辽宁省七校2024-2025学年高二年级上册期初考试数学试卷

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求)

1.已知复数z=(l+i)+/l(l—i)是纯虚数，则实数2=()

A.-2B.-lC.OD.1

2.已知某圆锥的底面半径为山，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为()

A.2宿B.3兀C.4宿D.6兀

3.设机，"为空间中两条不同直线，。、/为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()

A.若机上有两个点到平面a的距离相等，则机//a

B.若粗、"是异面直线，muajn////a,则a〃夕

C.若根不垂直于e,"ue,则机必不垂直于"

D.若加，u/，则“机〃"”是“a工尸”的既不充分也不必要条件

4.已知函数/(x)=Asin(ox+0)3>O,A>O,(凝切兀)的部分图象如图所示，且/(0)=1,贝|()

A./(x)=2sin[x+；JB./(x)=2sin12x-；J

C./(x)=2sin^2x+-^-jD./(x)=2sin^x+^

5.如图，在正四面体A3CD中，点£是线段AZ)上靠近点。的四等分点，则异面直线EC与3D所成角的

余弦值为()

A

A\E

BD

C

A3V13RV13「3岳nV13

26132613

6.下列命题正确的是（）

A.若云=（一1,2）,石=（根2,1）,且则加=夜

B.若V%eR,@w,则落5不共线

C.若。反近是平面内不共线的向量，且存在实数》使得函+y反=丁砺+而，则A5c三点共线

D.若a=（-1,1）,^=（1,2）,则B在N上的投影向量为

4

7.已知2+5cos2。=cos%cos（2a+^）=-.aG，则COS夕的值为（）

444444

A.——B.——C.--------D.-

51251255

8.在AABC中，1是边A3上一定点，满足藤=1通，且对于边A3上任一点P，恒有

PBPC..^B-^C,贝曙ABC为（）

A.等腰三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知复数Z「Z2，下列结论正确的有（）

A.若闾:目，则z；=z；

B若ZE-Z2>0,则马>Z2

C.若复数Z?满足Z2=—、+5i,则Z2在复平面对应的点是（—1,7）

2-i

口.若4=-4+31是关于关的方程］2+2氏+4=0（,应€区）的一个根，则p=8

10.设函数g（x）=sino%3>0）向左平移—个单位长度得到函数/（%）,已知〃尤）在［0,2可上有且只

5co

有5个零点，则下列结论正确的是（）

A./（x）的图象关于直线x=|对称

-1229、

B.0的取值范围是—

Cj（x）在0,合上单调递增

D.在（0,2兀）上，方程/（%）=1的根有3个，方程/（x）=—1的根有3个

11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式

SR）、金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1）,已知正八面体

E—A5CO—尸的（如图2）棱长为4,则（）

647r

A.正八面体E-ABCD-F的外接球体积为——

3

32兀

B.正八面体E-ABCD-尸的内切球表面积为——

3

C.若点尸为棱£8上的动点，则AP+CP的最小值为

D.若点。为棱AF上的动点，则三棱锥E-Q8C的体积为定值电也

3

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

/、sin（cr-3TI）+cos（571-or）

12.tan（兀+a）=2,贝U---——----------^-=_________.

sin（-cr）-cos（7i+cr）

兀

13.在中，A=§,0为AABC的外心，若天）.初=而•/=2，则荏•/的值为.

14.在AABC中，角的对边分别为a,反c,若逐（90+整=吧（吃9,5='，则2a+c

VbcJsinC3

的取值范围为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图，在底面是矩形的四棱锥尸—ABCD中，平面ABCRE是PD的中点.

（1）求证：P6〃平面EAC；

（2）求证：平面平面。AD.

16.已知向量G=(sinx』)Z=l,sin(1—x],f^x)=a-b

(1)求函数/(x)的单调递增区间和最小正周期;

JT

(2)若当xe0,-时，关于x的不等式2/(x)—L3”有解，求实数，力的取值范围.

_hc

17.已知AABC的内角A,昆C的对边分别为a,b,c,满足——+--=1.

c-ab-a

(1)求角A；

(2)若AABC的外接圆的面积为？巴,sin5+sinC="ZsinA，求AABC的面积.

37

18.如图，在四棱锥P—A5co中，PC_L平面ABC。,AB〃DC,。。LAC.

(1)求证：OC,平面PAC；

(2)若PC=AB=AC=1,求Pfi与平面PAC成角的正弦值；

PF

(3)设点E为A3的中点，过点C片的平面与棱必交于点尸，且〃平面CEF,求——的值.

PB

19.若函数/(%)满足：对任意xeR,/(x)=/1+-d=/[g+x：则称/(%)为函数”.

(1)判断工(%)=5由[。》+|"：力(》)=tan：x是不是M函数(直接写出结论)；

「3兀1「3-

(2)已在函数〃力是M函数，且当XC0,—时，/(%)=5K.求〃%)在-71,371的解析式；

(3)在(2)的条件下，xe[0,6可时，关于x的方程/(%)=。(。为常数)有解，求该方程所有解的和

S

高二联考数学试卷参考答案及评分标准

一、单选题

18.BDBCACBB

二、多选题

9.CD10.BC11.BCD

三、填空题

12.313.219.(右,2«]

四、解答题

15.(13分)

解:(1)连接3D交AC于点G,连接EG.

•.•四边形A3CD是矩形，，G是3D的中点.

又石为PD的中点，

EGu平面EAC,PB<Z平面EAC,PB//平面EAC

(2)•.•以，面45。。,。。<=面430),，/54_1。。.

•.♦ABCD是矩形，.,.ADLCD.

而。AcA£>=A,PA,A。u平面PA。,CD，平面PAQ

又；CDu平面QDC..•.平面PDC±平面PAD.

16.（15分）

/、/、

711.兀

(1)因为/(同二日出=sinx+sin——X=—sinx+——cosx=sinx+—

13223J

所以函数/(x)的最小正周期T=2TI；

因为函数y=sinx的单调增区间为----F2kji,—F2kli，左eZ,

2-----2

TTTTTT

所以----F2kn<%+—<—+2hi,GZ,

232

STTTT

解得-----F2kn<%<—+2防i,keZ,

66

51171

所以函数的单调增区间为-豆+2E彳+2桁，左eZ；

（2）不等式"⑴―14加有解，即—2/⑴皿；

ec\兀匚UI、I兀/兀/7兀771.57c.71

因为工£0,一,所以一《xH—<—,又sin—=sin—>sin—,

14」331212123

故当x+g=m，即％=o时，“工)取得最小值，且最小值为了⑼二手，

所以加2A/3-1

17.(15分)

hr

(1)解：(1)因为——+——=1,

c-ab-a

所以Z?9+=,

所以Z?2—ab+c2—ac—be—cic—ab+a?，即——be,

由余弦定理可得：b2+c2—a2=2Z?ccosA，

所以COSA=L,

2

因为Ac(0,兀),

TT

所以A=A；

3

7兀

(2)因为△ABC的外接圆的面积为,

设5c的外接圆半径为小

即7ir2=—,

3

解得r=亘，

3

由正弦定理得一L=2r,a=2rsinA=2x^x@=J7，

sinA32

因为sinB+sinC=5ssinA，由正弦定理得£>+c=5sa=5，

77

由(1)知/+c?—a?=Z?c,

所以(6+c)2—7=36c,得3bc=25—7=18,则bc=6,

所以AABC的面积为SARr=—besinA=!x6x.

△ABC2222

18.(17分)

(1)因为尸CL平面48。。,。。<=平面45。0,所以PCLCD,

又。C_LAC,ACr\PC=C,AC,PCu平面PAC,

所以。平面QAC

（2）:。）〃平面PAC

.•.AB,平面QAC，.,./AP5为所求

•.♦RtAB4c中，PC^AC=l,:.PA^y/2

.•.RtAB43中，PB=y[3

.­.sinZAPB=—

3

（3）因为“4〃平面CEF,平面平面CEF=EF,

B4u平面Q4B，所以Q4〃£F，因为点石为AB的中点,

PF1

所以点尸为PB的中点，所以一=-

PB2

19.（17分）

471

（1）/；（%）=sin3%+2是M函数，证明如下:

4714,3兀兀4

因为＜（九）=sin|-x+-=cos-x,又力-----x=cosl^xj=cosf2-gx=cos—X,

322323

4（3TI=c°s2兀+3=cos|x,所以工（x）=E3兀

=cos———I-冗--------X=/1+x

3I32T

471

故力（无）=sin|-x+—是〃函数,

32

/、2

力（x）=tan§x是“函数，证明如下:

37c2/3»tan322

因为人--------Xtan—--%-tan—%=tan—%,

23I333

2/3兀2

+xtan-----}-xtan=tan—x,所以

4^32I33

3兀=力*2

于2（》）=于2-----x，故力（%）=tanjx是〃函数.

2

37r3兀

（2）因为/（x）=/1x,所以函数/（力的周期为T=5,又/（%）=/-----x

+2

37r

所以函数“X）关于直线x=1对称,

因为工£一兀,3兀时，所以％--—吟

371八3兀3兀9兀3兀3兀

当X-----G0,—,=即xe—,—时，f(x)=fx---=--sinx---=--cos%,

242422

3兀3兀3兀2,3兀时，/(%)=/3兀3兀

当x-----e-~'即%--=〃3兀—耳,

2422

9兀37兀i

又xe—,3兀时，3?1-xe0,—,所以

44

3兀3兀3兀

f{x}=fx-----x―--=f(3TI-x)=sin(3TI-x)=sinx,

22

3兀9兀

cosx,xe

324

综上，/(%)在-71,371上的解析式为/("=<

S1I1X,xG"3兀

4

,「,3无3兀，33兀兀八33兀兀▼，

(3)由(2)知，当xe——,—时，——xe0,—,所以

42224

sin%,xe

3兀3兀吟

f(x)=f-----x-smX=-cosx,得到/(%)=<

223兀3兀

-cosx,xe

42

3冗

又函数的周期为7=5,所x«0,6可时，/⑴的图像如图,

1T(x)

V2