高考数学一轮复习：不等式【导学案】

第七章不等式

第一节不等式的性质及一元二次不等式

课程标准

1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.

2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.

3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.

「，基础扎牢基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

1.比较两个实数大小的方法

方法

关系

作差法作商法

a>ba-b>0齐1（Q,>>0）或齐1（%6<0）

a=ba—b=O彳=1（注0）

a<ba—b<0缶1（%>>0）或41（a，b<0）

2.不等式的性质

性质性质内容注意

对称性a>b0b<a；a<b^b>a可逆

传递性a>b9b>c=^a>Cja<b9b<c=^a<c同向

可加性a>b0a+c>b+c可逆

可乘性a>b,c>O^ac>bc；a>b,c<O=^ac<bcC的符号

同向

a>b,0a+c>b+d同向

可加性

同向同正

a>b>Ofc>d>O^ac>bd同向同正

可乘性

可乘方性a>b>0,n£同正

可开方性a>b>0,n^2^y[a>y[b同正

3.一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系

判别式

/>0/=0J<0

A=b2~4ac

二次函数y=ax2+bx

4£

+c(〃>0)的图象O/*2X

4%I=%2XL

有两个相等实根治=

一元二次方程ax2+有两个相异实根X1,

b没有实数根

Bx+c=0(a>0)的根X2(X1<X2)物一五

续表

判别式/=从一4acJ>04=0J<0

一元二次不等式ax2+

{XIXVXL或R

》x+c>0(a>0)的解集{"-副

一元二次不等式ax2+

VxVxz}00

8x+c<0(a>0)的解集

澄清微点•熟记结论

⑴倒数性质

①a>b,aZ»>0=>^<|；②a<0<bO：</；

③Q>8>0,0VcVd=">/；

®^<a<x<b或aVxW°今春<!<5・

⑵两个重要不等式

若a>6>0,m>0,贝U:

b+mbb-m

®-<—->------3一切>0);

aa+maa-nr

/aa-rmaa-m

斯>而？广西>o)-

(3)一元二次不等式恒成立问题

2

①不等式ax+bx+c>Q(a^0)fx£R恒成立台a>0且』vO;

2

②不等式ax+bx+c<0(a^0)fx£R恒成立台avO且4v0;

③若〃可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形.

(4)简单分式不等式

兀r)g(x)》O,

川台钝

[g(x)WO;>0Ax)g(x)>0.

⑸对于不等式ax2+Bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形.

⑹当/<0时，不等式ax2+w；+c>0(aW0)的解集为R还是。，要注意区别.

［练小题巩固基础］

一、准确理解概念(判断正误)

(1)两个实数“，6之间，有且只有a>b,a=b,三种关系中的一种.()

(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变.()

(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小.()

(4)若不等式M+Ax+cvO的解集为(xi,X2),则必有a>0.()

(5)若方程ax2+/»x+c=0(aW0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)J(5)X

二、练牢教材小题

1.(人教A版必修⑤P75B组Ti改编)设A=(x—3)2,B=(x-2)(x-4),则4与3的大小

关系为()

A.A^B=B..A>B

C.A^BD..A<B

解析：选B因为A—5=(*2—6x+9)—(7—6x+8)=l>0,所以A>5.故选B.

2.(新人教A版必修①P42例2改编)若a>Z»>0,cVdVO,则一定有()

abab

A.—ca>0B.—c^a<0

bna

C.a3>-cD.a3<-c

答案：D

3.(新湘教版必修①P54例6改编)已知不等式％2+"+》<0的解集为(-3,-1),则实

数。=,b=.

答案：43

三、练清易错易混

1.(乘法运算忽视符号)已知实数aG(—3,1),J,贝哈的取值范围是()

A.(-12,8)B.(—24,8)C.(—24,4)D.(-12,4)

解析：选B当一3<aW0时，！e(-24,0］;当0<“<1时，^G(0,8).综上可知(—24,8).

2.(忽视二次项的符号)不等式(x-2)(3-2x)20的解集为.

33

解析：由（*一2）（3一2幻》0得住一2）（2X-3）《0,解得54丫<2,故不等式的解集为后，2

答案：修「321

3.（忽视对含参二次项系数的讨论）若不等式《1*2+2m*—4<2X2+4丫对任意x都成立，

则实数，〃的取值范围是.

解析：原不等式可整理为（2—而谭+（4—2,"）x+4>0.当机=2时，不等式为4>0,该不等

2—m>0,

式恒成立；当》iW2时，必须满足"{解得一2<机<2.综上知实数机

（4—2m）2—4X4（2—/w）<0,

的取值范围是（一2,2].

答案：（-2,2]

1考法研透--方向不对，努力白费

命题视角一不等式的性质及应用（自主练通）

1.若宗兴。，给出下列不等式：①^匕</；②团+8>0；③a—，一点④Ina2>lnb2.

其中正确的不等式是（）

A.①④B.②③C.①③D..②④

解析：选C因为:<：<0,故可取a=—1,%=—2.显然|a|+Z>=l—2=—1<0,所以②错

误；因为lna2=in（—1）2=0,InZ>2=ln（-2）2=ln4>0,所以④错误.综上所述，可排除A、

B、D.

2.已知实数a,b,c满足cvka且acvO,则下列不等式不一定成立的是（）

A.ab>acB..c（Z>—a）>0

C.ac（〃—c）vOD..cb2<ab2

解析：选D因为cv^va且QCVO,所以cvO,a>0,所以ab>ac,故A一定成立；又力

—a<0,所以c（8—a）>0,故B—^定成立；又a—c>0,ac<0,所以ac（a—c）vO,故C一^定成

立；当方=0时，仍2=时2,当方wo时，有必2V曲2,故D不一定成立.

3.已知实数a,b,c满足8+c=6—4a+3a2,c—8=4—4〃+层，则a,b,c的大小关

系是（）

A.c^b>aB..a>c^b

C.c>b>aD..a>c>b

解析：选AVc—Z>=4—4a+a2=(a—2)2^0,工。2瓦又力+c=6—4。+3',/.2b=2

+2a2,J.b=a2+1,.\b—a=a2—a+l=(a—+:>0,b>a,:.c?b>a.

4.若l<a<3,-4</?<2,则a—网的取值范围是.

解析：V-4<fi<2,.,.0WWI<4,A-4<-1^|^0./.~3<a~|/?|<3.

答案:(-3,3)

［一“点”就过］

1.比较两个数(式)大小的2种方法

T判断差与0的大了}-u

变

法—［作商法］—形T判断商与1的大小p|论

2.谨记2个注意点

(1)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用

特殊值验证的方法.

(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会

导致范围扩大.

命题视角二一元二次不等式的解法

［典例］⑴不等式2x+3—*2>0的解集是()

A.{x|—l<x<3}B..{x|x>3或x<—1}

C.{x|—3<x<l}D..{x|x>l或x<—3}

(2)已知常数aGR,解关于x的不等式12x2—ax>层.

［解析］⑴选A原不等式变形为*2—2丫-3<0,

即(x—3)(x+l)<0,解得一l<x<3.故选A.

(2)由题意，得12X2—ax-42>0,即(4x+a)(3x—4)>0.令(4x+a)(3x—a)=0,解得xi=—/

X2=g.①当a>0时，解集为''1或；②当«=0时，x2>0,解集为

：工GGR且1/。：；③当«<0时，解集为Y或»一"

等式的解集为J।*<一：或工〉,；当”=0时，不等式的解集为出工CR且工40>；当“<0

(工1r<0或x>——\

时，不等式的解集为3双1C

［方法技巧］

1.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一

次不等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式/与0的关系.

(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，

从而确定解集形式.

2.“三个二次”之间的关系

若方程ax2+6x+c=0(aWO)的两根是xi,必，则打，M是不等式ax2+6x+c>0(或ax?

+加;+c<0）解集的端点，也是函数7=°工2+加;+c的图象与x轴交点的横坐标.

[针对训练]

1.若不等式依2+公+°>0的解集为{x|—lv%v2},那么不等式0("2+1)+仇工一i)+c>2ax

的解集为()

A.{x|—2<x<l}B..{x|xv—2或x>l}

C.{x|0<x<3}D..{x|xvO或x>3}

22

解析：选C由题意a(x+l)+b(x—l)+c>2axf整理得ax+(b—2a)x+(a+c—b)>09

①又不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|—lvx<2},则a<0,且一1,2分别为方程ax2+bx+c

=0的两根，由根与系数的关系，得1即1②将①两边同

尸）X2于，枭-2.

除以a得好+住一2）x+［l+。一£）v0,将②代入得好一3x〈0,解得0vx<3,故选C.

\C<-J、LC1

2.不等式0。2r-2<4的解集为.

解析：原不等式等价于

X2-X-2>0,[x2-X-2>0,

,即’一

X2—X—2^4,1%2—x—6<0,

f(x—2)(x+l)>0,pr>2或xv—1,

即解得

[(X—3)(x+2)^0,〔一2WxW3.

故原不等式的解集为｛x|—2<xv—1或2Vx<3｝.

答案：［—2,-1）U（2,3］

3.已知实数a满足不等式一3vav3,求关于x的不等式（工一〃）（x+l）>0的解集.

解：方程（X—〃）（x+l）=O的两根为一1,a.①当av—1,即一3vav—1时，原不等式的解

集为｛x|xva或x>-1｝;②当Q=-1时，原不等式的解集为｛x|x£R且xW-1｝;③当a>一1,

即一lv〃v3时，原不等式的解集为｛x|xv-1或x>a｝,综上所述，当一3<a<—1时，原不等式

的解集为｛x|xva或x>—1｝;当Q=-1时，原不等式的解集为｛x|x£R且xW-1｝;当一lv〃v3

时，原不等式的解集为｛x|xv-1或x>a］.

命题视角三一元二次不等式恒（能）成立问题

考法（一）一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题

［例1］若不等式2h2+区一京0对一切实数b都成立，则上的取值范围为

O

3

［解析］当左=0时，显然成立；当上W0时，即一元二次不等式2区2+质一石<0对一切

O

%vO,

实数x都成立，贝।卜（3、解得-3vk0.综上，满足不等式2布2+丘一

/=/-4X2AX（-^）VO,

3

e<0对一切实数x都成立的k的取值范围是（一3,0］.

O

［答案］（-3,0］

［方法技巧］一元二次不等式在R上恒成立的条件

不等式类型恒成立条件

ax2+6x+c>0Q>0,J<0

ax2+ftx+c^0a>0,4WO

ax2+bx+c<0a<0,J<0

ax2+6x+c^0a<0,/WO

考法（二）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题

［例2］设函数式好二机炉一机工一1（机#0）,若对于xG［l,3］,zn+5恒成立，则小

的取值范围是.

［解析］人©<一m+5即机炉一机丫+机一6<0,故机g—^^+日机-6<0在xG［1,3］上恒成

立.因为好一了+1=@一32+；>0,且机（*2—x+1）—6<0,所以•因为函数丁=

—^在［1,3］上的最小值为所以只需小即可.又加W0,所以机的取值

+4

范围是（一8,0）"0,力

［答案］（一8,O）u（o,.

［方法技巧］

在给定区间上的恒成立问题的求解方法

（1）若夫x）>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式式©>0的解集的子集，可以先求解

集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）.

（2）转化为函数值域问题，即：已知函数/（X）的值域为［瓶,〃］,则7（X）2。恒成立=V（X）minN。，

即m^a;f（x）^：a恒成立和/（x）maxWa,即n&a.

考法（三）不等式能成立或有解问题

［例3］设若关于X的不等式炉一QX+120在区间［1,2］上有解，贝!!（）

A.aw2=B..心2C.心1D.

[解析],关于x的不等式*2—ax+l》o在区间[1,2]上有解，.•.aWx+q在xG[l,2]上有

解徐旧1,2],•.•函数y=x+1在[1,2]上单调递增，.V/WmaxMl，•••"4

[答案]D

[方法技巧]

解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即。>/（工）能成立今。

a能成立今aW/（x）max.

[针对训练]

1.已知关于X的不等式*2—/一l）x—«+1'0对任意实数X都成立，则实数左的取值

范围是（）

A.（-8,-3]U[1,+oo）B.[-1,3]

C.（一8,1]U[3,+oo）D.[-3,1]

解析：选D关于x的不等式/一他一l）x—左+l20对任意实数x都成立，则/=（左一

1）2+4（*-1）^0,解得一故选D.

2.设“为实数，若函数八工）=炉一〃a+2在区间（一8,2）上是减函数，对任意的处，

必£〕1'5+1]总有则帆的取值范围为（）

A.[4,6]=B..（4,6）C.（4,6]D..[4,6）

yn

解析：选A函数式工）=》2一如+2的对称轴为x=7,由其在区间（一8,2）上是减函数，

可得今22,."》4..・慧£[1,y+1Xy+1—1,xi,x2e1,y+1时J(x)max

乙/1-4」

()

=f(l)=3—m,1A》加11=八力=一彳+2.由\/*1,x2e|_l,5+1,总有l/UD—/X2|W4,/.

，(一拳)

1/(X1)-/(X2)|maxW4,(3-/n)-+2W4,

•♦/(©max—1AX)minW4,即机2—4机一12W0,

解得一.综上，4W机W6,故选A.

1思维激活-灵活不足•难得高分

一题多变•练发散思维——“糖水不等式”的应用

（新湘数版兴修①P33典例）ag糖水中含有bg糖，若再添加mg糖（其中a>b>0,m

>0）,生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼

出一个不等式吗？试给出证明

［解题观摩］因为加糖后糖水更甜,即糖水的浓度

变大，所以提炼出的不等式为：上一卫>_L.其中»

a十ma

0,m>0.下面用作差比较法给出证明.匕〃--=

a~rma

ct(b~!~m)―b(a-m)m(a—b)闰工弘，日〒

------;-----;=-------因为a.b,m7者K正正

a(a-rm)----a\a-rm)

数，且a>h,所以a〃2>0,a—心>0.所以“961”〉0.

a\a।m)

即中….

a一ma

［升维训练］

1.(2020•全国III卷)已知55<84，134<85.设a=Iog53,*=log85,c=logi38,贝！1()

A.a<b<c=B..b<a<c

C.b<c<aD..c<a<b

<log53+log58Y

1

1_log534og58-lI2J_

解析：选AVlog3—log5=log3<

585log58-log58log58一

:.log53<log85.V55V84134V85,:.510g85V4,4v510gl38,:.

Iogs5<logi38,Iog53<logs5<logi38,即a<b<c.

2.依据糖水不等式可得出log32log1510(ffl"V”或填空)；并写出上述

结论所对应的一个糖水不等式.

解析：①因为0Vlog32Vl,

Iog52_/og52+1Jog52_」og510],„

所以可得10g32=-0815

logs3log53+l^log53log515'

In2In10_ln2+ln5In2+ln5加2

②由①可得log32Vlogi5100hi3<ln15=ln3+ln5即In3+In5>而5,

答案：<爵耨〉黑

3.若等比数列｛斯｝的前n项和为S„(ai>0,q>0),则S“S“+2与S.i的大小关系为

■+S〃+iq.

.S〃+2

解析:•S〃+2>S〃+i>S〃,~<堂\故S〃S〃+2Vs计i.

'•高Sn

ai+qSnR+Sn

答案：SnSn+2<^nI1

［融会贯通］

“糖水不等式”，它实际是真分数的一个性质，总结如下:

已知b,机都是正数，且方>a,贝!)：

..，…,,..ba—maa+m

(1)真分数的性质：1蔡7<^为3—，”>0).

（2）假分数的性质：旺24主琮3一心0）.

应用“糖水”不等式可解决证明不等式、比较大小、单调性问题.

［课时跟踪检测］

一、基础练——练手感熟练度

1.（2022•济宁模拟）已知全集U=R,集合4={力2-3尤+220},则卜4等于（）

A.(1,2)=B..[1,2]

C.(-8,1]U[2,+8)D..(—8,l)u(2,+°0)

解析：选A由题意可得，CRA={X|X2—3x+2<0}={x[l<x<2},表示为区间形式即(1,2).故

选A.

2.若实数wz,"满足机>">0,贝!|()

D..m2<mn

解析：选B取,"=2,"=1,代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立（事

实上色+1内1不1）.

A2层

3.若a<o,8<0，则P=z+不与q=a+b的大小关系为（）

A.p<q=B..pWqC.p>qD..p》q

b2a2

解析：选

Bp_q="+—i=abv7\abjab

(b-a)2(a+b).

ab，*.*a<0,)VO,.*.a+ft<0,aft>0,若a=b9贝4〃——q=0,此时p=q,若a半b,

则p—4<0,此时pVq,综上，pWq.

4.不等式左条22的解集是()

A.—3,1=B.T,3

C.[}/)U(1.3]D,-1iu(1,3]

,x+5、〜（2x+l）（x—3）,〜(2x+l)(x-3)W0,

解析：选D因为G三齐22,所以‘（/；>W0,所以，一解得一

x—1W0,

且xrl.

5.若Vx£R,2x2—九v+32o恒成立，则实数机的取值范围为.

解析：由题意可知/=机2—24<0,解得_2*WmW2«.

答案：[—2祸，2遍

二、综合练——练思维敏锐度

1.已知x>y>z,且x+y+z=O,下列不等式中成立的是()

A.xy>yz=B..xz>yz

C.xy>xzD..xly|>zly|

解析：选C因为x>y>z,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0,

fx>0,

由j>得xy>xz.故选C.

2.已知a为实数，“a>l”是“2<4,,的()

A.充分不必要条件=B..必要不充分条件

C.充要条件D..既不充分也不必要条件

解析：选C当”>1时，a2—a3=a2(l—a)<0,所以/〈a5；当。2<“3时，层侬­])>0,所

以a>l.综上，“a>l”是“层<凉”的充要条件.故选c.

3.若关于x的不等式ax一方<0的解集是(1,+°°),则关于上的不等式(ax+8)(x—3)>0

的解集是()

A.(一8,-1)U(3,+0°)

B.(1,3)

C.(-1,3)

D.(一8,1)U(3,+8)

解析：选C关于x的不等式办一反0的解集是(1,+8),即不等式依侬的解集是(1,

+°°),.,.a=b<0,不等式(ar+b)(x—3)>0可化为(x+l>(x—3)<0,解得一l<x<3,.•.所求

解集是(-1,3).

4.若存在xG[—2,3],使不等式2乂一，》“成立，则实数。的取值范围是()

A.(-8,1]=B..(一8,-8]

C.[1,+8)D..[-8,+8)

解析：选A设_/(x)=2x—*2=—(x—lp+lWl,因为存在xG[—2,3],使不等式2x一

成立，所以aW/(x)max,所以aWl,故选A.

5.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹

七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576,买竹子78根，拟分大、

小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种

竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为()

A.6钱B.7钱C.8钱D..9钱

解析：选C依题意可设买大竹子x根，每根单价为小，购买小竹子78—x根，每根单

价为机一1钱，所以576=»ix+(78—x)("2—1),即78nz+x=654,即x=6(109—13机).因为

1109

mW百,

.109—13机20,

0<xW78,所以<即百<，”<彳5.根据选项知m=8,x

6(109-13m)^78,

=30,所以买大竹子30根，每根8钱.

jrrr

6.(2022•广州模拟)若a,/?满足一5<a</?<5，则a」的取值范围是()

A.—7t<a—=B.n<a—)ff<0

7T7T7T

C.D..-T<a-jff<0

解析：选B从题中一^VaVpV与可分离出三个不等式一^VaV筑)，—^<fl<^2)9a

一777r

</?③.根据不等式的性质，②式同乘以一1得一个〈一/?<今④，根据同向不等式的可加性，可

得一irVa—“<兀.由③式得a-jffVO,所以一kVa—"VO,故选B.

7.在关于x的不等式/一5+1口+加0的解集中至多包含2个整数，则”的取值范围

是()

A.(-3,5)=B..(-2,4)C.[-3,5]D..[-2,4]

解析：选D关于x的不等式*2—(a+l)x+a<0可化为(*—l)(x—a)<0.当时，不等

式的解集为(1,a);当a<l时，不等式的解集为(a,1).要使得解集中至多包含2个整数，则

aW4且a2一2.又当a=l时，不等式的解集为。，符合题意.所以a的取值范围是[-2,4],

故选D.

8.若Ovavl,贝!I不等式(a—”)(%—0>O的解集是.

解析：原不等式等价于(L〃)G一加，

由Ovavl,得a<x<^

答案/x|a<x<a)

9.已知a+b>0,则5十?与的大小关系是.

解析:料今-(鸿)=衰+&=(…一

2。,••维整建。..*+£+/

答案：

10.已知三个不等式：①谛>0；②③儿.若以其中两个作为条件，余下的一

个作为结论，共可组成个正确的命题.

解析：研究①②今③，由于面>0,故一一号两边同乘以一面得加>"，故①②今③

成立；研究①③今②，由于曲〉0,故儿>ad两边同除以一向得一:〈一《故①③"②成

立；研究②③今①，由于一§V一,两边同乘以一显得bc>ad,由不等式的性质知必有一谛

V0即成>0,故②③0①成立.

答案：3

11.若不等式如+办一2>0在区间［1,5］上有解，则a的取值范围是.

解析：令1Ax)=必+如-2.；直0)=-2,于是不等式在区间［1,5］上有解的充要条件是八5)

>0,解得.>一名故a的取值范围为(一卷，+8)

答案：(T+.

12.已知函数大0=%2+内；+伙〃，8£R)的值域为［0,+°°).若关于工的不等式/(x)Vc

的解集为O，机+6),则实数c的值为.

(,一旦「a2

解析：由题意知人工)=%2+〃%+)=12)+办一不因为函数/(x)的值域为［0,+°°),

所以万一：=0,得力■.由/(x)Vc可得c>0,且('2)<c9解得一彳一，^VxV—5+也,

所以机=—彳一W，m+6=—^+y［c,所以6=(帆+6)一机=2、£，解得c=9.

答案：9

13.已知二次函数兀r)=Qx2-3+2)x+l(a£Z),且函数式幻在(-2,—1)上恰有一个零

点，则不等式/(幻>1的解集为.

解析：因为/(x)=ax2—(〃+2)x+l(aW0),J=(a+2)2—4a=«2+4>0,所以函数/(x)=

一(〃+2)x+l必有两个不同的零点.因此八一2加-1)<0,所以(6a+5)(2a+3)V0.解得一

35

iVaV-R又〃£Z,所以〃=一1.不等式式”)>1,即为一“2—%>0,解得一IVXVO.故不等

/o

式1A外>1的解集为(一i,o).

答案：(一1,0)

14.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1

成=10%),售出商品数量就增加联成.要求售价不能低于成本价.

⑴设该商店一天的营业额为y,试求y与X之间的函数关系式y=/U),并写出定义域;

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.

解：(1)由题意得，y=100(l—给400(1

因为售价不能低于成本价，所以100(1—三，一80》0,解得0WxW2.所以y=/>)=40(10

一x)(25+4x),定义域为{x|0Wx<2}.

(2)由题意得40(10-x)(25+4x)^10260,化简得8x2-30x+13^0,解得[WxW苧.又

0WxW2,所以x的取值范围是口，2.

15.已知函数於)=丫2一%+1.

(1)若/(x)》0在R上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若八©22成立，求实数a的取值范围.

解：(1)由题意得/=不一4W0,解得一4WaW4,二实数a的取值范围为[-4,4].

(2)由题意三工€[1,2],使得34了一：成立.令g(x)=x-：,xF[l,2],则g(x)在区间[1,2]

上单调递增，"(*)2=8(2)=*MW，解得庆3,.•.实数a的取值范围为(一8,刃.

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课程标准

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.)

I基础扎牢基础不牢•地动山摇

[由教材回扣基础]

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax+By+C>0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组不包括边界直线

Ax+By+C^0成的平面区域包括边界直线

不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤

画线在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程表示的直线(注意不等式中有无

等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线)

将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异

定侧号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧.若直线不过原

点，特殊点常选取原点

求若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，

“交”再求这些区域的公共部分

以上简称为“直线定界，特殊点定域”

3.线性规划的有关概念

名称意义

线性约束条件由变量X,y组成的一次不等式(等式)

目标函数关于x,y的函数解析式

线性目标函数目标函数为关于x,y的一次函数解析式

可行解满足线性约束条件的解(X,J)

可行域所有亘任解组成的集合

最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

澄清微点•熟记结论

(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证.

(2)判定二元一次不等式表示的区域

①若B(Ax+By+C)>0时，区域为直线Ax+Bj+C=0的上方.

②若B(Ax+By+C)<0时，区域为直线Ax+By+C=0的下方.

［练小题巩固基础］

一、准确理解概念(判断正误)

⑴不等式Ax+8y+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+3y+C=0的上方.()

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()

(3)在目标函数z=ax+勿3#0)中，z的几何意义是直线ax+by-z=d在y轴上的截

距.()

答案：(1)X(2)V⑶X

二'练牢教材小题

x—3v+6<0,

1.(人教A版必修⑤P84例1改编)不等式组,、表示的平面区域是()

x—y+2^0

y+2=0及其右下方部分.故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分.

3x+y—620,

2.（人教A版必修⑤P93T2改编）关于x,y的不等式组，x-j-2^0,表示的平面

x+j—4^0

区域的面积为（）

5

A.3B.T

乙

C.2D.1

解析：选C平面区域为一个直角三角形ABC,其中A（3,l）,5（2,0）,C（l,3）,所以面积

为4|A5|・|AC|=[xqixq§=2,故选C.

x—y^O,

3.（人教A版必修⑤P%Ti改编）若x,j满足约束条件r+）—2W0,则z=3x-4y的

J20，

最小值为_______.

%+尸2=《

解析：画出可行域如图中阴影部分所示.