贵州省2024年高三年级下册高考模拟信息卷数学试题（一）（解析版）

贵州省2024年高三下学期高考模拟信息卷数学试题（一）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

。=卜3'-2，-1，*”,则尸

1.已知集合「=卜疝一+3x—220}

)

A.{-3,-2,-1}B.卜2,一1,；,哲

C.mD.卜3,一2,打

K答案]]D

K解析?因为尸={耳2%2+3%—2之0}=<2>,

又。=卜3,一2,一4别,所以尸00=13,_2，,1卜

故选：D.

2,

2.--1=()

1

A.72B.75C.2D.5

K答案XB

K解析X因为：-1=一1—2i,所以1-1=|一==

故选：B.

3.已知向量M=（2,l）,W=l,且k+,*_母,则[的坐标可以是（

)

A.国学B信叵

'5,

C[4-¥]小竽用

K答案RA

K解析R设B=（无,y）,因为M=l,所以f+y2=i①，

又卜+画=,一同，得到a.方=o,又"（2,1）,所以2x+y=0②,

x=——X=-----2s

联立①②解得5l5

或<,所以行的坐标可以是——/

2V52下I35)

故选：A.

4.己知数列｛4｝满足。"=叶曰(4eR),贝U“数列｛%｝是递增数列”的充要条件是

n

()

A.左<0B.k<lC.k>0D.k>l

k答案1B

〃+"-1

K解析》因为a“=(keR),

n

n+kn+k—11—k

所以4+i-4

n+1n(n+l)n

1一女

由%——再而〉°'得到人<1'

所以“数列｛册｝是递增数歹U”的充要条件是kvl,故选：B.

5.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩.已知这批石墩可以看作是一个圆台和一

个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中AB=2CE=2所=40cm,

州2~

B.

3

1300071

C.40007icm3D.cm3

3

(答案ID

K解析》如图，过点C作CM±A3于

因为|45|=2仁同=2|即|=里)011,[4。|=10缶111,所以|AM|=10,

\CM\=J|CA|2TAM『=7200-100=10，

所以圆台的体积为V=g(S上+S下+邪上.S下)h

1I-------;----------r7000兀q

=—(7TX1092+7ix2092+V^xlO2X7ix202)x10=--—(cm3),

又圆柱的体积为匕=5/2=7TX102X20=2OOO7T(cm3),

所以该石墩的体积为四盟+2000兀=13°—(cm3),

33

故选：D.

6.若函数/(x)=2cos[0x+?1(0〉O)在0谓上单调，则0的最大值为()

I，)\2y

124

A.—B.—C.1D.一

333

K答案1D

K斛析XeI0,—I,则/光+§+§>

函数/(%)=2cos+；](G>0)在0,一上单调，

I3；k2；

所以乌〈竺+乌《兀，解得：0<。4士，

3233

4

所以。的最大值为一.

3

故选：D.

7.将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至

少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

2111

A.-B.-C.-D.一

3234

K答案XA

k解析》将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，

每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1,白红2）,（白，红1红2）,（红2,白

红1）,

则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1,白红2）,（红2,白红1）,

所以由古典概型的公式得概率为：一.

3

故选：A.

…兀cc.(2,

8.已知%'＜0〈兀，0＜/＜兀，sinl—。=cosB.若tana=N，tan/3=3~k,则

k=()

1133

A.——B.—C.——D.-

2222

K答案】B

K解析》由题意可得cos/?=sin|+(二一=COS[工一1]=cos[l_q],

、6JJ16JI6)

兀715兀

因为一＜。＜兀，0＜/?＜兀，则0＜。一—＜一，

666

7T7T

可得夕二。——,即,

66

e71/tancif-tan/?3k-3-k_3k-3-k_43

则tan—=tan(a-/?)=----------

61+tanortanJ3—1+3仁3-卜一23

令/=3无＞0-

则!zz_3，整理得省产-2-6=0,解得£或r=（舍去），

2一33

即变=若，解得上=--

2

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知Ovavbvl,m>L则（）

A.am<bmB.nia>mb

c.log,"〉log,"D.logflm>log^m

K答案XAD

k解析》对于A,根据y=x根在（0,+8）单调递增，结合Ovavbvl,知腔</T,A正

确.

对于B,根据y=//在（0,+8）单调递增，结合知机"<机〃，B错误.

对于C,根据y=log”,x在（0,+co）单调递增，结合知log,"a<log./,C错

误.

,1,1

对于D,根据log/〃=；-----,logbm^-----结合

log,"log”*

11

知log,"<log"也<0,则谑了,即log—>log/，D正确.

故选：AD.

10.在正方体ABC。—AgGA中，MN,瓦£G分别为A。，BC,4与，BB},

的中点，则（）

A.MN//平面EFGB.AC1，平面所G

C,平面MGCJI平面AFND.平面EFG±平面AFN

K答案XABC

（解析X对于A,连接48,如图，

因为E,歹是44，8片的中点，所以EF//A3,

易知四边形48cA是平行四形边，又M,N是A/,的中点，所以MN//A3,

故MN//EF,又平面所G,EFu平面EFG,

所以MN//平面ENG,故A正确；

对于B,连接ACB。，如图，

在正方体ABCD—GA中，易知AC，BD,CQ±BD,

又ACnCG=C,AC,CQu平面ACC,,所以皿工平面ACC,,

因为AGu平面ACC1，故5。LAC1，

又易知BDIIGF,所以GFLAC1，

同理：±Aq,则M，AC-

因为6”所匚平面£56,所以AG，平面EFG,

对于C,连接

因为M,G是AA，的中点，所以MG//4。，同理：FNIIB.C,

又在正方体ABC。—A耳GA中，易得MG//B[C,所以MG/AFN,

又MGa平面ARV,TWu平面AEV,所以MG//平面AEV,

同理可证MG//AN,进而可证MG〃平面AEV，

因为=M,MG,MGu平面MGG,所以平面//平面AEV,故c正

确；

对于D,假设平面EFG,平面A月V,

因为AC1，平面EFG,所以A£//平面ARV,显然不成立，故D错误.

故选：ABC.

11.已知抛物线C：V=2px（0>0）的焦点为产，准线为/,过点尸的直线与C交于

P,Q两点，点M为点尸在/上的射影，线段核与y轴的交点为G,PG的延长线交/

于点T,贝U（）

A.PGLMFB.TFLPQ

C.\TM\^\TQ\D.直线PG与C相切

（答案XABD

K解析X由题知23,0）,/：%=—£,设尸（竺,加），则M（—“,加），

222p2

Q-m-m_

对于选项A,因为原/p、=~p\所以/.：丁=二"（x—£）,

（）P2

2------2〃

rnm---►iyi2m----►

令x=0,得到y=一，所以G（0,—）,故PG=（--，一：■）,"b=（p,-加），

222p2

—►►祖2—m

又PG,MF=-----xpH------x（—加）=0,所以尸G_1_W,所以选项A正确,

2p2

m

j2PLL-7Pm

对于选项B,由选项A知七尸=F=一,所以IQP:y——x-\—,

mmm2

2P

令T得到一介会

222

所以"得+》故"畸一”卷苫孙

22

又于•丽=（竺—2>0+（上一—'）•相=0,所以TFLPQ,故选项B正确,

2P22m2

对于选项c,在ATF。中，|7。|>|7/I，又由选项A知直线GP为MR的中垂线,

所以17Ml=|7F］，得到|〃2|>|力W］，所以选项c错误,

pm

nmy——xH—~~

对于选项D,因为/GP：V=—XH----，由<m2,消尤得到y-2my+m2=0,

m2

y2=2px

因为△=4^2—4n?=0,所以直线PG与C相切，故选项D正确,

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1x-工］的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.（用数字作答）

K答案124

k解析》因为〃=4,所以二项式系数最大的项为第3项，

又1—2］的展开式的通项公式为（+］=C；x"（—2］（0<r<4,reN），

2

令r=2,得到7；=C%2（——）2=24,所以二项式系数最大的项的系数是24.

X

13.我们把离心率为亚±1的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”

2

22

c：———当=13〉0),则C的虚轴长为__________.

2V5-2b2

［答案X4

i7Q1上匚2日斗，1~b~+1_b"6+2^5存R

K解析U因为e=-。=J(1+—=11+―产一=-A/-5----,即1+—方——=--------，解

aVaV2V5-222V5-24

得b=2,所以C的虚轴长为4.

14.若直线y=ax-l与曲线y=ln(x—Z?)相切，则》的最小值为.

(答案】--

e

K解析》因为y=h-)(x>6),所以y=,，

x-b

一1

-----二a

设切点为贝卜，

ln(x0一/7)=axQ-1

］=a

由一~~T^得％0—匕=工>0,ab=ax0-l,则a>0,

%o一。a

代入ln(%—Z?)=稣一1,得lnL=〃b,贝iJZ?=一色色，

aa

令"%)=以二，则/•'(月=匕"，当0<x<e时，r(%)>0,则/(尤)单调递增，

当％〉e时，/(%)<0,则/(无)单调递减，

所以/(X)max=g(e)=L故"min=-/(xLx=-L

ee

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在三棱台A3C—4与。1中，CG_L平面ABC,AC±BC,BC=4,

AG==CCX-2.

B

(1)求异面直线48与4G所成角的余弦值；

(2)求直线45与平面4月C所成角的正弦值.

解：(1)依题意，以点C为圆点，C4,CB,CG所在直线分别为x,%z建立如图所示

空间直角坐标系

在三接台中.

因为4G=BCAC=BC-4,

.•.C（0,0,0）,A（4,0,0）,B（0,4,0）,

AG=4G=cc、=2,

.•.A（2,0,2），4（0,2,2）＜（0,0,2）

所以福=（-2,4,-2）,监=（0,-2,0）

而ricosABFC*-_4x（_2）_76

所以|性国一南3一行

设异面直线A0与BG所成角为6则，

所以cosa=COSTAR4G）=，

即直线48与B©所成角的余弦值是逅.

3

TT

（2）设直线AXB与平面A4c所成角为B,则0,-,

平面431c的法向量为力=（x,y,z）,四=（—2,2,0）,即=（—2,0,—2）,

n-AB,=-2x-^-2y=0/、

所以\—.,令％=1,则y=l,z=—l,所以为二

n-AC=-2x-2z=0

即直线\B与平面AXBC所成角的正弦值是正.

3

16.记VABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知〃2+〃=/+o2sin2A.

(1)求tanAtaniS；

7T

(2)若A=2,VA3C的面积为3,求

4

解：(1)由余弦定理/=/+/—2a6cosC,得/+。2=/+2a6cosC,

ah

由正弦定理-----=-----，得asin5=Z?sinA,

sinAsinB

因为〃2+/=。2+^2sirA,所以。2+2abcosC=c2+absinAsinB，

则sinAsin5=2cosC=—2cos(A+B)=—2cosAcosB+2sinAsinB,

即sinAsin5=2cosAcos5,显然cosAcos5wO,所以tanAtan5=2.

jr

⑵因为A="所以tanA=l,则由tanAtan5=2,得tan8=2,

2

所以sin3=

因为0<5<兀，忑'

bsinB222拒2A/2

所以'=,即6—Q

asinA-756y/5

由a~+b~=c2+b2sin2A，得/+b~=c~+^-b2,

2

118,93

则c9—ci9H—b9—ci9H—x—ci——ci7,即。=-尸a，

2255A/5

因为VABC的面积为3,所以^bcsinA=3,

2

则《乂平"4"事=3,解得。=石(负值舍去),

2亚加2

所以a=逐■

17.某学校举行数学学科知识竞赛，第一轮选拔共设有A,B,C,D,E五道题，规则

为每位参赛者依次回答这五道题，每答对一题加20分，答错一题减10分；若连续答错两

道题或五道题全部答完，则第一轮选拔结束.假设参赛者甲同学答对A,B,C,D,E

32111

的概率分别为一，一，一，一，一，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

43222

（1）记X为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数，求X的分布列及数学期望；

（2）第一轮比赛结束后，若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分,

则可进入下一轮选拔，求甲同学能进入下一轮的概率.

解：（1）由题可得X可能取值为：2,3,4,5,

P(X=2)=—x—=—,

4312

…c、3111

P(X—3)——x—x———,

4328

…八321112111

P(X=4)=—x—x—x—+—x—x—又一二一,

432243226

p(X=5)=l--,

128624

X的分布列如下：

X2345

11j_15

P

128624

所以E（X）=2XL+3X』+4XL5X"=U.

1286243

（2）设A,B,C,D,E分别代表第1,2,3,4,5个问题，

用”,。=1,2,3,4,5）表示甲同学第，个问题回答正确；

用M&=1,2,3,4,5）表示甲同学第，个问题回答错误;

32111

由题意得P（M）="P（M2）=-,P（M3）=-,P（M4）=-,P（M5）=-,

记甲同学能进入下一轮为事件K,

则

P(K)=P(M1M2M3M4M5)+P(MXM2M3M4M5)+P(MiM2M3M4M5)+P(M,M2M3M4M5)

+P(M1A/2M3A/4A/5)+P(MM2M3M4M5)++P(MXM2M3M^M5)

^3211131111121111211137

=5x—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=——.

4322243222432224322296

18.已知椭圆C：=+与=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为耳，口2,点M(2,l)在C

a"b~

上，MFxMF\=-\,过点〃作两条斜率互为相反数的直线，分别交C于不同的两点

A,B.

(1)求C的标准方程；

(2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值.

⑴解:设耳(一c,0),8(c,0),Ac2=a2-b2,

因为砺=(-c-2,-1),MF[=(c-2,-1),又该•丽=—1,

所以(一c—2)(c—2)+1=—1,解得°=后，

41

又点M(2,l)在C上，所以r+k=1①，

ab'

又/=6②，联立①②，解得/=8/2=2,

22

所以C的标准方程为土+乙=1.

82

（2）证明：设直线M4的方程为y—1=左（九—2）,直线MB的方程为y—1=—左（尤—2）,

[22

三+匕=1

由｛82,消y得到（1+4/）——8左（2左—l）x+1642—164—4=0,

y-1=k（x-2）

由zr8左2左-1）8k2-8k-2

所以%+2=--——廿得到4=

A1+4左21+442