//)

两式作商得--X——=--X△-△

1+2m1+〃〃

1+24(1+〃)

解得彳〃=4.

故选：C.

3.(22-23高三上•全国•阶段练习)在平行四边形A3CD中，BE^2ED>AF=AC+2AB,若

，则:()

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

Q__1_

【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得彷=:湿+§而，从而得解.

【详解】AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+ADf

•「^E=~AB+^E=^B+iE15=AB+2(AD-AE)f

.2►1・

1.AE=-AD+-AB

339

21o1_

EF=AF-AE=3AB+AD——AD——AB=-AB+-AD,

3333

EF=AAB+juAD,

./=g,〃=L；，=8.

33〃

故选：D.

4.(2024•云南红河・二模)如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-A4G中,

Z\AB=Z\AC=^BM=>CN=/LICCX,若存在4e(0,l),〃e(0,l),^AM-BN=0

成立，则X+〃的最小值为.

【答案】⑴证明见解析

⑵片的最大值为1:几"的最大值为:

【分析】（］）建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系；

（2）根据三点共线可得几+〃=1,利用向量的坐标运算可得〃=三〃=三变，进而

l+x1+X

结合基本不等式求最值.

【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，

则4（0,1）,3（1,1）,01,0）,。（0,0）,现苍1）,尸（1,1尸》）,

可得读=(x,l),衣=(1,一力，

「、,UUIUULUUULUUUU1U〜,

因为£>E-AP=x-x=O，可知。E_LAF，所以£>E_LAF.

L1LU1LILIUULIU1

(2)因为A,G,尸三点共线，ADG=ADA+/JDF，可知4>0,〃20,/1+〃=1,

由(1)可知次=(0,1),丽=(1,1—x),诙=(x,l),

则DG=ADA+〃/)尸=+=(〃,1-〃x),

UUllUUIU9

又因为OG//OE，贝IJ4=x—4X，

——X+1

可得〃=:"=1-〃=

1+x2

X

„,U1+Y2X

则万=厂a=77商[，

l+x2

若％=0,则4=0；

7V

NX1/1

——=-------------=-------------S----------------

若xe(O,l],贝|J2x2-x+lrr

尤r'x~

当且仅当苫=工，即X=1时，等号成立；

X

综上所述：一的最大值为工；

/I

又因为（'了）2=；，

当且仅当4=〃=，即X=1时，等号成立；

所以加的最大值为!.

4

C综合素养（新定义解答题）

L（22-23高一下•北京■期中）对平面向量8=（尤,y）,定义〃位）=|x|+1y|.

⑴设2=（3,-2）,求