2023年中考备考数学中难题综合复习（三）

初三数学中难题综合复习三

1.（江苏徐州・中考真题）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,则它的第三边的长可

能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

2.（江苏常州・二模）如图，在A/BC中，E/18C=45。，AB=3,妨C于点。，8m4c于点

E,AE=1.连接。E.过点。作。丽》£交BE于点E则。尸长度为（）

A.JiB.2-—C.3J2-3D.1+—

22

3.（江苏•苏州高新区实验初级中学一模）如图，AABC的三个顶点都在边长为1的格点图

上，则sinA的值为（）

1

D.-

3

4.（江苏•苏州市金阊实验中学校一模）如图，二次函数y=f-4与X轴交于A3两点（点A

在点B左边），与y轴交于C点，若点。坐标为（0,2）,以。点为圆心，R为半径作圆，P为

0。上一动点，当△从「（?面积最小为5时，则我=.

5.（江苏扬州•二模）如图，A4BC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知AB=5m,

AC=4m,BC=3m,若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率

；（填＞、（或=）.

6.（2021,江苏南京•二模）片（元1,%）,£（*2，%乂%**2）是下列函数图像上任意的两点：①

y=-3^+1；②丫三；（3）y=x2-2x-3；（4）y=-x2-2x+3（x＞0）；其中，满足

（玉-尤2）（%-%）＜。的函数有.（填上所有正确的序号）

7.（江苏徐州・中考真题）如图，斜坡A3的坡角/痴C=13。，计划在该坡面上安装两排平

行的光伏板.前排光伏板的一端位于点A,过其另一端。安装支架。E,OE所在的直线垂

直于水平线AC,垂足为点凡E为。尸与AB的交点.已知AD=100cm,前排光伏板的坡角

ZZMC=28°.

（1）求AE的长（结果取整数）；

（2）冬至日正午，经过点。的太阳光线与AC所成的角NDG4=32。.后排光伏板的前端”

在A3上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则国的最小值为多少（结

果取整数）？参考数据：y/2»1.41,73»1.73,>/6»2.45

三角函数锐角A13°28°32°

sinA0.220.470.53

cosA0.970.880.85

tanA0.230.530.62

8.（江苏盐城・中考真题）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心OB长为半径的回。交PB于

点A,点C在田。上，连接PC,满足尸。2=尸4尸3.

（1）求证：PC是回。的切线；（2）若=求不二的值.

9.（江苏无锡・中考真题）如图，已知aABC是锐角三角形^AC<AB）.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线/,使/上的各点到B、C两点的距

离相等；设直线/与48、BC分别交于点M、N,作一个圆，使得圆心0在线段上,

且与边48、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若BM=|,BC=2,则。。的半径为.

图1

10.（江苏盐城・中考真题）为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部

门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周

接种人数（万人）710121825293742

该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

•4建议接种疫苗已接种人群

8：建议接种疫苗尚未接种人群

C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据

以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现

过其中两点（3,12）、（8,42）作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为y=6x-6）,那

么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势.

请根据以上信息，解答下列问题:

(1)这八周中每周接种人数的平均数为万人:该地区的总人口约为万人；

(2)若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势.

①估计第9周的接种人数约为万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达60%,才能实现全民免疫.那么，从推广疫苗接种工作开

始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

(3)实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少。(。＞0)万人，

为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得

之后每周的接种能力一直维持在20万人.如果a=1.8,那么该地区的建议接种人群最早将

于第几周全部完成接种？

11.（江苏镇江・二模）已知抛物线>=内2+弧+10交X轴于点A（-IO,O）和点3（2,0）,其对

称轴为直线/，点C在/上，坐标为（砥-3）,射线A3沿着直线AC翻折，交/于点E如图

（1）所示.

⑴a=,b=；

（2）如图（2）,点P在x轴上方的抛物线上，点£在直线/上，EP=EB且ZBPE=ZBAF,

求证：ABBE^PBAF.

（3）在（2）的条件下，直接写出tanZBAF的值=；直接写出点P的坐标（,）.

12.（江苏常州•一模）己知：如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接EC.将

△ADE沿直线EO折叠，将ABCE沿直线EC折叠，点AB同时落在8边上点尸处.延长

AD,斯相交于点G,连接GC.

（1）填空：直线AD与直线8c的位置关系是；

（2）若ZA=90。，AB=U,求ADIC的值；

（3）在（2）的条件下，若△C/G与△EED相似，求AD的长.

初三数学中难题综合复习三解析

1.（江苏徐州•中考真题）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,则它的第三边的长可

能是（）

A.2cmB.3cmc.6cmD.9cm

【答案】C

【解析】【分析】根据三角形三边关系确定第三边的范围，进而从选项中选出符合题意的项

即可.

【详解】设这个三角形的第二边的长为xcm,

一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,

6-3<x<6+3.即3<x<9.故选C.

【点睛】本题考查了三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，掌握三角形三边关系是解

题的关键.

2.（江苏常州•二模）如图，在A42C中，EL42c=45。，48=3,40132c于点D,2砥4c于点

E,AE=1.连接DE.过点。作O7W年交3E于点尸.则。尸长度为（）

A.6B.2-—C.372-3D.1+—

22

【答案】B

【解析】【分析】证明勖EDmAED（ASA）,由全等三角形的性质得出。£=。尸，BF=AE=L

由勾股定理求出2E=20.则可求出答案.

【详解】解：awasc,

02450=90°,

0EL4BC=45°,

m4BD=^BAD,

^AD=BD,

团又DE^DF,

aSFDE=90°,

^S\BDF=SADE,

又勖£EL4C,

I2HE8C+EIC=9O°,

EHC+0T%C=9O°,

aa£2C=ao/c,

^EBFD^SiAED（ASA）,

^DE=DF,BF=AE=1,

0A8=3,

勖£=\lAB2-AE2=A/32-I2=2夜，

^EF=BE-BF=2^2-1，

能）尸=乎£尸=乎（20一1）=2-5.故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全

等三角形的判定与性质是解题的关键.

3.（江苏•苏州高新区实验初级中学一模）如图，AABC的三个顶点都在边长为1的格点图

上，贝!|sinA的值为（）

C

A.D.

¥3

【答案】B

【解析】【分析】根据网格的特点，找到B点所在网格的顶点。，连接通过勾股定理

的逆定理判断△ABO是直角三角形，进而根据正弦的定义求得sinA的值.

【详解】如图，连接3D,

根据网格的特点可知：

2=拒+22=2&AB=df+32=M,BD=4f+12=夜,

:.AD2+BD2=10,AB2^10,

△ABD是直角三角形，

:.ZADB=90。，

:.2=吆=隼=旦

,故选B

ABy/lQ5

【点睛】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定

理的逆定理的应用，证明是△锄£＞是直角三角形解题的关键.

4.（江苏•苏州市金阊实验中学校一模）如图，二次函数y=V-4与无轴交于A3两点（点A

在点B左边），与y轴交于C点，若点。坐标为（0,2）,以。点为圆心，R为半径作圆，P为

0。上一动点，当△APC面积最小为5时，则尺=

V

【答案】1

【解析I分析】过点D作DMSCA,交CA的延长线于点M,DM交。。于点P,由S4co=回。。11,

OADM26厂”…

w—==解得：DM*后,进而即可求解•

ACCD2-\/35

【详解】过点。作。MHC4,交C4的延长线于点M,DM交。D于点P,此时面积

最小，

团二次函数y=f-4与x轴交于A3两点（点A在点8左边），与＞轴交于C点,

a4(-2,0),C(0,-4),即：O/=2,OC=4,AC=^+42=2A/5-

国点。坐标为（0,2）,

回O£>=2,

m4CO=SDCM,

OADM2

EsinEL4CO=sin0Z)CAf,即：~ACCD~2y[5

226/r

=CDx2非=6x26二W'5•

回面积最小值为5,

回;.ACM=gx2氐］百一尺）=5,解得：R弋.

故答案为：q.

【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，添加辅助线，找出△APC面积最小值

为5时，点尸的位置，是解题的关键.

5.（江苏扬州•二模）如图，AABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知AB=5m,

AC=4m,BC=3m,若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率

\（填＞、＜或=）.

【答案】＞

【解析】【分析】通过已知条件求出圆的半径，根据圆的面积占比就可以推算出概率，进一

步得到答案.

【详解】解：如下图：设圆。与0Ase的三边相切于点。口石□尸,

连接0。—。£口。尸，设。。半径为r

ZODIAC,OEVBC,

国NOOC=NOEC=90。

又回AC2+BC2=42+32=25,AC2=25

回AABC为直角三角形，且NC=90。

回四边形。DCE为矩形

y^\OD=OE

回四边形ODCE为正方形

0DC=CE=r

又团圆是三角形的内切圆，

^AD=AF,BE=BF

0AF=AD=4—r,BE=3—r,BF=AB—AF=5—(4—r)=l+r

ffl3-r=l+z-,解得：r=l

3x4

所以。。的的面积S=万产=%b3.14,S4ABe=——=6

711

0—>—

62

回树叶恰好落入水池的概率大于故答案为：>

【点睛】本题考查三角形的内切圆与概率的实际应用，根据面积占比推算概率是常考的知识

点.

6.（2021•江苏南京・二模）尤i，yj,乂占片々）是下列函数图像上任意的两点：①

y=-3x+l；②,=：；（3）y=x2-2x-3；@y=-x2-2x+3（x>0）；其中，满足

（占-尤2）（必-丫2）<。的函数有.（填上所有正确的序号）

【答案】①④

Ix->0Ix-<0

【解析】【分析】根据乘法的性质得到八或八，得到y随x增大而减小，

*%<。〔％一%>。

再根据函数的性质依次分析即可得到答案.

【详解】国（%-%）（%-%）<。

fx,-x2>0[x,-x2<0

叫"C或彳一A-

回%>々时％<%,占<三时口>必，即>随x增大而减小，

选项①，y随尤增大而减小，故符合该解析式；

选项②，在每个象限内，y随x增大而减小，故不符合该解析式；

选项③，开口向上，对称轴直线x=L

当x<i时，y随无增大而减小；当了>1时，y随x增大而增大，故不符合该解析式；

选项④，开口向下，对称轴直线x=-i,自变量取值范围x>o.当x>o时，y随％增大而

减小，故符合该解析式.故答案为：①④.

【点睛】此题考查乘法的性质，函数的性质：增减性，熟记各函数的性质是解题的关键.

7.（江苏徐州•中考真题）如图，斜坡AB的坡角/a4c=13。，计划在该坡面上安装两排平

行的光伏板.前排光伏板的一端位于点A,过其另一端。安装支架。E,OE所在的直线垂

直于水平线AC,垂足为点EE为。尸与AB的交点.已知AD=100cm,前排光伏板的坡角

ZDAC=28°.

（1）求AE的长（结果取整数）；

（2）冬至日正午，经过点。的太阳光线与AC所成的角NDG4=32。.后排光伏板的前端H

在A3上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结

果取整数）?参考数据：V2«1.41,73»1.73,76»2.45

三角函数锐角A13°28°32°

sinA0.220.470.53

cosA0.970.880.85

tanA0.230.530.62

【答案】(1)91cm；(2)32cm

【分析】(1)解RtMDF求出4F,再解RtMEF求出4E即可；

(2)设DG交48一直在点M,作4V0G。延长线于点N,解RtMDF求出DF,/?曲。FG求出

FG,得到4G,解RtMMAZ求出4W,根据4M-4E可求出结论.

AF

【详解】解：(1)在RWDF中，cosZDAF=——

AD

0AF=ADcosZDAF=100xcos28°=100x0.88=88cm

AF

在RtMEF中，cosZEAF=——

AE

—AF8888…

团AE=-------------=----------=------«91cm

cosZEAFcos13°0.97

(2)设DG交43一直在点M,作4V团G。延长线于点M如图，

贝UZAMN=ZMAC+ZMGA

团NAW=13。+32。=45。

在Rt^\ADF中，DF=A£>*sinZ.DAF=lOOxsin28°=100x0.47=47cm

DF

在R曲DFG中，——=tanZDGF=tan32°=0.62

FG

DF

团FG=——®75.8cm

0.62

^AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm

MMHG。

盟LANG=90°

团A7V=AGxsin32°=163.8x0.53«86.8cm

,,....AN86.8

在中，sin45o。=——二——

AMAM

AM=8"x123.1cm

团V2

~T

^EM=AM-AE=123A-91=32.1cm^32cm

团员7的最小值为32cm

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形.

8.（江苏盐城•中考真题）如图，。为线段依上一点，以。为圆心05长为半径的团O交依于

点A,点。在团。上，连接PC,满足尸。2=04依.

（1）求证：PC是回。的切线；（2）若AB=3上4,求：的值.

【答案】（1）见解析；（2）1

【分析】（1）连接OC,把尸C'NA-PB转化为比例式，利用三角形相似证明NPCO=90。即

可；

⑵利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可.

【详解】（1）证明：连接OC

PCPR

SPC2=PA-PBS^=—,

又跑P=®P,0APAC^APCB0ZPAC-ZPCB,ZPCA=ZPBC

EZPCO=NPCB-ZOCB回ZPCO=ZPAC-ZOCB

又回OC=OB团ZOCB=ZOBCEZPCO=ZPAC-ZABC=ZACB

已知C是。。上的点，AB是直径，0ZACB=90°,0ZPCO=90°0AC±PO,I3PC是圆的切

线；

(2)设AP=a,贝i|AB=3a,r=1.5a0OC=1.5a

在Rt△尸CO中国OP=2.5。，OC=1.5a,0PC=2o

ACPAAC1

已知APACS^PCB,_---回,--.

BC~PC8C-2•

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判

定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键.

9.（江苏无锡•中考真题）如图，已知AABC是锐角三角形（AC<AB）.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线/,使/上的各点到B、C两点的距

离相等；设直线/与AB、BC分别交于点M、M作一个圆，使得圆心。在线段MN上,

且与边AB、8c相切；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，若BM。，BC=2,则GO的半径为；

52

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于M,交BC于N,作NA8C的角平分线交

MN于点。，以。为圆心，。2为半径作。。即可.

(2)过点。作。E_LAB于E.设OE=ON=r,利用面积法构建方程求解即可.

【解析】(1)如图直线/,。。即为所求.

(2)过点。作。E_LAB于E.设OE=ON=r,

'：BM=I，8c=2,MN垂直平分线段8C,

：.BN=CN=1,

：.MN=y/BM2-BN2=J(1)2-l2=*

SABNM—SABNO+S^BOM，

：.-xlx^=1xlXr+|xfxr,解得，r=J.故答案为：

2322322

10.(江苏盐城•中考真题)为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部

门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周

接种人数(万人)710121825293742

4建议接种疫苗已接种人群

该地区全民接种疫苗情况扇形统计图8：建议接种疫苗尚未接种人群

C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据

以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现

过其中两点（3,12）、（8,42）作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为y=6x-6）,那

么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势.

IJJ4J»Tt

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这八周中每周接种人数的平均数为万人:该地区的总人口约为万人；

（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势.

①估计第9周的接种人数约为万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达60%,才能实现全民免疫.那么，从推广疫苗接种工作开

始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少。（。＞0）万人，

为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得

之后每周的接种能力一直维持在20万人.如果那么该地区的建议接种人群最早将

于第几周全部完成接种？

【答案】（1）22.5,800；（2）①48；②最早到13周实现全面免疫；（3）25周时全部完成

接种

【解析】【分析】（］）根据前8周总数除以8即可得平均数，8周总数除以所占百分比即可；

（2）①将x=9代入y=6x-6即可；②设最早到第％周，根据题意列不等式求解；

(3)设第％周接种人数》不低于20万人，列不等式求解即可

【详解】(1)!(7+10+12+18+25+29+37+42)=22.5,180+22.5%=800故答案为：22.5,800.

8

(2)①把x=9代入y=6x-6,

..・y=54-6=48.故答案为：48

②回疫苗接种率至少达到60%

回接种总人数至少为800X60%=480万

设最早到第％周，达到实现全民免疫的标准

贝U由题意得接种总人数为18。+(6*9—6)+(6、1。-6)+—+(6无一6)

0180+(6x9-6)+(6x10-6)+……+(6%-6)>480

化简得(无+7)。-8)210。

当x=13时，(13+7)(13-8)=20x5=100

团最早到13周实现全面免疫

(3)由题意得，第9周接种人数为42-1.8=40.2万

以此类推，设第X周接种人数》不低于20万人，即y=42-L8(x-8)=-L8x+56.4

182

团一1.8x+56.4N20，即％<---

团当％=20周时，不低于20万人；当％=21周时，低于20万人;

-1.8%+56.4,(9<x<20)

从第9周开始当周接种人数为y,y=

20(%>21)

回当%>21时

总接种人数为：

180+56.4—1.8x9+56.4—1.8x10+…+56.4—1.8x20+20(%—20)2800x(1—21%)解之得

x>24.42

回当％为25周时全部完成接种.

【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式

解决实际问题，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

11.(江苏镇江・二模)已知抛物线>=加+法+10交X轴于点A(T0,0)和点3(2,0),其对

称轴为直线/，点C在/上，坐标为(根,-3),射线A3沿着直线AC翻折，交/于点尸，如图

(1)所示.

(2)如图(2),点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线/上，EP=EB且ZBPE=ZBAF,

求证：ABBE=PBAF.

(3)在(2)的条件下，直接写出tanZBAF的值=；直接写出点尸的坐标(—,).

14

【答案】(1)a=--,6=T；(2)证明过程见解析；(3)tanZBAF=-,P

【解析】【分析】(1)把43代入解析式求解即可；

(2)根据已知条件证明4BPE〜△BAF,即可得解；

(3)设/与x轴交于求出HC,根据折叠的性质得至UZBAC=Z.CAF,Z.BAF=2NBAC,

根据正切的定义求解即可；

【详解】(1)把A(—10,0)和3(2,0)代入丁=加+公+io中得,

1

100。一10"10=0a=—CI=—

2,故，2；

4。+26+10=0

Z?=-4Z?=-4

(2)国EP=EB,

国4BE=NBPE,

团点尸在直线/上,

aAF=BF,

^\ZFAB=AFBA,

又⑦ZBPE二ZBAF,

^\ZABF=ZBPE=ZPBE=ZBAF,

0ABPE-ABAF,

BPBE

0--=--,

BABF

BPBE

团---=---,

BAAF

©PB・AF=AB.BE,

⑦ABBE=PBAF；

(3)设/与x轴交于〃，作CW4R垂足为",

设MF=a,对称轴x=10+2=_4,

2

WC=Q-(-3)=3,4H=4(-10)=6,

f…CH31

回tanNBAC=----——=一,

AH62

团射线AB沿着直线NC翻折得到AF,

^S\BAC=^CAF,^BAF=2^\BAC,

EICM=C7/=3,

^\AM=AH=6f

^\MFH=W{FA,MMC=MH4=90°,

^FMC^FHA,

MCFC

回---=---即L型

HAFA26+a

回I

MCFM

团---=----,

HAFH

3_a

即66+〃+3，

36+3。/

团------=6a,

2

回a=4,

6+4「

------=5

3岁2

团尸"=8,

…厂FH84

团tan/BAF=----=—=一,

AH63

连接以交直线/于K,

mABF=^\PBE,

团团45尸二团FSE,

FBBE

回---=---，

ABBP

miBP^FBE,

^\PAB^\BFE,

^\BFE^\AFH,

WCAH=^AFH,

皿/次二射"F=90°,

^\AHK^\FHA9

AHHK

团----=-----

FHAH

6HK

团一=----

86

9

^KH=-

2f

9

(-4,-),

2

回直线AK的解析式为3产+]15,

315

y=-x-\---

44

由，

1

y=——x9-4x+10

2

1

x=—

102

解得c(即点/)或｛

y=o63

y=一

8

回P（；,奥）•故答案为：~>j_63

zo32'T-

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、正切的定义，准

确计算是解题的关键.

12.（江苏常州•一模）己知：如图，在四边形ABCD中，E是边A2的中点，连接£D,EC.将

△ADE沿直线即折叠，将ABCE沿直线EC折叠，点A3同时落在。边上点尸处.延长

AD,斯相交于点G,连接GC.

（1）填空：直线A£>与直线BC的位置关系是,

（2）若ZA=90。，AB=U,求AD1C的值；

（3）在（2）的条件下，若△CFG与△EED相似，求AD的长.

【答案】（1）平行；（2）36；（3）或3五

【解析】【分析】（1）由折叠的性质得△4DE04EDE,△尸CE,根据全等三角形

的性质可得=尸£,/B=/EFC,由平角的定义可得出//+N3=180°,即可得出

AD//BC-,

（2）由折叠的性质得N4ED=NDER/BEC=NFEC,由平角的定义可得出//EO+N2EC

=90°,根据N/=90°可得N4ED+N4DE=90。,则乙4DE=/BEC,由/D〃2C得//

=/B=90。，可得△B£c,根据相似三角形的性质即可得出结论；

（3）分两