江苏省某中学2024-2025学年高三年级上册8月开学考试数学试卷

高三年级暑期检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={#2一16<0},3={耳尤2—4%+3>0卜则（

A.（-4,4）B.（1,3）C.（T,1）U（3,4）D.(-1,2)U(3,4)

2

ar_1r<n

2.已知函数〃x）='~,若〃%）=8,则%的值为（）

[4x,x>0

A.±73B.土君或2C.一百或2D.6或-2

11^.II

3.函数“工卜不一^在1式―兀,0）。（0,兀]的图象大致为（）

(―a—5)x—2,尤22

4.已知函数〃x）=<2c/cc，若对任意与，入2片%2)，都有

212eR(v%1l2J

x+2(a-l)x-3a,x<2项一尤2

成立，则实数。的取值范围为（）

A.[-4,-1]B.H，-2]C.(-5,-1]D.[-5,-4]

5.已知函数y=/（x）的定义域为[—1,4],则y=」及：：1）的定义域为（)

A.[-5,5]B.4C.(1,5]D.

6.命题“mve[l,2],f+inx—a<0”为假命题，则。的取值范围为（)

A.-℃,1)B.(-oo,0)C.(-oo,ln2+2)D.(^»,ln2+4)

7.己知函数/（九）的定义城为R,且满足/（—x）=/（x）,/（x）+/（4—x）=0,且当无e[0,2]时,

/(X)=X2-4,则“101)=()

A.-3B.-4C.3D.4

2x.-x

8.已知函数〃x)=]+l——--,若对任意xe[l,2],有/(炉)〈41+g)成立，则实数m的取

值范围是（）

,「53]「3、

A.（—00,0]B.[—2,0]C.——D.—,+°o

LL2J[_/）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.

9.下面命题正确的是（）

A.“avl”是“&<1”的充要条件

B.“a>1”是“工<1”的充分不必要条件

a

C.“a#0"是"a。w0”的必要不充分条件

D."x22且y22”是“V+/24”的必要不充分条件

10.下列命题中正确的是（）

A.:的最小值是2

6+4

B.当x>l时，X+—一的最小值是3

X—1

C.当0<xv10时，的最大值是5

21

D.若正数%y满足一+—=3,则2%+y的最小值为3

11.己知函数/（x）的定义域为R,其图象关于（1,2）中心对称，若=2—x,则下列正

确的是（）

/（4-5x）+/（5x-2）/、/、

A.————Z=1B./（2）+/（4）=4

C.y=/（x+l）—2为奇函数D.y=/（2+x）+2x为偶函数

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数=+$]]是偶函数，则实数。=.

13.集合A={H（x+l）（x—4）«0},3={耳@+3）（》+2）卜—1）=0卜若4门320,则实数a的取值

范围为.

14.记篮/={123,・・・,加},加£可\4表示左个元素的有限集，S（£）表示非空数集E中所有元素的和,

若集合&#={s（4）|4vN：},则叫广;若S（/J2817,则根的最小值为.

四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

设集合A={刈％—5|<2}.B={x\L<x<2m+l].

（1）若4口3=0,求实数m的取值范围；

（2）若“xeA”是的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

16.（本小题满分15分）

随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了

一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取

了100名学生统计得到如下列联表：

使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计

入学测试成绩优秀202040

入学测试成绩不优秀402060

合计6040100

（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；

（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机

抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

n(ad-bcf

附：z2其中几=a+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

尸(/*）

0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

17.（本小题满分15分）

_2X+h

定义域为R的函数/'（X）=FT?是奇函数.

（1）求实数a*的值;

（2）若存在2,0）,使得〃/+34）+/[—/]<o成立，求实数上的取值范围.

18.（本小题满分17分）

在四棱锥P—A3CD中，24,平面A3CD,底面A3CD为正方形，PA=为线段PB的中点，F

为线段上的动点，BF=2BC（O<2<1）.

(1)证明：AE±PC；

(2)求实数X的值，使得平面AEF与平面PDC所成角的余弦值最大.

19.(本题满分17分)

已知函数/(x)=(Inv)2-a(x—l)2,aeR.

(1)当a=l时，求的单调区间;

(2)若x=l是"尤)的极小值点，求。的取值范围.

高三年级暑期检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答

案】B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.

9.【答案】BC10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

【详解】A选项，“尤）的定义域为R,其图象关于（1,2）中心对称，故"4—5x）+/（5x—2）=4,故

人正确;

4

B选项，由题意得/（4—x）+/（x—2）=4,又」（x）一；（4-x）=2—X，故小）+/：-2）―4=2一》,

令工=4得/（4）+[（2）—4=2—4,即/（4）+/（2）=—8+4=T,B错误；

C选项，由题意得/（1_力+/（X+1）=4,即/（1—九）—2=—[〃x+l）_2],

令g（x）=/（x+l）-2,则g（-x）=—g（x）,所以y=/（x+l）-2为奇函数，C正确；

D选项，因为/（X）―/（4_X）=2_X,所以/（犬+2）―/（2_工）=2_X_2=_X,

44

即/（%+2）—/（2—x）=Tx,故/（%+2）+2'=/（2—％）—2工，

令/Z（X）=/（2+X）+2JV,则/z（x）=/z（—x）,故y=/（2+x）+2x为偶函数，D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】—,

2

13.【答案】（YO,—2]U[L”）

14.【答案】{6,7,8,9}21

【详解】当相=4,左=3时，乂={1,2,3,4},A表示3个元素的有限集，

由AtQN；可知：4={1,2,3}或A={1,2,4}或A={1,3,4}或A={2,3,4},故M43={6,7,8,9}；

由题，/九2={3,4,5,…,2加—1},由S（〃恒2）=）-T—2m3+2-T）]&*,

即（2m—3）（加+1）2817,解得机21+-[,>I

（舍去）,

由加wN*,故机的最小值为21,

四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

【详解】（1）A={x||x-5|<2}={x|-2<x-5<2}={%|3<%<7},

当i?=0时，122m+l,m<0；

m>0

当时，由AcB=0得：<,即0<加41；

2m+1<3

综上，m<1；

3>1

（2）由题得，AU3,所以<，且等号不同时成立，解得口之3,所以实数机的取值范围为［3,+口）.

7<2m+1

100x（20x20-20x40）2_25

16.【详解】（1）:/<3<3841

40x60x40x609

・•・没有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关;

（2）5x40'=2,：.5人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀,

100

X的取值可能为0、1、2,

C|1

・皿=。）*4小川=詈I。-%c1=io

分布列为:

X012

331

P

10510

3314

.-.E（X）=0x—+lx-+2x—=-

V7105105

—1+/?

17.解：⑴•・•”尤）是奇函数，.•1（0）=0,即51=0,解得b=1，

-2+1一2T+1

又由=知:—--——，解得。=2.

4+〃1+〃

此时，〃x)=]芸)，〃—x)=WW=Er^|r=言之=—"X)，即/(%)是奇函数―

故〃=2*=1.

xx

【或】()是奇函数，.XT-2+b-i+b-2

•."X•.〃)+〃)=M^+U!------i-----------1-----------------------

x+1x

乙ICr乙ICt2+a2+a-2

(-2A+b)(2+a-2x)+(-l+b-2X)(2-2X+a)=0,即(2b—+2("—2)2+2b—a=0恒成

立.

2b—a=0f^=2[a=-2

*<*<nVv

ab—2=。'b-\b=—l

当2时，/(x)=-^—^的定义域为{x|XHO},舍去,

b——12—2

故a=2,b=1.

—2%+11i

（2）由⑴知〃犬卜声二:一不+歹丁，则〃龙）在R上为减函数,

乙I乙乙乙IJ.

又“X）是奇函数，由〃/+3左）+/『—左2]<0得：〃/+3左）<——42]=/[左2—；

t+3k>k"—,即fH—>k~—3k在fw（—2,0）上有解，

1.'te（—2,0）,?H■—=一---]<一2JT—=—2当且仅当—t=—,即。=一1时等号成立,

,y=/+；在2,0）上的最大值为—2,

:.-2>k2-3k,即（左一1）（左一2）<0,二1〈左<2.

18.【详解】

（1）略；

（2）如图分别以A3,A£）,"所在的直线为羽y,z轴，

ZJ

%

不妨设2^=AB=AD=1,则3(1,0,0),C(1,1,O),0(0,1,0),尸(0,0,1),A(0,0,0)

~BF=2BC(0<2<1),设E(x,y,z),BF=(x-1,y,z),BC=(0,1,0),

则(x_1,y,z)=X(0,1,0),解得F(1,2,0),

设平面AEF的法向量为I=(x，%,zJ,通=[g,0，?|,/=(l,40),

则荏.)=0,/.)=0,

11c

所以22，取为=-1,则X]=2,Z]=-/l,BPnx=(2,-1,—A),

X]+Ay]=0

设平面PCD的法向量为0=(。，瓦c),皮=(1,0,0),PD=(O,l,-l),

DC,n,=a=0—.,、

则一一一，取%=(0,1,1)，

PD=b-c=0

设平面AEF与平面PDC所成锐二面角的平面角为a,

贝！Jcos«=cos4

15

令t=2AH—e

225224

me近11

所以cosa=《--+1一□~p

212T+--------

I28/2

191191193

因为一f+-------->2J-/----------=1,当且仅当一f=—,即/=—时取等号,

28/228/22St2

31

所以当/时，即2=一时,

22

rs1rs

19.【详解】(1)当a=l时，/(%)=—^-2(X-1)=-(1IU-X2+X),

XX

设g(x)=Inx-x2+x,则g，(%)=--2x+1=仅'+1)('0,

XX

所以当X£(O,1)时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

当工£(1,+oo)时,g<x)<0,g(x)单调递减，

当％=1时，g(x)取得极大值g(l)=0,所以g(x)<g(l)=0,

所以1(X)<0"(X)在(0,+8)上单调递减；

(2)尸⑺二^-2tz(x-l)=—(^Inx-at2,

[7,/、1c—2ciX+CLX+1

^/z(x)=lnx-or2+ax贝(Jh(x)=---lax+a-------------

XX

(i)当a<0时，二次函数尸(x)=—2依2+依+1开口向上，对称轴为x=；,A=a2+8a,

当—8<a<0时，A=a2+&i<0,尸(x)20,/z(x)单调递增，