湖南省长沙市望城区某中学2025届高三年级上册开学考试数学试题（含答案）

湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4=B={0,2},则4CB=()

A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.{0,1}

2.设i是虚数单位，则复数Z=Q-?i)2的共辗复数2=()

3.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.

已知原平均分和原方差分别为礼s2,新平均分和新方差分别为制，sf,若此同学的得分恰好为礼贝1|()

22

A.x=s—siB.x—x1,s<si

22

C.x=x1,s>siD.%<s=si

4.甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边(两人可以不相邻)，则不同

的站法有()

A.24种B.12种C.18种D.9种

5.将函数y=sin(2x)的图象沿x轴向右平移R(0>0)个单位长度，得到函数y=sin(2无一匀的图象，则⑴

的最小值为()

717T=2兀卜57r

AA.0=zB.(p=-C.<p=-D.(p=-

6.设函数/(久)的定义域为R,且f(x+l)是奇函数，f(2%+3)是偶函数，则/(5)=()

A.0B.-1C.1D.2

7.在数学史上，中国古代数学名著倜髀算经》仇章算术少好L子经》侏邱建算经》等，对等差级数(数

列)a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)4—+[a+(?t—l)d]和等比级数(数列)a+ccq+ctq?+aq?4—

+aq"T,都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列

&。12&。13

及有关知识求解下列问题.数阵a21&a22&a23中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比

。3]&。32&。33-

数列，若d22=4,则这9个数和的最小值为()

A.64B.49C.36D.16

8.已知函数/⑺=片累1,若对"1"-")=-4)恒成立，则加=()

A.-16B.16C.-4D.4

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知实数a,b,c满足a<b<c,ac<0,则()

A.ab2<b2c

C.-+-<-2D.c-a>2yj(c—/))(/?—a)

ac

10.已知函数/(%)=X4-X2,则()

A./(%)的图象关于y轴对称B.方程/(%)=0的解的个数为2

C./(%)在。+8)上单调递增D"(x)的最小值为—1

11.已知曲线C(如图所示)过坐标原点0,且C上的点P(x,y)满足到两个定点Fi(a,0),尸2(-d0)(a>0)的距

离之积为4,则下列结论正确的是()

A.a=2B.-2y/~2<x<2-\/~2

C.周长的最小值为8D.APFiF2的面积最大值为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

10210

12.已知(2光—I)—a0+arx+a2x+—Fa10x,则a。+a1+2cz2+3a3+—I-10alo=

13.直线尤+y—1=0与圆Q—I/+(y+1)2=4相交于力、B两点，则|4B|=

14.已知函数〃久)=卜久+矶；+1114)，工20是减函数，贝b的取值范围是

\.xex,x<a

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

设公比不为1的等比数列｛5｝的前n项和为无,且S3=3a「

(1)求｛an｝的公比；

(2)若的=2,求数列｛a/n+i｝的前几项和七.

16.(本小题12分)

已知△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+6)：(6+c)：(c+a)=5：7：6.

(1)求cosA-,

(2)若点D为的中点，且CD=，IU,求AABC的面积.

17.(本小题12分)

已知双曲线C:'-，=1缶>。,6>0)的离心率为，^,右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1,两动

点4,B在双曲线C上，线段48的中点为M(2zn,m)(mK0).

(1)证明：直线4B的斜率k为定值；

(2)0为坐标原点，若AOTIB的面积为5求直线48的方程.

18.(本小题12分)

如图，在四棱台4BCD—4B1GD1中，底面48CD为等腰梯形，AB//CD,AB=2&1B］=4,ADCD=

2,AD1BBi，BB］=DD1=B1D1.

(1)证明：平面ABC。1平面。1。8当；

(2)求该四棱台的体积；

(3)求平面44BB1与平面/BCG夹角的余弦值.

19.(本小题12分)

若函数f(x)的定义域为D,集合MUD,若存在非零实数t使得任意xCM都有久+tCD,且f(x+t)>

/(%),则称/(久)为M上的t一增长函数.

(1)已知函数g(x)=x,函数h(x)=%2,判断g(x)和h(x)是否为区间［-1,0］上的£-增长函数，并说明理

由；

(2)已知函数/(K)=|x|,且/(X)是区间［-4,一2］上的n-增长函数，求正整数n的最小值；

(3)如果/'(久)是定义域为R的奇函数，当xNO时，/(x)=\x-a2\-a2,且/(久)为R上的4一增长函数，求

实数a的取值范围.

参考答案

l.c

2.X

3.C

4.B

5.4

6.A

7£

8.F

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.21

13.714

14.-21n2<a<-1

6解:(1)设数列｛%｝的公比为q,

因为S3=3a］，所以a［(l+q+q2)=3a1，

因为a1丰0,所以q2+q—2=0,

又因为q力1,所以q=—2；

(2)因为的=2,

所以厮=2x(一2尸-1=-(-2)n,(或厮=(-I)71-1x2"),

所以anan+1=—(―2)乜一(―2)n+】］=(-2)21+】，

所以

16.解:(1)因为(a+b)：(b+因：(c+a)=5：7：6,设a+b=5t(t>0),则b+c=7t,c+a=63

联立解得a=23b=33c=4t,

所以34=*9产+16产-4产_7

24?—8

(2)在△4GD中，cosA=l，CD=>A10,AC=3t,AD=2t,

o

由余弦定理得10=9t2+4/_2x3t•2t，，解得t=2（负值舍去）,

o

所以力=3t=6,c=4t=8,

因为0<A<兀，所以sinA=V1-cos2X=2^，

o

所以S—BC=WbcsinX=^x6x8x=3V15.

LLo

17J?：(1)右焦点的坐标为(c,0),C的一条渐近线方程为y=gx.

即b%—ay=0,所以,如=g=6=1.

卜+(-炉,

又£=y/~2ya2+b2=c2,解得a=1.

a

所以双曲线C的方程为/—y2=1.

x1—yl—1

设4(xi，%),B(x,y)>则

22龙一秃=1’

两式相减并整理得，(%1-%2)(^1+久2)-(为一%)(为+%)=。・

因为线段4B的中点为M(2m,m)(ni中0),贝山：】：，:

171十丫2—

所以47noi-％2)—2zn(yi—丫2)=0，因为租。0，所以二产=2,

所以直线的斜率k为定值2.

(2)设直线48:y=2%+t,联立｛1_1J，消去y得到3/+4tx+t2+1=0.

因为△=16t2-12(y+1)>0,所以tG(—8,-V-3)U(y/~3,H-oo).

,4,xx=t2+l

久i+%2=-§ai2—

22

\AB\=V1+fc-I%!-x2|=7-5•J(X1+叼尸_4XI12=t—3.

点。到直线ZB的距离为d=骞

所以SAOAB=g|4B|.d=^I-3.袅=|.

整理得/-3t2-4=0,解得严=4(/=一1舍去)，t=+2.

又因为±2£(-8,-OU(4,+8),

所以直线48的方程为y=2x±2.

18.解：(1)取力B的中点E,连接DE,

因为4B=4,

所以BE=2,又CD=2,

所以BE=CD=2,

又AB“CD,

所以四边形CDEB为平行四边形，

所以BC〃DE,BC=DE,

因为底面48CD为等腰梯形，

AB//CD,AD=2,

所以8c=2,

所以DE=2=AE=BE,

所以团ADB为直角三角形，力B为其斜边，

故2D1DB,

又2。±BB],DB,BB]u平面D/BBi，DBnBB1=B,

所以AD1平面

又4。u平面4BCD,

所以平面2BCD1平面DLDBBI；

因为平面ABC。1平面

平面48CDC平面。1。幽=DB,

D±Hu平面D/BBi，

所以。担_L平面ZBGD,

故为四棱台力BCD-ABiGDi的高,

由（1）力D1DB,又力D=2,AB=4,

所以08=2<3,

又AB=24/1，故D/i=73,

所以外=DD]=BR=<3,

所以“/=/(Op—(注色)=|,

取力E的中点F,连接OF,

由⑴=0E=4E=2,

所以DF14E,DF=6,

又48=4,

所以梯形2BCD的面积为生产=373,

由棱台的性质可得梯形4BCD与梯形力/1的。1相似，AB=2&B】=4,

所以梯形a/iGDi的面积为

所以棱台ABC。—a/iGA的体积

展/⑶苧+甯x|=竽

(3)过。作Oz〃D]H,

因为。1”！_平面4BCD,

所以Dzl平面ABCD,AD1DB,

如图以D为原点，成，丽，而为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系,

所以4(2,0,0),B(0,2<3,0),

/(0苧|),C(-l,73,0),

所以卷=(-2,20,0),

西0,一？,|),BC=(—1,—\/~3,0),

设平面的法向量为沅=(x,y,z),

则何.匣=0,

[m.BB]=0

—2x+2V^y=0

所以:/33>

(一彳y+产=o

取x=3,可得y=z=1,

故沅=(3,73,1)为平面44BB1的一个法向量，

设平面B/CG的法向量为元=(a,4c),

则打堂0

(n-BB1=0

—CL-y/~3b=0

所以1/3,3，

——D+-C=0

ZZ

取a=3,可得6=-\/-3,z=-1,

所以元=(3,-1)为平面8/CG的一个法向量,

设平面4A881与平面8/CG夹角为仇

则cos0=|cos(rnfn)\=点带

5_5

^A13x/I3—13

所以平面4遇B8i与平面B/CG夹角的余弦值为福.

19.解：(l)g(%)定义域R,v%e(%+2)eR,g(%+,)-g(%)=(%+*-％=2>0，g(%)是,

取x=-1,h(—1+|)=h©)=[<1=h(—1),h(x)不是，

函数gQ)=x是区间[—1,0]上的5—增长函数，函数何吗=/不是；

(2)依题意,VxG[—4,—2],/(x+n)>/(%)<=>|x+n|>|%|=2nx+n2>0,