2025年高考数学一轮复习：数列中的综合问题（学生版）

考点38数列中的综合问题（2种核心题型+基础保分练+综合

提升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内

容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前〃项和

公式等

唱【核心题型】

题型一等差数列、等比数列的综合运算

数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方

法：寻找通项公式，利用性质进行转化.

【例题1】（2023•湖北荆门•模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用

药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患

者/给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓

度降低到上一次检测血药浓度的40%,当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（）

A.11小时B.13小时C.17小时D.19小时

【变式1】（2023高三•全国•专题练习）已知集合N=｛x|x=2%AeN*｝,

8=｛x|x=3也，七eN*｝,将413中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列｛。“｝,设数列

｛%｝的前"项和为S,，若册=27,则加的值等于—，$5。的值为一.

【变式2】（2024•四川绵阳•三模）已知首项为1的等差数列｛g｝满足：％,出吗+1成等比数

列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足：。也+。也t+…+岫=邛T，求数列｛2｝的前〃项和T„.

【变式3】(2023高三•全国•专题练习)设｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，且

ax=bx=a2-b2=a3-b3=l.

⑴求｛%｝与｛4｝的通项公式；

⑵设｛%｝的前”项和为s,，求证：(51„+1+an+1)bn=Sn+lbn+1-Snbn-

题型二数列与其他知识的交汇问题

(1)数列与不等式的综合问题及求解策略

①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的

单调性比较大小.

②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值.

③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构

造函数进行证明.

(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前〃项和公式、

求和方法等对式子化简变形

命题点1数列与不等式的交汇

【例题2】(2024,重庆•三模)数列｛氏｝的前〃项和为Sn^2an-3n+4,若

4g"+3)-3〃+2>0对任意“eN*恒成立，则实数几的取值范围为()

A.B.(1,+℃)C.D.(2,+co)

【变式1](2024,江苏苏州•三模)已知函数N*.

①当a=2时，6“=1+工，记也｝前〃项积为7；,若加>7；恒成立，整数加的最小值

是；

②对所有"都有对421成立，则。的最小值是.

【变式2](2024•湖南长沙•模拟预测)已知数列｛%｝满足％+々+?+…+%=2〃(”eN*).

23几、7

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)已知数列也｝满足6'=务.

①求数列低｝的前〃项和小

②若不等式(-1)"2<7],+会对任意neN,恒成立，求实数2的取值范围.

【变式3】(2024•辽宁•二模)设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,公差为力且qd/0.若等

差数列｛2｝,满足”=妥.

(1)求数列也｝的通项公式;

(2)若1记数列｛a｝的前〃项和为北，且北>",求"的最大值.

命题点2数列与函数的交汇

【例题3】(2024•福建莆田三模)已知定义在(0,+◎上的函数/(x)满足/(x+l)=2〃x)+l,

且/'（1）=1,则〃10。）=（）

A.2100-1B.2100+1C.2101-1D.2101+1

【变式1】(2024•广西来宾•模拟预测)函数+-2|+|〃-3|+…+5为

正整数)的最小值为.

【变式2](2024♦浙江绍兴,三模)已知函数〃无)=6sin7u+cosxr(xeR)的所有正零点构成

递增数列｛%｝(〃eN*).

⑴求函数〃x)的周期和最大值；

⑵求数列｛%｝的通项公式册及前〃项和s,.

【变式3](2024,上海•模拟预测)已知〃x)=gx2+g无，数列｛%｝的前“项和为S",点

eN*)均在函数y=/(x)的图象上.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若g(x)=/7,令〃，=g［羲］(〃eN*),求数列上｝的前2024项和&2〃

II4\乙U4JJ

D【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.2024•山西阳泉三模)已知等差数列｛%｝中，%是函数〃x)=sin(2x-多的一个极大值点,

则tan(%+%)的值为()

A."B.&C.±V3D.-V3

3

2.(2020•辽宁辽阳•二模)已知等差数列｛%｝的公差为2,前〃项和为S“，且耳，邑，$4成

等比数列.令，,则数列也｝的前50项和乙。=()

anan+\

,504910050

A.—B.—C.D.

5150101101

3.(2024・山东•二模)欧拉函数°(#("eN*)的函数值等于所有不超过正整数”，且与"互质

72n

的正整数的个数，例如。(4)=2.已知2=*西，〃eN*,(是数列｛a｝的前〃项和，若

(<“恒成立，则M的最小值为()

37

A.-B.1C.-D.2

46

4.(2024•福建泉州•二模)在等比数列｛%｝中，4M5是函数/a)=Y-10x+Hn(3x)的两个

极值点，若w%=2缶3-2,则%的值为()

A.-4B.-5C.4D.5

二、多选题

5.(2024•云南•模拟预测)已知定义在R上的函数/(x)满足：

/(x+j)+/(x-j)=2/(x)/(j),且〃2)=-1,则下列说法中正确的是()

A.是偶函数

B./(x)关于点(2,-1)对称

C.设数列｛。“｝满足。“=/(〃)，则｛《｝的前2024项和为0

D-111)可以是3

6.(2024•湖北•模拟预测)对于正整数〃，夕(〃)是小于或等于"的正整数中与〃互质的数的

数目.函数夕(〃)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如。(9)=6(1,2,4,5,7,8与9

互质)，则()

A.若〃为质数，贝1］夕(力)=〃一1B.数列加(〃)｝单调递增

数歹！］｛夕（）｝为等比数列

C.数列的最大值为1D.3"

三、填空题

7.（2021•江西•模拟预测）己知公差不为0的等差数列｛g｝的部分项气，ak2,%……构成

等比数列｛%｝,且勺=1,e=2,%=5,贝必“=.

8.（2023•陕西宝鸡•模拟预测）已知实数。、b、c、d成等差数列，且函数了=ln（x+2）-x

在X=b时取到极大值C,则a+d=.

9.（2024•四川成都•模拟预测）已知数列｛%｝满足ln%M=a“+l,函数=鼻在x=/

处取得最大值，若卜％=（1+。2）%,贝崎+。2=

四、解答题

10.（2023•全国,模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为s,，q+出+3%=25,且

%+2,a4,%—2成等比数歹|J.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设6“=a」后^,求数列也｝的前„项和T“.

11.（2024•浙江・二模）欧拉函数°G0（〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数〃且与"互素

的正整数的个数，例如：。⑴=1,。（4）=2,0⑻=4,数列｛%｝满足a“=e（2"X"eN）

（1）求生,a2,%，并求数列｛对｝的通项公式；

"l°g?a2”

(2)记2=(T)',求数列｛a｝的前〃和

【综合提升练】

一、单选题

1.（2024•辽宁•二模）设等差数列｛%｝的前〃项和为邑，点（％尺）（〃eN*）在函数

/（*）=4（'2+&+（7（4凡。€1<）的图象上，则（）

A.C°=lB.若/=0,贝！jm/eN*,使S”最大

C.若4>0,则m%eN*,使S“最大D.若/<0,则加°eN*,使S“最大

2.（2022高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝为等差数列，且出•设函数

/（x）=sin2x+2cos21,记”=/（。“），则数列｛%｝的前13项和为（）

,13兀=

A.-----B.7兀C.7D.13

2

3.（23-24高三下•重庆•阶段练习）定义：满足&隹:&包=q（q为常数，〃eN*）的数列

%an

（«„）称为二阶等比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列I%｝的二阶公比为

行吗=1,%=0,则使得%>2024成立的最小正整数〃为（）

A.7B.8C.9D.10

4.2024,江苏徐州•一模）已知数歹U｛%｝的前〃项和为',且3S"=24+1,〃eN*.若跖22024,

则正整数人的最小值为（）

A.11B.12C.13D.14

77r

5.（23-24高三上•山西运城,期末）已知等差数列｛%｝中，％=正，设函数

/（x）=cos4Jc-sin4x-25/3sinxcosx-l,记/=〃％）,则数列｛州｝的前17项和为（）

A.-51B.-48C.-17D.0

6.（2024・安徽池州・二模）对于数列｛&｝,若点（力,。“）都在函数>=4'的图象上，其中q>0

且qwl,贝是"｛%｝为递增数歹『’的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.(2024•上海奉贤•三模)若数列｛%｝的前〃项和为S.,关于正整数”的方程记

为F,命题P：对于任意的awR,存在等差数列｛%｝使得尸有解；命题9：对于任意的

aeR,存在等比数列也“｝使得尸有解；则下列说法中正确的是()

A.命题P为真命题，命题9为假命题；B.命题P为假命题，命题9为真命题；

C.命题？为假命题，命题9为假命题；D.命题。为真命题，命题9为真命题；

8.(2024•青海•模拟预测)已知定义在R上的函数/(x)满足

/(X+J)=/(X)/(J；)-2/(X)-2/(J)+6,/(1)=4,则/⑴+〃2)+…+/(99)=()

A.2"+198B.2"+196C.2100+198D.2100+196

二、多选题

9.(2024•贵州•三模)已知定义域为R的函数/(X)满足

〃x+H=〃x)+〃H+x/+盯2j，(x)为〃X)的导函数，且广⑴=2,则()

A./(0)=0

B./(x)为奇函数

C./(-2)=7

D.设，=/'(〃)(〃eN*),贝晌024=2023x2025+2

10.(2024•河南•三模)将函数/3=5出15：-^｝0>0户>0)的零点按照从小到大的顺序

排列，得到数列｛%｝,且％=§,则()

A.0=2B.〃x)在(1,2)上先增后减

C.D.｛%｝的前"项和为

36

1L(2022,海南•模拟预测)对于无穷数列｛。“｝,给出如下三个性质：①％<0；

②V〃,seN*,%>%+4；③V〃eN*,小eN*,定义：同时满足性质①和②

的数列｛«„)为"s数列",同时满足性质①和③的数列｛%｝为"/数列"，则下列说法正确的是

()

A.若%=2〃-3,则｛%｝为"s数歹

B.若%=-*,则｛%｝为数列"

C.若｛%｝为"s数列"，则｛%｝为数列"

D.若等比数列｛a,,｝为"t数歹！J",则｛%｝为"s数列"

三、填空题

12.(2024•浙江•模拟预测)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且％=,“+[_],数列也｝的

前〃项和为5,且(24-1)5,=*,则满足1“的正整数〃的最小值为.

13.(2023高三•全国•专题练习)函数满足/(〃+1)=]+；⑺，/⑴=；(〃eN*).若不

等式|/(“+1)-〃")归"对任意的”恒成立，则”的最小值是.

14.(23-24高三上•河北邢台・开学考试)函数”x)=x2-x+a的最小值是：，数列｛%｝满足

«„+1=/(«„)，卬=1,则数列｛%｝的通项公式是.

四、解答题

15.(2024•上海虹口•二模)己知等差数列｛。“｝满足g=5,a9+~l=2a6.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛"｝前”项和为"，且”=嗫*,若£>432,求正整数加的最小值.

16.(2024•江苏连云港•模拟预测)已知数列｛%｝的前"项和为邑，且S“=g+-k

(1)证明：数列｛0｝是等差数列；

1,

—,n-

S1

⑵数列｛*｝的每一项均为正数，"=〃],数列｛2｝的前〃项和为北，当

T；之1012时,求〃的最小值.

17.（2024,四川成都•三模）已知数列｛%｝的前〃项和为S",3,=4a“-2.

⑴证明：数列｛%｝是等比数列，并求出通项公式；

⑵设函数=f｛瓦-的导函数为了'（X）,数列也｝满足或=/（%），求数列他,｝的

前〃项和&

18.（23-24高三下•河北衡水•期中）已知数列｛%｝的前”项和为S“，>S„=2a„-l,（n>l）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1111c

(2)求证：—+—+—+—<2.

5%5~

19.（2024•湖南衡阳•三模）已知正项数列｛“"｝的前”项和为S，首项为=1.

（1）若a；=45“-2%-1,求数列｛%｝的通项公式；

（2）若函数/（X）=2e*+x,正项数列｛%｝满足：«„+1=/（«„）（«eN,）.

（i）证明：

<ii）证明：（1+T^T）（1+T^T）（1+^T）…（1+T^T）（我（"N2,〃eN*）.

【拓展冲刺练】

一、单选题

L2023•陕西安康•模拟预测）设函数〃x）=2x+l,数列｛%｝,｛4｝满足%=7•（"）,〃"）=”,

则出二（）

A.b]B.b9C.bnD.九

2.（23-24高三上•广东揭阳•阶段练习）已知等差数列｛%｝中，％=?，设函数

O

/（x）=^4cos21-2^sinx+cos2x+2,记》,=/（%）,则数列｛纥｝的前13项和为（）

A.7B.13C.20D.26

3.（2022高三•全国•专题练习）已知数列｛。,,｝满足%=45,3a用=凡-1,则满足不等式

的人的值为（）

A.4B.5C.6D.7

4.（23-24高三上•四川•阶段练习）已知数列｛%｝满足％=-1,且%M=a“+（-2）向，若使不

等式旧花彳成立的％,有且只有三项，则2的取值范围为（）

11351335

A.T'T.B.§包

11百

C.353JD.3'3J

二、多选题

5.（23-24高三下•河北•开学考试）欧拉函数9（冷（〃€w）是数论中的一个基本概念，夕（〃）

的函数值等于所有不超过正整数〃，且与，互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整

数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如夕⑻=4,因为1,3,5,7均与8

互质，贝。（）

A.夕（4）.夕（6）=夕（10）B.数列0（2”）单调递增

3

C.9（100）=40D.数列的前“项和小于］

6.2022•浙江绍兴•模拟预测）已知正项数列｛%｝,对任意的正整数机、"都有2aBi+"％,+%，

则下列结论可能成立的是（）