2023-2024学年山东省聊城市东阿县、临清市七年级（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省聊城市东阿县、临清市七年级（下）期中数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如果一个角的补角是60。，那么这个角的度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.已知方程3x-4y=6,用含y的式子表示％为（）

A6—4y6+4y厂6—3x「6+3x

A.x=B.x=C.y=—7—D.y=——

3344

3.下列运算正确的是（）

A.a2-a5—a10B.（—cz2）3=—a6C.a3-=r2a—2a2D.x3+x3—x6

4.下列说法正确的是（）

A.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

B.锐角的补角一定是钝角

C.两直线被第三条直线所截，同位角相等

D.在同一平面内，如果R13,b1c,则a1c

5.用加减法解方程组外久—二下列解法正确的是（）

A.①X3+②x2消去xB.①x3-②x2消去y

C.①X2+②x3消去yD.①X2+②x3消去x

6.将一副三角板（含30。、45。、60。）按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为（）

A.75°B.60°C.105°D.95°

7.若关于无，y的二元一次方程组2方的解满足x-y=l,则k的值是（）

A.1B.2C.3D.4

8.凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束

经过光心。的光线交于点P,点F为焦点，若41=30。，Z2=55°,贝亚ABP的度数是（）

A.150°B.155°C.160°D.165°

9.如图，长方形4BCD中，点E,F分别在边AB,BC上，连接DF,E凡将NC沿

DF折叠，点C落在点G处；将NB沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点口处.

若LBFE=19。59',贝UNCFD的度数是（）

A.70°1'B.70°41'C.71°1,D.71°41,

10.图1,点40,B依次在直线MN上，现将射线。力绕点。沿顺时针方向以每秒2。的速度旋转；同时射线

。8绕点。沿逆时针方向以每秒4。的速度旋转.如图2,设旋转时间为t秒（0<t<90）.下列说法正确的是（）

MAOBN

图1图2

A.整个运动过程中，不存在=90。的情况

B.当N40B=60。时，两射线的旋转时间t一定为20秒

C.当t值为36秒时，射线OB恰好平分NM04

D.旋转过程中，使射线OB是由射线OM,OA,ON中的其中两条组成的角（指大于0。而不超过180。的角）的

平分线，这样的t值有两个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.已知二元一次方程x+2y=7,请写出该方程的一组正整数解.

12.如图1,为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线），如

图2,电池板4B与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使需将电池板CD逆时针旋转a度，a=

.(0<cr<90)

13.如果(5-a)(6+a)=12,那么一2层-2a+8的值为.

14.根据仙东省沿黄生态廊道保护建设规划(2023-2030年/要求，某市将打造集生态屏障、文化弘

扬、休闲观光、生态农业于一体的复合型沿黄生态廊道，贯通近岸绿带.一块面积为180亩的荒地，计划甲

队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成.已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12

亩，设原计划甲工程队需绿化万天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为：.

15.若Na与N0的两边分别平行，且Na=(2x+10)。，/£=(3比—20)。，则Na的度数为.

16.如图，在N408内部顺次有一组射线。Pi，OP2,OPn,满足NAOPi=pP2P3P,p

"OP?="P】OB,乙P20P3=；£PzOB,…，乙P“TO"1=\；；/

击NPn-iOB.若乙4。8=a,贝吐6OB=.(用含n,a的代数式表示)\\1///

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

17.(1)一个角的余角与这个角的补角的和比平角的,多1。，求这个角的度数.

(2)已知5m=2,5"=3,求536-2%

四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题8分)

按要求解答：

(1)计算：(一2a2尸+2。2•a。—a8+a?

1

(2)先化间后求值：(2-a)(2+a)—2a(a+3)+3a2,其中a=-

19.(本小题8分)

解方程组

⑴[2x+y=3①

kJ[3x-5y=11②

(2)|32°

、2y-(2%-3)=-1(2)

20.(本小题9分)

如图，点。是直线4B上的一点，^AOE=Z.FOD=90°,OB^^COD.

⑴试说明乙4。尸=4EOD；

(2)求NEOC+NA。尸的度数.

21.(本小题8分)

黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了

1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去

55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？

22.(本小题9分)

如图，NE=Nl,N3+AABC=180°,BE是乙4BC的角平分线.

求证：DF//AB.

23.(本小题10分)

我们把关于x、y的两个二元一次方程％+ky=b与kx+y=b(k丰1)叫作互为共轨二元一次方程；二元一

次方程组心:二:，叫做共初二元一次方程组.

(1)若关于％、V的方程组3,为共相方程组，则。=,b=；

(2)若二元一次方程％+ky=匕中％、y的值满足下列表格:

X10

y02

则这个方程的共辗二元一次方程是；

(3)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)：

；的解为______；44的解为______-

(zx+y=31—%+2y=4

(为发现：若共物方程组修；，；二:的解是:猜想小、ri之间的数量关系，并说明理由.

24.(本小题12分)

问题情境：

在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线MN,PQ和一块含45。角的直角三角尺2BC”为主题

展开数学活动.

探究发现：

如图1,小明把三角尺中45。角的顶点B放在PQ上，边力B,AC与MN分别交于点D,E.

(1)若N1=70°,求42的度数；

(2)如图2,请你探究Na与4夕之间的数量关系，并说明理由；

延伸拓展：

(3)如图3,当CA的延长线与MN交于点E时，Na=112。，求N0的度数.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：，.,一■个角的补角是60。，

・•.这个角的度数是180。-60°=120°,

故选：D.

根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可.

本题主要考查了求一个角补角的度数，关键是角的计算的应用.

2.【答案】B

【解析】解：方程3x—4y=6,

3x=6+4y,

所以：乂=空.

故选：B.

把y看作已知数求出无即可.

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数.

3.【答案】B

【解析】解：力、a2-a5=a7,原式计算错误，不符合题意；

B、(-a2)3=-a6,原式计算正确，符合题意；

C、a3^2a=la2,原式计算错误，不符合题意；

D、x3+x3=2x3,原式计算错误，不符合题意；

故选：B.

根据同底数幕乘法，幕的乘方、单项式的除法和合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答.

本题主要考查了同底数累乘法，幕的乘方、单项式的除法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关

键.

4.【答案】B

【解析】解：4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题

忌；

8、锐角的补角一定是钝角，原说法正确，符合题意；

C、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；

D、在同一平面内，如果日13,b1c,贝!Ja〃c,原说法错误，不符合题意；

故选：B.

根据点到直线的距离的定义可判断出根据度数之和为180度两个角互补即可判断B；根据平行线的性质与

判定定理即可判断C、D.

本题主要考查了平面向量，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线，点到直线的距离，同位角、内错角、同

旁内角，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小.

5.【答案】B

【解析】解：用加减法解方程组f久-3、=4©,

[3x+2y=-2@

①x3-②x2,消去x,

故选:B.

根据加减消元法求解方法判断即可.

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

6.【答案】A

•••ZXBC+60°+45°=180°,

.­./.ABC=75°,

•••直尺的上下两边平行，

zl=AABC=75°.

故选：A.

由平角等于180。结合三角板各角的度数，可求出乙4BC的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平

行，同位角相等”可得出41的度数.

本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解」：+2，=；1

[4%-y=5k②

②—①得：3x—3y=3k,

：.x—y=k,

---x—y=1,

k=1.

故选：A.

利用方程②减去方程①，得到久-y=k,再利用整体代入法求解即可.

本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：；Z1=30°,

Z1=LPOF=30°,

•••Z2>AOPF的一个外角，

•••4OFP=Z2-Z.POF=25°,

•••AB//OF,

：.N4BF=180°-NOFP=155°,

故选：B.

先利用对顶角相等可得Nl=NPOF=30°,再利用三角形的外角性质可得NOFP=25°,然后利用平行线的

性质可得乙4BF=155°,即可解答.

本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：由折叠得到：乙BFE=4HFE,乙CFD=4GFD,

又•••乙BFE+乙HFE+Z.CFD+乙GFD=180°,

ABFE+/.CFD=90°,

•••乙BFE=19°59',

.­./.CFD=90°-19°59,=70°1,.

故选：A.

根据折叠定义得到NBFE=/.HFE,/.CFD=4GFD,然后根据平角定义推出N8FE+乙CFD=90°,最后根

据ABFE的度数即可求出NCFD的度数.

本题主要考查角的计算，深入理解折叠的意义是解决问题的关键.

10.【答案】C

【解析】解:由题意知NMOA=2t°,ANOA=180°-2t°；当0WtW45时，乙NOB=4t°；当45<t<90

时，^NOB=360°-4t°；

令NAOB=乙NOA-乙NOB=90°,即180°-2t°-4t°=90°,

解得t=15,

存在N40B=90。的情况；

故A错误，不符合题意；

令NAOB=乙NOA-乙NOB=60°,即180°-2尸-4尸=60°,

解得t=20,

令乙AOB=4NOB-ANOA=60°,EP4t°一(180°-2t°)=60°,

解得t=40,

;当乙4OB=60。时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；

故B错误，不符合题意；

当t=36时，^MOA=72°,4NOA=108°,乙NOB=144°,

•••乙40B=4NOB-乙NOA=144°-108°=36°,

1

^AOB=*M04,

••・射线。8恰好平分NMCM,

故C正确，符合题意；

当。B平分NMON时，4t=90或4t=180+90,

解得t=22.5或t=67.5,

再由t=36时射线。B恰好平分NM04故。说法错误，不符合题意，

故选：C.

由题意知乙MOA=2t。，/LNOA=180°-2t°；当0W1W45时，4NOB=4t°；当45<tW90时，4NOB=

360°-4t°；令乙4OB=4NOA-乙NOB=90°,计算求解可判断选项A的正误；令U0B=4NOA-

乙NOB=60°,/-AOB=lNOB-乙NOA=60°,计算求解可判断选项B的正误；将t=36代入，求出

Z.MOA,乙NOA,ZNOB的值，然后根据/4。8=NNOB—/N04求解/4。8的值，根据/20B与NMCM的关

系判断选项C的正误；根据。8平分MONt的值有2个，结合C选项的求解过程即可判断D.

本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，关键是掌握角的和差计算.

11.【答案】［:卜答案不唯一)

【解析】解：x+2y=7,

当x=1,y=3,

••・方程x+2y=7的解为：

1;二卜答案不唯一）；

故答案为：｛;二：（答案不唯一）.

根据二元一次方程的解的定义即可写出一组正整数解.

本题考查二元一次方程的解，掌握代入法是关键.

12.【答案】20

【解析】解：•••48与太阳光线互相垂直，如图2,

•••LFEB=90°-62°=28°,

当2B〃CD时，4GFD=乙FEB=28°,

•••需将电池板CD逆时针旋转48。-28。=20°,

故答案为：20.

水平线

（图2）

先根据4B与太阳光线互相垂直，得出NFE8=28°,再根据平行线的性质可得当AB〃C。时，/.GFD=

LFEB,即可得出结论.

本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等.

13.【答案】—28

【解析】解：•••（5—a）（6+a）=12,

30—6a+5cz-a2=12,

**•-a?—a=-18,

—2a2—2a+8=2（—a2—a）+8=-18X24-8=-28,

故答案为：-28.

先根据多项式乘多项式的计算法则求出一a?-a=-18,再根据一2a2-2a+8=2（-a2-a）+8进行求解

即可.

本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，关键是能通过变形进行整体代入计算.

14.【答案】180

【解析】解：设原计划甲工程队需绿化X天，乙工程队需绿化y天，

由题意得：葭北7180，

故答案为：露浸180.

设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，根据一块面积为180亩的荒地，两队共用20天完

成.列出二元一次方程组即可.

本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的

关键.

15.【答案】70。或86。

【解析】解：因为4a与N0的两边分别平行，

有如下两种情况：

①Na=N0,

即2久+10=3%—20,

解得x=30,

Na=(2x30+10)°=70°,

②Na+“=180°,

即2%+10+3万-20=180,

解得工=38,

"=(2X38+10)°=86°,

综上所述，Na的度数为70。或86。.

故答案为：70。或86。.

根据两边互相平行的两个角相等或互补分两种情况列出方程求出》,然后求解即可.

本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况考虑.

16.【答案】

【解析】解：Z-AOB=a,

1

-a

・•・^AOP1=^AOB2

11

••・乙P]OB=a--a=-a,

111

•••Z-P1OP2=-Z-PrOB=-x-a,

1111

----

••・Z,P2OB=2323

111

---

•••乙P20P3=443

1111

----

•••Z-P3OB=3434

1ii

•••乙P30P4=-Z-P3OB=-x-cr?

ncn1111

Z-PAOB=~TC>C——X—OC=(

44545—Xi

…，

J”=备

故答案为：士

n+1

ii11i11

根据“OB=a,得出乙40尸1=为，求出乙PiOB二仇一%=匆，A.P2OB=^a-^x^a=

Jct,乙P3OB=：a—=Ja,乙P4OB=：a—=：a,得出一'般规律即可.

30343444545

本题主要考查了图形规律探索，角的计算，解题的关键是根据已知条件，找出规律.

17.【答案】解：(1)设这个角为乃

根据题意得：90°-%+180°-%=180°x+1°，

4

解得：x=67°,

则这个角的度数为67。；

(2)5m=2,5』3,

.•.原式=(5m)3+(5n)2=1.

【解析】(1)设这个角为x,根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；

(2)原式利用幕的乘方及同底数募的除法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值.

此题考查了同底数累的除法，以及累的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.【答案】解：(1)(—2a2)3+2a2-a4—a84-a2

66

=-8a+2a6—a

=_7q6；

(2)(2—a)(2+CL)—2a(a+3)+3a2

=4-a2—2a2—6a+3a2

—4—6a,

当a=—,时，原式=4—6x(―=4+2=6.

【解析】(1)先计算积的乘方，同底数哥乘除法，再合并同类项即可；

(2)先根据平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即

可.

本题主要考查了整式的混合运算一化简求值，关键是熟练掌握整式的运算法则.

19•【答案】解：理二丁邓②，

①X5+②，得13久=26,

解得x=2,

把久=2代入①，得y=-1,

故原方程组的解为c二

(2)32」,

(2y-(2x-3)=-1@

由CD得，2%—3y——2(3),

由②，得一2%+2y=-4④，

③+④，得-y=-6,

解得y=6,

把y=6代入④，得—2%=-16,

解得％=8,

故原方程组的解为忙=

【解析】(1)用①x5+②，可消去未知数y,求出未知数x,再把X的值代入①求出y即可；

(2)方程组整理后，利用加减消元法求解即可.

本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键.

20.【答案】⑴证明：•••N40E=NF。。，

Z.AOF+乙EOF=Z.EOD+乙EOF,

/-AOF=/.EOD；

(2)解：•••OB平分NCOD,

/-BOC=/-DOB,

•••AAOE=90°,

・•・(BOE=90°,

・•・乙BOD+乙DOE=乙EOF+乙DOE=90°,

・•・乙BOD=乙EOF,

Z-BOC=乙EOF,

Z.EOC=Z-EOB+Z-BOC,

•••Z.EOC=Z.EOB+乙EOF,

・•・Z-EOC+Z.AOF=乙EOB+乙EOF+Z-AOF,

=Z.EOB+AAOE=90°+90°=180°.

【解析】(1)由乙4OE=NF。。，得至！J乙40F+2E。9=4EOD+NEOF,即可证明；

(2)由角平分线定义，余角的性质，即可求解.

本题考查角平分线定义，余角的性质，关键是应用角平分线定义，余角的性质得出有关的等式.

21.【答案】解：设平路为久千米，坡路为y千米，根据题意得：

牌…

营+八生’

(91260

解得：1;二以

则％+y=6+3=9(千米).

答：从出发点到香山的路程是9千米.

【解析】设平路为无千米，坡路为y千米，根据往返的用时不同可得到两个关于％、y的方程，求方程组的解

即可，然后求小y的和即得从出发点到香山的路程.

本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方

程求解.

22.【答案】证明：•・•BE是乙48c的角平分线，

•••zl=Z2,

•・•Z-E=zl,

Z-E=Z.2,

AE//BC,

・•・/.ABC+=180°,

•・•Z3+/.ABC=180°,

•••Z3=Z-A,

・•.DF//AB.

【解析】求出NE=N2,推出得出乙4BC+乙4=180。，推出乙3=乙4,根据平行线的判定推出

即可.

本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.

23.【答案…生+尸邛二比二

【解析】解：(1)由定义可得：1一。=2,b+2=3,

•••a=-1,b=1,

故答案为：-1,1.

(2)将％=1,y=0和汽=0,y=2分别代入％+ky=b,得：

解得：

12k=b[K=-

二二元一次方程为：%+1y=1,

1

X+y1

.••共胡二元一次方程为:2--

1

%+y1

故答案为:2--

⑶解方程组管;二;

①x2-②得:3y=3,

•••y=1，

将y=1代入①得，x+2=3,

•,•%=1,

•••方程组的解为：I;二；

解方程组户7=4®

[-X+2y=4②

⑤X2+⑥得：3%=12,

%=4,

将％=4代入⑤得：8-y=4,

•••y=4，

•••方程组的解为：