安徽省部分学校2025届高三年级上册8月联考数学试卷（含答案解析）

安徽省部分学校2025届高三上学期8月联考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z满足Z+2彳=3-后（i为虚数单位），贝ljz=（）.

A.1+V3iB.1-V3iC.-1+V3iD.-1-V3i

2.已知向量方=（2,1）,b=（m-2,m）,若则机=（）.

A.-4B.-2C.2D.4

3.在等比数列｛4｝中，若。2。3%3=8,则。4。8=（）.

A.2B.272C.4D.8

4.设0,6是两条不同的直线，户是两个不同的平面，若auc,6u6，a,则“。，尸”

是“"力”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.己知集合/=｛（x,y）|y=ln（M+l）｝,人"/犷+产=1],则中的元素个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

「•2兀・27兀/、

6.sin-----sin——().

1212

611

A.—B.-C.——D.--

2222

243

7.某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为一,且他们是否被录取互不

4

影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为().

102一7D.L

A.—B.—C.—

1331330

2

8.已知双曲线C:/-*=1（6>0）的左焦点为尸，过坐标原点。作C的一条渐近线的垂线

1,直线/与C交于4,3两点，若尸的面积为名目，则C的离心率为（）.

3

A.3B.V5C.2D.V3

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知椭圆C:/+4/=16的左、右焦点分别为耳，F2,P是C上的任意一点，则（）

的离心率为工

A.CB.附|+|尸阊=8

2

C.|尸用的最大值为4+2百D.使4尸片为直角的点尸有4个

10.若0<Q<6<1,则（）.

A.。+2y[b>b+2GB.cos。〉sin6

b

C.log的〉一D.\na-Inb<a-b

11.在四棱锥S-4BCD中，已知底面NBC。为梯形，AD=2AB=2BC=2CD=SD=2

NS=2后，则下列说法正确的是（）.

A.四边形/BCD的面积为28

4

B.棱S2的长度可能为2追

C.若切，/3,则点/到平面SAD的距离为1

D.若则四棱锥S-48CD外接球的半径为2

三、填空题

12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每

所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有

种.

13.已知函数/（x）=cos（ox+°）在区间-|,g上单调递增，且/CT=2,则

/（2）=.

14.在平面直角坐标系xOy中，M为曲线y上一点且位于第一象限，将线段。河绕x

X

轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值

为__________

四、解答题

15.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/BCD是边长为2的正方形，且平面尸4D_L平面

ABCD,PDYAD.

试卷第2页，共4页

(1)证明：8C_L平面PCO；

(2)若凡4=4,E为棱尸C的中点，求直线PC与平面4BE所成角的正弦值.

12cosR

16.在VN8C中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.已知/

sinC2smz+sinB

⑴求c；

(2)若3a+6=2c且。=3,求V48c的外接圆半径.

17.已知抛物线E：/=2px(p>0)的焦点为尸，过点/且互相垂直的两条动直线分别与£

交于点a8和点C,D,当|/B|=|CD|时，|/a=8.

(1)求£的方程；

网1

(2)设线段N8,CA的中点分别为N,若直线的斜率为正，且-=g，求直线

\FM\8

和CD的方程.

18.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的

影响也受到人们的质疑.为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大

学生，调查结果如下表所示：

对无人驾驶的态度支持中立反对

频数483216

用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独

立.为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对

者得1分.

(1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率.

(2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率.

(3)从该校任选〃名学生，其中得分为5的学生人数为X,若利用下面

所给的两个结论，求正整数〃的最小值.

试卷第3页，共4页

£-np

结论一：若随机变量则随机变量〃=近似服从正态分布N（O,1）；

结论二：若随机变量4~N（O,1）,则尸偌41.28）*0.9,P（吐1.65）*0.95.

19.已知函数/（无）=上-In产7.

⑴求f（x）的定义域；

⑵求/'（X）在区间（0,，上的零点个数；

（3）设左证明：（万+1）化2+1,化"+1卜

时.（「2_][_%2+]<XT[_2x_f

、•yX2+X-1J卜2_1）12+%_][Ix2+X-1J（x-l）^x2+X-1）

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ABCABDCBBCDAD

题号11

答案AC

1.A

【分析】根据共辗复数的概念，复数的加减法，复数相等的概念求解即可.

【详解】设2=%+.（%,”对,

因为z+25=3-V§i,

所以x+yi+2-yi）=3x-yi=3-V3i,

所以x=1,y=A/3,即z=1+代•.

故选：A

2.B

【分析】由向量共线的坐标表示可得.

【详解】3=（2,1）,3=（冽—2,加），

由不〃3可得2加=加一2,解得冽=-2.

故选：B.

3.C

【分析】根据等比数列的下标和性质运算求解即可.

【详解】因为数列｛%｝是等比数列，

贝Ua2a3al3=a3（%。13）=。3a9〃6=〃：=8,即％=2,

所以。4。8=d=4.

故选：C.

4.A

【分析】根据线面垂直的性质判断充分性，由线线垂直得线面关系的各种情况判断必要性即

可.

【详解】若。，尸，由bu/?可知：成立；

答案第1页，共14页

若0,力，可能〃或。与月相交，故不一定

所以“0，夕，是的充分不必要条件

故选：A

5.B

【分析】根据函数的奇偶性及数形结合判断交点个数得解.

【详解】由xeR且ln(|x|+l)=lnQ-x|+l)知，y=ln(|x|+1)为偶函数，故函数图象关于y轴

对称，

当x2O时，作出了=ln(x+l)与圆的图象，如图，

由图象知，当xNO时，有一个交点，

再由偶函数图象的对称性可知，当尤＜0时，也有一个交点.

综上，y=ln(|x|+l)图象与圆有两个交点，

所以ZcB中的元素个数为2个.

故选：B

6.D

【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.

【详解】由题意可得：

.2兀2兀兀

=sm------cos—=一cos-

12126

故选：D.

7.C

【分析】求出三人中恰有两人被录取的概率以及甲被录取时恰有两人被录取的概率，利用条

件概率公式求解.

【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件4民。，三人中恰有两人被录取为事件。，则

答案第2页，共14页

743

尸(/)=§，尸(2)=3,尸(Ch%，

——————143

P(D)=PQBCuABCuABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+

21324113

—X—x—+—X—X—=——,

35435430

____7

P(AD)=P(ABCuABC)=P(ABC)+P(ABC)=—

7

7

：.P[A\D\=*叫T

[1)尸⑷1313

30

故选：c.

8.B

【分析】根据题意可得/：x=-6y,联立方程解得M=,根据面积关系可得6=2,

即可得离心率.

【详解】由题意可知：a=l,c=47/=gF,则F(—C,0),

不妨取一条渐近线为＞=6x,则/:工=-力,

x=-by

2b

联立方程2V，解得M=

I'cyJb2-1，

由对称性可知：点。为线段48的中点,

则S4ABF=2sA=2x—XCx—[b='6

2c“2-13

即/:=~~~~，解得b=2,贝!j0=J1+/-旧,

\b—1$

所以C的离心率为e=£=火.

a

故选：B.

9.BCD

【分析】根据椭圆的标准方程求出凡Ac,由离心率定义判断A,由椭圆定义判断B,由椭

答案第3页，共14页

圆的几何性质判断C,根据以线段4月为直径的圆与椭圆交点个数判断D.

22

【详解】由原方程可得椭圆标准方程为二+匕=1,

164

a=4,b=2=>c=2^/3,；,e=—=—，故A错误；

a2

由椭圆定义可知|尸片|+|尸鸟|=2。=8,故B正确;

由椭圆的性质知|咫|„^=。+。=4+2月，故C正确；

易知以线段月入为直径的圆（因为6<c<。）与C有4个交点，故满足/耳尸鸟为直角的点尸

有4个，故D正确.

故选：BCD

10.AD

【分析】对于选项A：利用作差法分析判断即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据

对数函数单调性分判断；对于D：构建函数[（x）=lnx-x,xe（O,l）,利用导数判断其单调性,

结合单调性分析判断.

【详解】对于选项A：因为（0+2扬）一（6+2&）=（&+6-2）（右一班），

若0<a<b<1,则4a+y/b-2<0,y/a-Jh<0,

可得（°+26）_（6+26）=（夜+A/Z>j>0,

所以a+2/>b+2&i,故A正确；

对于选项B：例如：<。<方<1,贝I]cosa<cosq,sinb>sinC,

44242

即cosa<"<sinb,不合题意，故B错误；

2

对于选项C：因为则k）ga6〈10ga〃=l,—>1,

a

即iog$<i<2,故c错误；

a

11_

对于选项D：设/（x）=lnx-x,xe（O,l）,贝ij/（x）=±-l=—r>0,

XX

可知/（X）在（0,1）内单调递增，

若则/（。）</仅），即Ina-a<Inb-6,

所以Ina-lnbva-b,故D正确；

答案第4页，共14页

故选：AD.

II.AC

【分析】对于A：分析四边形的结构特征，即可得面积；对于B：根据题意可知点S

在以。为圆心，半径为2的圆。上，结合圆的性质可得SBe（-2人,+26卜即可判

断；对于C：可证AB1.平面Sa）,即可得结果；对于D：分析可知四棱锥S-N8CD外接

球即为三棱锥外接球，且三棱锥S-N8C外接球的球心即为/S的中点，即可得半

径.

可知NBCE,2cOE均为菱形，可得NB〃CE,BE//CD,

则/C_L8E,BZ）_LCE,即/C_LC£>,8£»_LN2,

旦AB=BC=CD=BE=CE=AE=DE=1,

即AABE,ABCE,ACDE均为正三角形,

所以四边形/BCD的面积为3x」xlxlx/=5层，故A正确；

224

对于选项B：由选项A可知：AC=BD=6,

因为/。=5£>=2,AS=2E，即/力=/。2+5。2,则/。，必,

可知点S在以。为圆心，半径为2的圆。上，且/D_L圆。，

因为8C〃/。，可知8CL圆。，延长8C交圆。子点尸，则。尸=9,w=

22

可得即e2-g,2+g],8尸=g,则SB=1SF、BF2e2区小+2司,

答案第5页，共14页

因为-26,J7+2占卜所以棱S3的长度不可能为28，故B错误;

对于选项CD：由选项A可知：BD1AB,

若5»_L4B,则SDn8D=。，瓦),S£>u平面S3。，则48_L平面S3。，

所以点N到平面S3。的距离为48=1,故C正确；

由选项AB可知：4民C,。均在以为直径的圆上，

则四棱锥S-ABCD外接球即为三棱锥S-ABC外接球，

因为平面SAD,SBu平面4BCZ),可知48_LS8,

且4D，50,可知三棱锥S-ABC外接球的球心即为NS的中点，

则三棱锥S-ABC外接球的半径R；AS=4i,故D错误；

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：对于D：求四棱锥的外接球，转化为三棱锥的外接球，并结合直角三

角形的性质分析求解.

12.18

【分析】由分步计数原理可得，先安排甲，再将其余3人分组分配即可.

【详解】完成这件事，可分为3个步骤：

第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有C；种方法；

第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有C；种

方法；

第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有A；种方法，

故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有C；C：A；=3x3x2=18种.

故答案为：18.

13.—/0.5

2

答案第6页，共14页

【分析】从/（：］-/［-1］=2=/（功网-/（力1nm入手，得/弓］=1与/=从而得

到周期，进而得0,再代入最值点求。，最后代入求〃2）即可.

【详解】由/(x)=cos(ox+9),f\x)=-cosin(+^),

且/（%）的最大值为1,最小值为-1,

由/［：］-/［-；］=2=/（1）1_一/（»皿11,

可知当且仅当=〃X）max=1且="X）mm=T时等式成立.

-24-

又函数/（无）=COS（0X+0）在区间上单调递增，

4?

故X=］与尤=-§为两条相邻的对称轴，

所以周期7=2=牝

从而=亨==，故@=±£,

11422

故/（x）=cos［±gx+夕］,f（2）=cos（±7i+夕）=-cose,

由/（£|=1代入解析式可得

=©"土g义e+。］=cos［±^|+9］T'

2兀2元

贝！］±?-+夕=2kn,kGZ,则夕=2析不3

故/（2）=-cos°=—cos（2左兀干年］=一cos1=

故答案为：7-

2

142兀，4e2+1

.4e2+l

【分析】求得，利用导数判断y=胆的单调性和最值，设“&,%）户。>1,结合圆锥的结

X

构特征可得圆心角C,分析可知若扇形的圆心角a取到最大值，即峥取到最大值，构建

函数/（切=竽（》>1），利用导数求其最值，即可得结果.

【详解】由题意可知：>=叱的定义域为（0,+8）,且了=匕坐，

XX

令V>0,解得0<x<e；令V<0,解得x>e；

答案第7页，共14页

可知：>=?在(O,e)内单调递增，在(e,+。)内单调递减,

且当x=e时，y=-,当％趋近于+8时，y趋近于0时，

e

4;；=—>0,解得x>l,

X

据此可得^=I吧nr的图象，如图所示：

由题意可知：圆锥的底面半径为外,母线长为百三,

lnx0

若扇形的圆心角«取到最大值，即用=%=Inx。取到最大值,

%0%0*0

设〃x)=9(x>l)，则/"(x)=三泻，

令/(%)>0，解得l<x(人；令/'(%)<0，解得%>八；

可知：“X)在(1,人)内单调递增，在(孤,+。)内单调递减，

则/(X)的最大值为/(&)=(,

答案第8页，共14页

2兀2兀54/+1

4e2+l

所以该扇形的圆心角的最大值为

2兀&+1

故答案为:

4e2+l

【点睛】关键点点睛：根据圆锥的结构特征可得,进而分析其最值即可.

15.（1）证明见详解

⑵理

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得尸。，平面48CD,进而可得尸。_LBC,CDVBC,

结合线面垂直的性质定理分析证明；

（2）建系标点，求平面/2E的法向量，利用空间向量求线面夹角.

【详解】（1）因为平面平面/BCD,PD±AD,

且平面PADc平面=PAu平面尸ND,

可得PO_L平面

由BCu平面48CD,则尸D_LBC,

因为48C。为正方形，则CDL3C,

且尸。cCD=Z）,PD,CZ）u平面尸C。，

所以8C_L平面尸CD

（2）由（1）可知：PD_L平面48cD,且A8CD为正方形，

以。为坐标原点，。/，。。，。尸分别为孤y/轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

由题意可得：留2,0,0）,3（2,2,0）（（0,2,叽仆0,0,叫，40,1㈡,

答案第9页，共14页

h-AE=-2x+y+抬z=0

设平面4BE的法向量为元=(x,y,z),则—

n-AB=2y=0

令x=#）,则y=0,z=2,可得行=（6,0,2）,

所以直线尸C与平面/BE所成角的正弦值为力.

7

16.（1）C=^

（2）—

3

【分析】（1）根据sin/=sin（B+C）结合三角恒等变换化简整理即可得结果;

（2）根据题意利用余弦定理可得c=7,进而利用正弦定理求外接圆半径.

12cosB

【详角军】（1）因为［---=---------；---,即2sin4+sin5=2sinCcosB,

sinC2sin/+sin5

且sinZ=sin（5+C）=sinBcosC+cos5sinC,

即2sinBcosC+2cosSsinC+sinS=2sinCcosfi，则2s25cosc+sin5=0,

且BE（0,兀），贝iJsinBwO,可得cosC=-;，

且Cc（O,兀），所以C=$.

9

（2）因为3a+b=2c且。=3,贝!jb=2c—9>0,可得c>—,

2

222

由余弦定理可得/=a+b_2abcosC,即c=9+（2c-9）-2x3（2c-9）x-

整理可得C2—10C+21=0,解得。=7或。=3（舍去），

„zc_7_7V3

所以V4BC的外接圆半径一2sinC一6一3.

2x——

17.（1）/=4x

(2)AB:x-2y-l=0,CD:2x+y-2=0

【分析〉1)设48:》=叩+1,相片0,/(%,“),2(%,%),联立方程，利用韦达定理结合弦

长公式可得|/同=2〃(1+，叫，分析可知m=1,|/4=8,代入运算即可；

答案第10页，共14页

⑵根据（1）结论可得：M（2m2+\,2m）,,利用弦长公式运算求解即可.

【详解】（1）由题意可知：尸［^，°｝直线NB的斜率存在且不为0，

此时直线/8、CD均与抛物线E相交，

AB:x=my+—,mw0,/（国,必］久积％）,则CD:x=y+—,

2m2

p

x=my-\——c.

联立方程2,消去x可得/-2,切-〃2=o,

y2=2px

2

则%+%=2pm,yi-y2=-p,

可得|/§|二y/l+m214P2nl之+4p2=2p（i+m2）,

若|/同二|。必，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为：，即加=1,

可得|4同=22(1+1)=42=8,解得P=2,

所以抛物线E的方程为y2=4x.

(2)由(1)可知：尸(1,0),AB:x=my+lCD:x=-—y+l

fmf

且乂+»2=4加，乂=T，

贝匹=2加，土产=2加2+1,即〃（2/+1,2加），

同理可得：N（--+1,］,

\mm）

由题意可知：m>0,

贝|JEM=J1+加212m-0|=2mJ1+加2,俨N|=I+_1r_2_0=2“+m-,

J\mmm

211+m2

因为I硒I_=1=1,解得〃?=2,

归M2myll+m2/8

答案第11页，共14页

贝(j/5:x=2y+l,CD:x=--^y+l,BPAB:x-2y-l=0,CD:2x+y-2=0,

11

18.(1)-

⑵二

772

(3)11

【分析】(1)根据表格由古典概型求解即可;

(2)列出得7分的互斥事件，根据相互独立事件乘法公式及互斥事件和的概率公式求解;

(3)由二项分布及正态分布的性质及所给结论建立不等式近".65即可得解.

2

【详解】(1)由题可知该校每名学生得1分的概率为得3分的概率为:，得5分的概率

63

为j

故从该校任选2名学生得分不相同的概率为1-3-2.

632lo

(2)因为7=5+1+1=3+3+1.

所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为C；xL+C；xxL二.

216J(3J672

X—72c“

(3)易知丫~53，3”22X-n

'设:=飞~

根据结论一，知y~N(o,i).

再根据结论二，知尸(—1.65<Y<1.65卜2x0.95-1=0.9.

/9,

所以近21.65,解得"210.89,

2

所以正整数〃的最小值为11.

1+।.,1IIA\

19.(1)-oo,------U-1,——U(L+0°)

(2)1

⑶证明见解析

【分析】(1)根据解析式有意义建立不等式，由数轴穿根法可得解;

答案第12页，共14页

(2)利用导数求出函数的单调性由单调性结合函数值符号及零点存在定理得解;

(3)原不等式可转化为ln(/+l)+ln(〃+l)+...+ln(-+l)再由x>l时,

k2+k-\

lnx<x-l及等比数列求和公式转化为『(一"’)<£,构造函数

\-k\-k

g(x)=E-lnJ7利用导数即可得证.

、71-xx2+x-l

2-1

【详解】(1)由题意知1—XWO且V;^-〉0,

X+x—1

x2-1=0有两个实根为x=±l,x2+x-l=0有两个实根为X=二"#

2

所以由^^>0可得或或尤

x2+x-122

所以〃x)的定义域为(-汉-上乎卜*

\7\7

(2)由题意知/'(x)=J¥x2+1x(3x-l)

(I)(X2+X—1)(X-1)2(x+l)(%2+n_])

因为当卜寸，x2+x-l<0,

所以当xe(0,J时,Ax)>0,当xe],£|