北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题 含解析

大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测高二数学1.本试卷共页，共两部分，21道小题．满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角的正切值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得倾斜角，进而求得其正切值.【详解】直线斜率为，倾斜角为，所以.故选：A2.已知两个向量，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：C3.过点，的直线的斜率为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得.【详解】依题意，，解得，所以，所以故选：B4.圆关于轴对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定出已知圆的圆心关于轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知.【详解】圆的圆心为，半径为，因为关于轴对称的点为，所以对称圆的方程为，故选：D5.若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（）A.直线在平面内 B.平行 C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】【分析】先判断与是否共线或垂直，即可得出结论．【详解】∵，，假设存在实数，使得，则，即无解.不存在实数，使得成立，因此l与α不垂直．由，可得直线l与平面α不平行．因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题．6.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线与直线平行，由,解得，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线与直线平行，所以,解得，因为直线与直线所以它们之间的距离为．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在平行六面体中，，，则的长为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，，所以.所以.故选：B8.已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接，则，当最小时，最小，，故的最小值为.故选：C.9.已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当为等边三角形时，求出斜率的值，当时，判断的形状，即可选出答案.【详解】设圆心为，易知，半径，当为等边三角形时，，而，因为，所以，当时，直线为：，而，所以，所以，所以为等腰三角形，因为，圆心到直线的距离为，即，所以圆心为的重心，同时也是的外心，所以为等边三角形，所以“为等边三角形”是“”的充要条件，故选：A.10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线.给出下列四个结论：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】由题知根据直线：过定点，为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解.【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，所以，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为,当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知，，三点共线，则______．【答案】【解析】【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果.【详解】因为，所以直线斜率存在，因为三点共线，所以，所以，解得，故答案为：.12.已知圆，则圆心坐标为__________，当圆与轴相切时，实数的值为_____________.【答案】①..②.4.【解析】【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值.详解】由，配方得，所以圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得；故答案是，4.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.13.已知平面过点三点，直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求解出平面的法向量，然后根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此可知方向向量的结果.【详解】设平面的法向量为，因为，所以，所以，所以，取，所以，又因为直线与平面垂直，所以直线的方向向量与平面的法向量共线，所以可取方向向量为（不唯一，非零共线即可），故答案为：（答案不唯一）.14.直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______．【答案】【解析】【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积.【详解】令中，得，所以与轴交于，令中，得，所以与轴交于，由可得，所以两直线交于，所以围成的四边形面积为，故答案为：.15.如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论：①存在，使得；②存在，使得平面；③当为线段中点时，三棱锥的体积最小；④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先建立合适空间直角坐标系，设，对于①：根据求得的值并判断是否正确；对于②：考虑与重合时的情况；对于③：根据，分析的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系设，①：因为，所以，当时，，解得，不符合题意，故①错误；②：当与重合时，因为，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，故②正确；③：设到平面的距离为，所以，且为定值，所以当最小时，三棱锥的体积最小，因为，所以，设平面的法向量为，所以，所以，取，所以，又，所以，当时有最小值，故③错误；④：设直线与直线所成角为，因为，所以，令，所以，所以，因为，所以时取最大值，此时取最小值，此时，即与重合，故④正确；故答案为：②④.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所成角进行计算.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知平面内两点.（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程．【答案】（1）;（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为.试题解析：（1），∴AB的中点坐标为，∴AB的中垂线斜率为∴由点斜式可得∴AB的中垂线方程为（2）由点斜式∴直线的方程17.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程.（2）求直线：与圆相交的弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为且，∴由圆与相切，有，即可得.∴圆的标准方程为.（2）由（1）知：，，∴到直线距离为，∴直线与圆相交的弦长为.18.如图，在四棱锥中，平面，，，且．（1）求直线与直线所成角的大小；（2）求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与直线所成角的大小.（2）利用向量法来求得直线PD与平面PAC所成角的正弦值．【小问1详解】由于平面，平面，所以，由于，所以两两相互垂直.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设直线与直线所成角为，则，由于，所以.【小问2详解】，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线PD与平面PAC所成角为，则.19.已知圆过三点，直线．（1）求圆的方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程；（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值.【小问1详解】设圆的方程为，代入，则，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】设，由对称关系可知，解得，所以，又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；【小问3详解】因为，由（2）可知关于直线的对称点为，所以，当且仅当共线时取等号，所以，即的最小值为.20.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，，，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先选择条件，然后根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.（3）利用向量法求得点到平面的距离.【小问1详解】若选①，由于平面平面，且交线为，平面，，所以平面.若选②，由于，，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知平面，，两两垂直，以为原点，分别所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，则，A0,0,0，，，所以，由（1）知平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面与平面夹角的为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.【小问3详解】由已知得，，所以点到平面的距离为.21.已知圆：及其上一点．（1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程；（3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程.（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程.（3）将原问题转化为即可求解.【小问1详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径为.由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，结合图象可知圆