数学课后训练：函数的奇偶性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后训练基础巩固1．若函数y＝f(x）是奇函数,则下列坐标表示的点在y＝f（x)的图象上的是（)A．(a,－f(a）)B．（－a，－f(a））C．（－a,－f(－a))D．（a，f(－a))2．定义在R上的偶函数f(x）,在x＞0上是增函数，则（）A．f(3)＜f（－4）＜f(－π）B．f（－π)＜f（－4）＜f（3)C．f(3）＜f(－π）＜f(－4)D．f（－4）＜f（－π）＜f（3)3．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8,且f(－2）＝10,则f(2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．104．设函数y＝f(x）是偶函数,它在［0,1]上的图象如图．则它在[－1，0]上的解析式为________．5．判断函数的奇偶性．6．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时,f(x)＝x3＋x＋1，求f（x)的解析式．能力提升7．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞,0］上是减函数，且f(2）＝0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞）C．(－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－2,2)8．定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）上单调递增，若f(－1）＝0，则不等式f（x)＜0的解集是(）A．（－∞，－1)∪（0,1）B．(－∞，－1)∪（1，＋∞)C．(－1,0)∪（0，1）D．（－1,0)∪（1,＋∞)9．已知f（x）是奇函数,g(x）是偶函数，且f（x)＋g（x)＝x＋1，则f（x）＝________,g（x)＝________。10．已知f(x)，g（x）均为奇函数，且F（x）＝af（x)＋bg（x)＋2在(0，＋∞）上的最大值为5，则在(－∞，0)上F（x)的最小值为__________．11．已知函数f(x)的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），对定义域内的任意x1,x2都有f（x1x2）＝f(x1)＋f(x2），且当x＞1时，f（x)＞0，f(2）＝1.(1)求证：f(x)是偶函数；（2）求证：f(x)在(0，＋∞）上是增函数；(3)试比较与的大小．12．函数是定义在(－1,1)上的奇函数,且.(1)确定函数f（x)的解析式;（2)用定义证明f（x)在(－1,1)上是增函数；（3）解不等式f（t－1）＋f(t）＜0。

参考答案1．B点拨：因为y＝f（x)是奇函数，故f(－a）＝－f(a），即(－a，－f(a))在y＝f(x)上．2．C点拨:∵f(x)在R上为偶函数，∴f（－π)＝f(π），f(－4)＝f(4),而3＜π＜4，且f（x)在（0,＋∞）上为增函数,∴f（3）＜f（π）＜f（4)，即f（3)＜f（－π）＜f（－4）．3．A点拨：令g(x）＝x5＋ax3＋bx，由于g（－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b（－x）＝－(x5＋ax3＋bx）＝－g(x）,则g(x）是奇函数，则f（x)＝g（x）－8，f（－2）＝g(－2)－8＝－g(2）－8＝10，∴g(2）＝－18.∴f（2)＝g（2)－8＝－18－8＝－26.4．f(x）＝x＋2点拨：由题意知f(x）在［－1,0］上为一条线段，且过(－1，1），（0，2），设f(x）＝kx＋b，将（－1,1),（0，2）代入得k＝1，b＝2.所以f(x）在[－1,0]上的解析式为y＝x＋2。5．解：函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞)．①当x＞0时,－x＜0，则f（－x）＝（－x）3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x)．②当x＜0时,－x＞0，则f(－x)＝(－x）3－3(－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝－（x3＋3x2－1）＝－f(x）．由①②知，当x∈（－∞，0）∪（0，＋∞)时，都有f（－x）＝－f(x)．所以f（x)为奇函数．6．解：设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝（－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.又∵f（x)是奇函数，则f(－x）＝－f(x）．∴－f（x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1。∴x＜0时，f(x）＝x3＋x－1。又f(x)是奇函数且在x＝0处有定义,则f(0)＝0.∴7．D点拨：由函数f（x)的性质可画出其草图，如图所示．则当f（x)＜0时，－2＜x＜2.8．A点拨：根据f（x)所具有的性质可以画出f(x）的大致图象如图,因此f(x）＜0x＜－1或0＜x＜1。9．x1点拨：由f（x)＋g(x)＝x＋1，得f（－x）＋g(－x）＝－x＋1，即－f(x）＋g（x)＝－x＋1，所以f（x)＝x，g(x）＝1.10．－1点拨：∵F(x)＝af(x)＋bg（x)＋2在(0，＋∞）上有最大值5，且f（x),g（x)均为奇函数，∴F(x)－2＝af（x)＋bg（x)在(0，＋∞）上有最大值3,且F(x)－2为奇函数．根据奇函数的性质可知,F（x)－2＝af（x）＋bg(x）在(－∞,0)上的最小值为－3.∴F（x）＝af(x)＋bg（x)＋2在（－∞，0)上的最小值为－1.11．(1）证明:函数的定义域是(－∞，0）∪(0，＋∞）．∵令x1＝x2＝1,得f（1×1)＝f(1)＋f（1)，∴f（1）＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1）＝f((－1）×（－1))＝f（－1)＋f（－1)，∴2f（－1）＝0。∴f（－1）＝0.∴f(－x)＝f（－1·x）＝f(－1)＋f(x）＝f(x）．∴f(x）是偶函数．(2)证明：设0＜x1＜x2，则f(x2）－f(x1)＝－f(x1)＝f(x1)＋－f(x1)＝，∵x2＞x1＞0，∴。∴，即f（x2)－f(x1)＞0。∴f(x2）＞f(x1），即f（x1）＜f(x2)．∴f（x）在(0，＋∞）上是增函数．(3）解:由(1）知f（x)是偶函数，则有，由（2）知f(x）在（0，＋∞)上是增函数,则。∴。12．（1)解：∵f（x)是奇函数，∴f（0)＝0,则∴∴∴.(2)证明:设－1＜x1＜x2＜1，∴f(x1)－f(x2）＝＝。∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x12＞0,1＋x22＞0。∴－1＜x1x2