北京市某中学2023-2024学年高一年级下册期中考试数学试卷

北京十一学校2023〜2024学年第3学段高一年级

数学1教与学诊断

(2024.4)

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题(共12道小题，每题5分，共60分)，请将答案填写到答题卡规定的位置

tan6)=—tan^+―=

1.已知3,则\)

A.9+1°后B.1C.2D.3

172

【答案】C

【解析】

【分析】借助两角和的正切公式计算即可得.

兀1

/\tan8+tan--+1

【详解】tane+-\=---------------4-=^—=2.

Ii_tan3tan乌1」

43

故选：C.

2.在AABC中，A=45°,C=60°,i?=10,贝|c=()

A.5A/6B.5C.572D.5邪

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算即得.

【详解】“WC中，A=45°,C=60°,«=10,由正弦定理得一L=」-,

sinAsinC

10sin60°床

所以c=------------=5V6.

sin45°

故选：A

3A

3.在&45C中，cosA=—,贝Ucos—=()

52

A.6

B.-A/5L.------D.--A/5

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得.

【详解】在AABC中，cosA=-,则0<A〈二，cos->0,

522

.4c2A1/曰A/1+cosAP_2y/[

由cosA=2cos-----1,得cos—=J-----------

22V2\5~^~

故选：B

4.已知tana=2,则sin2。+sin?a=()

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦公式，结合正余弦的齐次式法计算即得.

2sinacosa+sin2a2tana+tan2or_2x2+228

【详解】由tana=2,^#sin2cif+sin2a=

sin2<7+cos2atan2a+122+15

故选：B

5.在AABC中，已知B=120°,AC=2退,AB=2,则BC=()

A.1B.73C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程并求解即得.

【详解】在AABC中，B=120°,AC=2y/3,AB=2,由余弦定理，得

AC2=AB?+BC2-2AB-BCcosB，

则12=4+5C2—4.gCcosl20°，整理得5c?+25C—8=0，而5c>0,

所以3C=2.

故选：D

6.函数①/(x)=sinx+cosx,②/(x)=sinxcosx,③/(x)=2cos2(x+—)-1中，周期是兀且为奇

4

函数的所有函数的序号是()

A.①②B.②C.③D.②③

【答案】D

【解析】

【分析】利用辅助角公式及二倍角的余弦公式化简函数式并逐一判断即得.

【详解】对于①，/(x)=V2sin(x+-)显然/(一卞=0,%=拒，

4"

因此函数/(x)=sinx+cosx不是奇函数，①不是；

对于②，/(x)=gsin2x的定义域为R,/(-%)=sin2(-x)=-^sin2%=-7(%),

函数/(%)=sinxcosx是奇函数，周期为兀，②是；

JT

对于③，/(x)-cos(2x+—)=-sin2x的定义域为R,/(-x)=-sin2(-x)=sin2x=-f(x),

函数/(x)=2cos2(x+3—1是奇函数，周期为兀，③是，

4

故选：D

7T

7.如图是函数/(%)=45也(。％+夕)(4＞0,。＞0,|9上万)的部分图象，则该函数解析式为()

.兀

B.y=2sin(2x+—)

7171

C.y=2sin(2x+—)D.y=2sin(2x-—)

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出各参数即可.

27r7L2冗

【详解】观察图象知，A=2,函数/⑺的周期T=2(--------)=71,则。=——=2,

36T

由=2,得2义工+0=3+2版,左eZ,而|°|＜四，则左=0,夕=巴

6226

7T

所以/(x)=2sin(2尤+-).

O

故选：B

，2_/

8.已知A/RC的内角4B、C的对边分别为。、b、c,若AABC的面积为^—-——,则。=

4

（）

71717c3兀

A.—B.—C.—D.—

6424

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形面积公式列出相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案.

2*4

【详解】由题意可得：-1absinC=-c-?—a『—b匕?，

24

口厂17•^cosC….

即一aZ?smC二---------，贝UtanC=-l，

22

377

由于C£（0,»）,故。二工,

4

故选：D

9.设函数/（x）=cos[°x-2卜。〉0）.若/5bl，则①的最小值为

【答案】C

【解析】

【分析】借助余弦型函数的性质计算即可得.

JTJT

【详解】由题意可得—%=2E（左eZ）,

22

即G=§+8左（左£Z）,又G>0,故@min=§.

故选：C.

10.在AA5c中，AD为5c边上的中线，E为AZ）的中点.则丽二（

3__,a

A.-AB--ACB,-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】因为AABC中，AD为边上的中线，E为A。的中点，

所以丽=西+荏=_g砺+通=_gxg阴+时+通=；血_；/,

故选：A.

A

7T,则“sinB<变”是“AABC是钝角三角形”的(

11.在国。中，4二

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先判断如果sin5<4Z能不能推出AABC是钝角三角形,

2

再判断如果AABC是钝角三角形，是否一定有sin6<走即可.

2

【详解】如果sin3<YZ,由于B是三角形的内角，并且4=工，则0<3<f,

244

71

A+B<-,44BC是钝角三角形,

2

所以sinB<Y2是充分条件;

2

如果AABC是钝角三角形，不妨设3=至,则sinB=3〉走，

322

所以sinB〈也不是必要条件;

2

故选：A.

12.已知/。)=3$111(2%+0)(。€11)既不是奇函数也不是偶函数，若y=/(%+m)为奇函数,

y=/(%+〃)为偶函数，则|相|+|〃|的最小值为()

71兀c兀

A.兀B.-C.1D.-

248

【答案】c

【解析】

【分析】利用函数奇偶性，结合诱导公式及五点作图法分析计算得解.

7T

【详解】依题意，而且o+E/eZ,函数“盼的最小正周期丁=兀，

ITTT

令。0满足。0c（0,5）U（5,兀），且。=2左兀+稣（尢eZ）,则/（x）=3sin（2x+°o）,

由2x+0o=0,得五点作图法的最左边端点为（-义,0），

2

由f(x+m)=3sin(2x+2m+/)是奇函数，得|m|min=min(|—^-|,|兀|)=min吟,无；。),

由/'（x+九）=3sin（2x+2〃+%）是偶函数，得|n|min=|—粤+巴|=|"乎\,

244

当供€呜）时,1mlmm吟，1mtm0=「一；:，此时（I川+1川焉=:;

—

、“/兀、1..R_（pc..2（Pn一冗ltrziii兀一71兀

当外e（5,7l）时，\m\mn=~^,|矶皿=巧一，此时+巧一=『

所以Iml+1"I最小值为士IT.

4

故选：C

【点睛】方法点睛：用“五点法”作，=45也（。叶。）的简图，主要是通过变量代换，设Z=OX+0,由z

TT3兀

取0,一,兀,一,2兀来求出相应的X,通过列表，计算得出五点坐标.

22

二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置

13.函数/（x）=tan（2尤-711）的单调递增区间为；

【答案】（一三+=k7i,近瑜,keZ

122122

【解析】

【分析】利用正切函数的单调性，直接代换即可求出.

（JTJT、

【详解】因为y=tanx的单调增区间是一耳+A肛耳+左"，左eZ,

.TC-TCTC7C157r1_

由----F7kji<2x---<—Fk1ji,解在r----1—k7兀<尤<----1—7kji,7keZ,

232122122

故函数/（x）=tan（2x--）的单调递增区间为（一2+!左肛区+工左乃），左eZ.

3122122

【点睛】本题主要考查正切函数单调区间的求法，利用函数的单调性的性质进行代换是常用的解题方法.

14.已知向量逐共线，且同=2忖=2,则卜+）=.

【答案】1或3

【解析】

【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得.

【详解】由向量共线，故向量落B可能同向、可能反向，

当向量痴同向时，由同=2忖=2,则,+q=忸+可=3,

当向量。，加反向时，由同=2打=2,则卜+"=卜25+.=1.

即卜+可可能为1或3.

故答案为：1或3.

15.能使“cos(o+/7)=coso+cos/?”成立的一组a，/3的值可以为.

JTJT

【答案】«=——,/?=-(答案不唯一)

33

【解析】

【分析】根据给定的等式，写出一组夕的值并代入验证作答.

兀兀兀兀]]

【详解】取。=一彳,尸=§,贝|cos(0+/?)=cosO=l,cosa+cos(3=cos(--)+cosJ=2+=,

因此cos(a+£)=cosa+cos0成立.

故答案为：oc=—>B=—

33

16.已知函数〉=5足(2%+9)(-2<0<2)的图象关于直线对称，则9的值为________.

323

7T

【答案】一:

6

【解析】

【分析】

n7127r71

将兀=£代入函数中，得了(一)=sin(—+0)=±l,化简得：(p=k7i—H,keZ,进一步求出夕的值.

3336

7T2乃

详解】由题意得/(§)=sin(T+0)二±l,

.2万丁万丁7

・・---\-(p-K7l~\——eZ,

32

(p-k7i——，左£Z

•.①（一抬），

71

・・・取左£0得0二—二.

6

71

故答案为：一二.

6

17.在平面直角坐标系xOy中，角a与角夕均以3为始边，它们的终边关于y轴对称，若cosa=；,

则cos（。一/）=.

【答案】0.5##-

2

【解析】

【分析】分a为第一象限角及a为第四象限角进行讨论，并结合两角差的余弦公式、三角函数基本关系计

算即可得.

【详解】由cosa=—,故a为第一或第四象限角,则夕为第二或第三象限角，

2

当a为第一象限角时，sina=A/1-COS2a二，

2

1

sinP=sin（兀-a）=,cos/=cos（兀-a）=-

止匕时cos（a_0）=cosacos/?+sinasin/?=gx11、66、

.2J222

3,

当a为第四象限角时，sina=-A/1-COS2a-

）=《

sinf3—sin（3兀一a）——'c°sB~cos（3兀一a

止匕时cos（a—夕）=cosacos，+sinasin尸=gx]会昌H-上

故cos（q一,）=;.

故答案为：一.

2

18.如图，A,B,C,。都在同一个与水平面垂直的平面内，B,。为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于

水面A处测得8点和D点的仰角分别为75。,30。，于水面C处测得8点和。点的仰角均为60°,

AC=1km.则3,。的距离为km.

【解析】

【分析】根据给定条件，求出A。，再利用正弦定理、余弦定理求出

【详解】依题意，在AACD中，ZCAD=30°,ZACD=120°,贝|NADC=30°,CD=AC=1,

AD=2ACcos30°=百，在AABC中，N3AC=105°,ZAC3=60°,则ZABC=15。，

而cos75°=sin15°=sin(45°-30°)=—x—-—x-=网-亚

22224

173

lx——

ACsinNACB3亚+屈

由正弦定理得AB=2

sinZABC\/6—5/22

4

在中，ZBAD=15°,由余弦定理得

BD=J(3&+C)2+(6)2_2><3五+#=3二+6.

V2242

故答案为：

2

三、解答题(五个大题，一共60分)，请将答案填写到答题卡规定的位置

45

19.已知85。=一］,。£(0,兀),口/=一店,尸是第三象限角，求：

(1)sin。,cos/5的值；

(2)sin(a+/?)和tan2o的直

312

【答案】（1）sinct=—,cos/3=---；

513

（2）sin（^z+0）=----，tan2a=-----.

657

【解析】

【分析】（1）根据平方关系，结合三角函数的符号求解可得；

（2）利用正弦的两角和公式求sin（o+，），利用商数关系求tan。，再由正切的二倍角公式求tan2g即可.

【小问1详解】

45

因为costz=e（0,兀）,sin/=-百，万是第三象限角，

【小问2详解】

JT

20.已知函数函(x)=sin(2x——)+根过原点(0,0).

（1）求加的值；

4冗

（2）求函数/⑺在上的零点；

（3）下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据.

兀5兀

X

I~6

c兀713兀

2x----0712兀

62~2

sin(2x-*010-10

2_J_

y

~22~2

【答案】(1)m=-；

2

，一、2兀

(2)07—，兀；

3

(3)填表见解析.

【解析】

【分析】(1)把原点坐标代入求出加值.

(2)由(1)的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点.

(3)根据五点法作图完善表格.

【小问1详解】

兀1

依题意，f(0)—0,即sin(—)+m=0,即根—=0,

62

所以机=L

2

【小问2详解】

jr17rl

由(1)知，f(x)—sin(2x)4—，由/(%)=。，得sin(2x—)=—,

6262

、r,rr\4兀_717l571rEtc兀兀_txc兀7兀.兀11兀

当xw[0,——]时，2%——e[r——,——],则2x——=——或2%——=——或2%——=---,

3662666666

解得％=0或%=胃2冗或％=兀，

47r971

所以函数人尤)在[0,—]上的零点为0,—,兀.

33

【小问3详解】

根据“五点法”作图，填表如下：

兀兀7兀5兀1371

X

12I12~6~L2

c九713兀

2x----0712兀

62~2

sin(2x-.010-10

2

y

222~22

(1)求cosNABD；

(2)求3C的长.

【答案】(1)显;

9

⑵瓜

【解析】

【分析】(1)计算出sinA、sinZADB,利用两角和的余弦公式可求得cos/45。的值.

(2)在血中，利用正弦定理可求出6D的长，然后在△3CD中利用余弦定理可求得的长.

【小问1详解】

在中，cosA=—»cosZADB=-,贝i」A、NADS均为锐角，

33

则sinA=A/1-COS2A=>sinNADB=Jl-cos?/ADB=2后,

33

cosZABD=COS(TT-A-/ADB)=-cos(A+/ADB)=sinAsin/ADB-cosAcosZADB

_V|2V2V6176

一^--3r-3-v

【小问2详解】

.D..2瓜x也

在ZiA血中，由正弦定理得———=圾-,ABsmA=J__3_=

sinZADBsinAsinZADB2V2

丁

由AB//CD,得NBDC=/ABD,在八BCD中,由余弦定理得：

23.布普=11，

BC?=BD?+CD?-2BDCDcosNBDC=9+6-

所以BC=JTL

22.已知函数f(x)-cosx(2y/3sinx+cos%)-sin2%.

(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；

(2)填写由函数y=2sinx的图象变换得到的图像的过程：

TT

先将y=2sinx图象上的所有点,得到y=2sin(x+—)的图象；

6

7TJT

再把y=2sin(x+—)的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标______,得到/(尤)=2sin(2x+$的图象.

66

7T

(3)若当xw[0,,]时，关于尤的不等式,求实数机的取值范围.

请选择①和②中的一个条件，补全问题(3),并求解.

其中，①有解；②恒成立.

71JT

【答案】(1)[-----kku,—I-kji]{kGZ),兀；

36

(2)左平移囚个单位长度，变为原来的J；

6~

(3)答案见解析.

【解析】

7T

【分析】(1)先将函数整理，得到/(尤)=2sin(2x+：),利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调

递增区间与最小正周期；

(2)由(1)中函数，利用三角函数图象变换求解即得.

(3)若选①，可得mW/(%)1mX，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结

果；若选②，可得加</(尤)1nhi，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.

【小问1详解】

依题意，/(x)=sinxcosx+cos2x-sin2x=^/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

所以函数的最小正周期T=7T;

兀7LTC7L7C

由----F《21H—<—F2ATI,kGZ,得----Fkit<x<—Fkit,kGZ,

26236

jrjr

所以函数/⑺的单调增区间为[——+E,—+E](左£Z).

36

【小问2详解】

TT7T

先将y=2sinx图象上的所有点向左平移一个单位长度，得到y=2sin(x+-)的图象；

66

再把y=2sin(x+H)的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的;，得到/(x)=2sin(2x+?的

626

图象.

【小问3详解】

若选择①，不等式7（x）2根有解，即根W/（x）gx，

由xe[O,乌],得+

2666

则当2犬+巴=巴，即％=四时，/（无