中考数学专项复习：方程（组）定义及解法

2.1方程（组）定义及解法知识点演练

考点1：等式的性质

考点2:方程的解

2.1方程（组）定义及解法知识点演练"

考点3:方程（组）的解法

考点4:一元二次方程根的判别式

考点1：等式的性质

例1.（2022秋•河北邯郸•七年级校考期末）下列变形符合等式的性质的是（）

A.如果2久一3=7,那么2x=7—3

B.如果3%—2=第+1,那么3x—x—1—2

C.如果—2%=5,那么久=5+2

D.如果-2%=6,那么％=-3

知识点训练

1.（2022秋•辽宁大连•七年级统考期中）在下列式子中，变形一定成立的是（）

A.如果a=b,那么a+=b+B.如果一三二6，那么a=-3b

C.如果a—%=b—%,那么a+b=0D.如果?71a=mb,那么a=b

2.（2022秋・天津河西•七年级统考期末）下列方程变形正确的是（）

A.由-2%=1得%=—2B.由％—1=3得％=3—1

C.由一得久=一（D.由x+2=7得x=7+2

3.（2022秋・河北•七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（）

A.若无=2y,则x+l=2y+lB.若3x=2y,则把=空

mm

）

C.若手=§，则3%=2yD.若％=y,贝肢/+1%=（7n2+】）y

4.（2022秋・广东江门•八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（）

A.若租+4=九一44,贝!J?n=nB.^a2x=a2y,贝！J第=y

C.若2=2,则％=yD.若一•!/<:=8,则/c=-12

aa2

5.（2022秋・河北保定•七年级校考期末）如图，两个天平都平衡.当天平的一边放置3个苹果时，要使天平

保持平衡，则另一边需要放香蕉（）

COL^JIJJI

zszs

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.（2022秋•江苏南通•七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（）

A.如果a=b,那么a+c=b-cB.如果a=6,那么!=?

CC

C.如果巴=2,那么a=bD.如果。=3,那么/=3/

cc

7.（2022秋•陕西西安•七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若％=y,则-TH+汽=-TH+y；

②若;=；,则％=y；③若％=y,则旨7=品；；④若a%=ay,则％=y,正确的个数（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2022秋・湖南郴州•七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（）

A.如果％+2=y+2,则％=yB.如果％=y,则卷=《

C.如果TH%=zny,则％=yD.如果土=上，则％=y

mm

考点2：方程的解

例2.（1）（2022秋・湖北武汉•七年级校考期末）如果x=3是方程3K-2a=a-3的解，则a的值为.

（2）（（2022秋・湖北黄石•七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程圭久+4=2久+b的解为x=2,

那么关于y的一元一次方程六。+1）+4=2（y+1）+匕的解为y=.

例3.（1）（2022秋•山东青岛•八年级统考期末）若[j：??是二元一次方程口久+姐=—2的一个解，则3a—

26+2024的值为.

（2）（2021春・重庆渝中•七年级重庆市求精中学校校考期中）关于x,y的二元一次方程组虏无+?=：,

下列说法正确的是.

（7

X--

①当a=b=2时，方程组的解为《\.

9=—]

②当a=b=0时，方程组无解.

③当a4O时，b无论为何值，方程组均有解.

④当m一瓶寸，方程组有解.

例4.（1）（2023秋・重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a,b分别是方程3/一9x+5=0的两根,

贝！|。2-4a-b=.

（2）（2021秋・广东东莞•九年级东莞市华侨中学校考期中）已知x=0是关于x的一元二次方程（爪+l）x2+

x+m2—1=0的一个根，则m=（）

A.1B.-1C.1或一1D.无法确定

例5.（1）（2022秋•北京海淀•七年级清华附中校考期末）已知关于X的方程膜-白=-1的解大于1,则

实数m的取值范围是.

（2）（2022秋•湖南衡阳•八年级校考期中）已知关于x的分式方程二+,北6=2

（1）若方程的增根为久=1,求根的值；

⑵若方程无解，求小的值.

例6.（2022秋•北京海淀•七年级清华附中校考期末）已知关于久的分式方程2+=三.

%-3%-9%+3

（1）若这个方程的解是负数，求M的取值范围；

⑵若这个方程无解，则爪=.（直接写出答案）

知识点训练

1.（2022秋•北京东城•七年级东直门中学校考期末）关于x的方程a久=2的解是久=-2,则a的值为（）

A.1B.—1C.-D.

22

2.（2022秋・河北石家庄•七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程3血-2%+1=0的解

是％=2,则m的值是（）

A.2B.1C.-1D.-2

3.（2022秋•河北保定•八年级保定市第十七中学校考期末）若后二:是关于x、y的二元一次方程a%+2y=5

的解，则a的值是（）

A3C2〃3r2

A.-B.--C.--D.-

2323

4.（2022秋・吉林松原•九年级统考期中）方程第2一2%+1=0的一个实数根为m,则2022-血2+2瓶的值

是（）

A.2023B.2022C.2021D.2020

5.（2023秋•重庆渝中■八年级重庆巴蜀中学校考期末）已知x=1是一元二次方程2/一人久一3=0的根,

则k的值为（）

A.-1B.1C.2D.—2

6.（2。22秋糊北武汉,八年级校考期末）己知关于x的方程穿=1的解是负数，那么m的取值范围是（）

A.m>—4B.m<—4

C.m<—4且m。一8D.m>—4且mW—8

7.（2022秋・贵州黔南•八年级统考期末）若关于X的方程W=尹+1无解，则a的值为（）

x—1i—x

A.。或1B.0C.1D.一1或0

8.（2023秋・山东泰安•八年级校考期末）若关于x的分式方程*+普=2a无解，则。的值为（)

x—33—X

A.1B.1或日C.1D.以上都不是

9.（秋・湖南株洲•八年级校考期中）若关于X的分式方程。+8==有增根，则m的值为（）

2022x—1x—1

A.0B-IC.1D.4

10.（2022•重庆璧山•统考一模）已知的不等式组｛久8有且只有4个整数解，并且使得关于V的

分式方程。-券=2的解为整数，则满足条件的所有整数m的个数有（）

y—33—y

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.（2022秋•湖北恩施•八年级统考期末）分式方程3-々=0有解，则根的取值范围是（）

xx—1

A.m0B.mH1C.mW0或mW1D.m。0且m。1

12.（2023秋•吉林长春•七年级长春市实验中学校考期末）已知x=5是方程ax-8=20+a的解，则

CL—.

，为CL

13.（2022春•广东江门•七年级校联考期中）已知。二1是二元一次方程2x+y=4的一组解，则a的值是

14.（2022秋・全国•九年级期中）已知m为方程/+3X-2022=0的一个根，那么63+2爪2-2025m+

2022的值为.

15.（2021春•重庆南岸,八年级重庆市第十一中学校校考期中）若关于x的分式方程吟-产=1无解，则

x—33—x

m的值为.

16.（2023秋・江苏南通•八年级启东市长江中学校考期末）若关于X的分式方程二=1-白的解为非负数,

则m的取值范围是.

17.（2022春・江苏连云港•八年级统考期中）关于X的分式方程三=1有增根，则小的值为__________

x—1x—1

18.（2023秋・重庆•七年级西南大学附中校考期末）关于x,y的方程组?与=］有相

iax+by=—1（to+ay=—7

同的解，则a+4b-3的值为（）

A.-1B.-6C.-10D.-12

考点3：方程（组）的解法

例7.（2022秋•湖北武汉•七年级统考期末）解方程

（1）3%-2=1-2（x+1）

'/46

例8.（1）（2021春•重庆渝中•七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程久+?=

3x+4y=7@

过程中，下列变形不正确的是（

A.由①得％=三B.由①得y=5-2x

C.由②得乂=字D.由②得丫=乎

（2）（2022秋・广东佛山•八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）已知％、y满足方程组

则X+y的值为（）

A.-4C.-2

⑴（2。2】春.江苏南通.七年级校考期中）已知关于X,，的方程组黑此工;:的唯一解是则

。1(2血-4)+bn=J+%

关于m,"的方程组•r

a2(2m—4)+b2n=c2+b2

Cm=4

In=2

（4）（2022秋•广东广州•八年级统考期末）解方程组:

（2）（久+y=5

~13（尤一1）+2y=9

例9.（1）（2022秋•陕西汉中•九年级统考期末）用公式法解方程：4/+x—3=0.

（2）（2022秋•河北廊坊•九年级校考期末）嘉嘉解方程/+2x-3=0的过程如图14所示.

解方程：X2+2X-3=0

解：X2+2X=3.........第一步

（X+1）2=3.........第二步

石=6-1,x2=-V3-l…第三步

⑴在嘉嘉解方程过程中，是用（填"配方法""公式法"或"因式分解法"）来求解的；从第

步开始出现错误；

（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程.

例10.（2022秋・重庆合川•八年级校考期末）解分式方程：

(2)g|=1+____—

X2-10X+25

知识点训练

1.（2022秋•黑龙江绥化•六年级校考期中）解方程：9

y65

2.（2022秋・北京东城•七年级东直门中学校考期末）解方程：

⑴3（%—1）=5%+1；

,,2x4-1.2x-l

（2）==1--

3.（2022秋•黑龙江绥化•六年级校考期中）解方程：=

53lo

4.（2022秋・重庆北倍•七年级统考期末）匀2：=1，则等=（）

12Q—3D+c=0b

A.1B.2C.3D.4

5.（2。22春・河南濠河•七年级校考期末）若关于x,y的二元一次方程组偿:设二：的解是唐二，则

a^fjn—ri)+Z?I(TH+几)=q

关于m，n的二元一次方程组的解是（

a2(jn—n)+b2(m+n)=c2

1

2

6.（2022春•上海浦东新•八年级校考期中）小明在解方程组，，:y2…的过程中，以下说法错误的

/+抖+1)=1②

是（）

A.②一①可得y=2久—4,再用代入消元法解

B.令工=a,-=b,可用换元法将原方程组化为关于a、b的二元一次方程组

xy

C.由①得y=M，再代入②，可得一个关于X的分式方程，亦可求解

D.经检验：{；二「是方程组的一组解

7.（2023秋•重庆大渡口•八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于x,y的二元一次方程组

「彳I?的解适合久+丁=10,贝la的值为（）

（乙X十Dy-a

A.14B.12C.6D.-10

（■上=2

8.（2022春・福建龙岩•七年级统考期末）解方程组23~

14%—y=5

9.（2022春•湖南邵阳•七年级校考期中）对于有理数x,y定义新运算：x^y=ax+by+5,其中a,b为

常数.已知1*2=9,（-3）*3=2,那么1*3的值是多少？

10.（2022春•浙江杭州•七年级统考期末）若关于%,y的方程组产:一一2='I,解为

+y）—乃。一y）=。2

:二蓝荔.则关于％,y的方程组〈

V一NU4D

x—809x—4045'%=2022

.y=1y=2023

+3y=10

（秋•辽宁•八年级校考期末）解方程组:

11.2022J也=1

12.（2023秋•重庆•七年级西南大学附中校考期末）解方程（组）.

（l）6x-2（1-x）=9x-5（x+2）.

2%+3y_D

丁=

{3（2%+3y）-2y=6

13.（2022秋,湖南郴州,九年级校考期末）将一元二次方程d+4%-1=0化成形如（x+p）2=q的形式,

则p+q的值为（）

A.7B.3C.-5D.10

14.（2022秋•陕西榆林•九年级校考期末）把方程好一6久+2=0化成。-小尸=几的形式，则爪+n的值

是（）

A.-4B.4C.-10D.10

15.(2022秋•山东临沂•九年级统考期中)对于任意的实数羽代数式-/+4x-5的值是一个()

A.正数B.负数C.非负数D.无法确定

16.(2022秋•江苏苏州•九年级统考期中)用配方法解方程d-4%-1=0,配方后的方程是()

A.(久一2尸=3B.(x—2尸=5C.(%+2)2=3D.(x+2)2=5

17.(2022秋•黑龙江牡丹江•九年级统考期中)把方程/+6X-9=0化为(x+a/=b的形式，下列方程

中正确的是()

A.0—3)2=18B.0+3)2=18C.(比+3)2=15D.(x-3)2=15

18.(2022秋・湖南永州•九年级统考期中)用配方法解方程/-4x-3=0,配方后的方程是()

A.0-2)2=7B.(x+2)2=7c.(乂-2)2=1D.(x+2)2=1

19.(2022秋•全国•九年级期中)先阅读材料，再解决下列问题.

例如：用配方法求代数式d+4久+6的最小值.

原式=%2+4%+4+2=(%+2)2+2.

；(久+2)2>o,

当久=—2时，x2+4%+6有最小值是2.

根据上述所用方法，解决下列问题：

(1)求代数式d—6久+12的最小值；

(2)若y=—/+2x—3,当比=时，y有最_______值(填"大"或"小”)，这个值是；

⑶当a,b,c分别为△ABC的三边时，且满足。2+62+©2一6。—106—80+50=0时，判断△ABC的形

状并说明理由.

20.(2022秋•江苏无锡•九年级无锡市江南中学校考期中)用适当的方法解方程：

(l)3x2—x—0

(2)(x+1)2—9=0

⑶久2_2x_5=0

(4)x(x-3)=10

21.(2021秋■福建莆田•九年级校考期中)解方程：

(l)x2—6%—6=0

(2)2/—7x+6—0

22.(2022秋・河南信阳•九年级统考期中)用合适的方法解方程：

(1)(久一5尸=16.

(2)x2—2x—4=0.

⑶(y—1)2+2y(l-y)=0.

(4)2x2—7x+1=0.

23.（2022秋・天津红桥•九年级校考期末）解下列方程:

(l)x(x—3)+%-3=0；

(2)3/—5%+1=0.

24.（2022秋•天津河东•九年级校考期末）解方程

(I)%2—2%—6=0；

(2)。+4>=5(尤+4).

25.（2022秋•辽宁大连•九年级校考期末）解方程:

(l)x2—8x+1=0

(2)x(x-2)+x-2=0

26.（2022秋・北京东城・九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程2%2一4%+租=0配方，得

到(比+p)2=|

（1）写出完整的配方过程，并求常数m与p的值;

⑵求此方程的解.

27.（2022秋•河北唐山•八年级校考期末）已知关于x的方程x+^=a+工的两个解分别为a,则方程x+

Xaa

击=。+左的解是C

.a11r1

A.a,-------B.-7,a+1C.-,a+1D.a,-------

a+la+laa+l

28.（2022秋•河北石家庄•八年级石家庄市第四十中学校考期末）把分式方程-=-产=1化为整式方程正

x—22—x

确的是（）

A.1—(1—x)=1B.1+(1-%)=1

C.1—(1-%)=x—2D.1+(1—%)=%—2

29.（2022秋•湖北武汉•八年级校考期末）解方程:

21

(1)0=0+1;

(2)£-1=Q-2；a+3)-

30.（2022秋•湖北•八年级统考期末）解方程:

21

⑴布丁°

⑵*瑞=1

31.（2023秋・山东临沂•八年级知城县实验中学校考期末）解下列方程:

⑴卷=-

⑵G古4一%二+2T1

32.（2022秋•山东烟台•八年级统考期中）解方程:

X2—3%%2—2

(1)=+寸1

x+2

⑵一=0

x(x—1)

考点4：一元二次方程根的判别式

例11.（2022秋•河南新乡•九年级统考期中）已知：关于万的一元二次方程2尤2一3久+k=0有两个不相

等的实数根.

⑴求k的取值范围；

（2）当k取最大整数值时，求该方程的解.

知识点训练

1.（2022秋•陕西西安•九年级校考期末）若方程炉—2乂+瓶=0有两个相等的实数根，则m的值为（）

A.4B.2C.1D.0

2.（2022秋•辽宁鞍山•九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2—4x+l=0有两个实数根，则k的

取值范围是（）

A.fc<4B.k>-4C.kW4且kAOD.k