福建省泉州市2025届高三质量监测（一）数学试题（含答案解析）

福建省泉州市2025届高三质量监测（一）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/={xeR|«<4},8={0,1,4,9,16},则/口8=（）

A.{0,1}B.{0,1,4}C.{0,1,4,9}D.{1,4,9,16）

2.若复数Z满足z（l-i）=l+i,则z4=（）

A.1B.-1C.iD.16

3.已知向量落反己满足同与B的夹角为■1,1+B+e=0,则&与1的夹角为（）

兀C712兀5兀

A.一B.—c.—D.——

6336

4.若sin6+VJcos9=2，则tan6=()

在

A.-V3B.c.D.V3

"T3

Y~|-----]x>4

5.若函数/（x）=x'-'在R上单调递增，则实数。的取值范围是（）

x3

a~9x<4

A.（0,1）B.（1,4]C.（1,8]D.（1,16]

6.已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上、下底面边长分别为0,2亚，高为3,则该

球的表面积为（）

A.40kB.20TIC.16兀D.

3

7.已知函数/（X）满足小+加/（到+/（切+2砂,若〃1）=1,则〃25）=（）

A.25B.125C.625D.15625

已知函数/(%)=次+；：

8.00(052]+$0531,则（）

A.兀是/(x)的一个周期B.X=71是/（X）图象的一条对称轴

C.0是/（尤）图象的一个对称中心D.7（x）在区间（0㈤内单调递减

二、多选题

试卷第1页，共4页

9.某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵

读国学经典，传承中华文明”知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二

年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是

()

A.高一年抽测成绩的众数为75

B.高二年抽测成绩低于60分的比率为2.5%

C.估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分

D.估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数

10.已知函数/_云+1,则()

A./(x)的值域为R

B./⑺图象的对称中心为(0,1)

C.当面<0时，“X)无极值

D.当6-3a>0时，在区间(-M)内单调递减

II.在平面直角坐标系中，已知耳(-1,0),月(1,0),“(居力是动点.下列命题正确的是

()

A.^\MF\+\MF^=2,则W的轨迹的长度等于2

B.^\MFt\-\MF2\=l,则M的轨迹方程为4/_当=1

C.若|儿/卜|品工|=4,则M的轨迹与圆/+/=6没有交点

试卷第2页，共4页

\ME\

=2,则而•。瓦的最大值为3

三、填空题

12.若曲线y=lnx在x=2处的切线与直线办-了+1=0垂直，则。=.

13.过双曲线E的两个焦点分别作实轴的垂线，交£于四个点，若这四个点恰为一个正方形

的顶点，则E的离心率为.

14.如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三

次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率

为.

四、解答题

15.VN8C的内角4尻C所对的边分别为。，瓦c,已知匕2=sm(一B)

csinC

(1)求A；

(2)若NBAC的角平分线与BC交于点、D,AD=2,AC=26,求a+c.

16.如图，在圆柱QQ中，分别为圆柱的母线和下底面的直径，C为底面圆周上一

⑴若M为的中点，求证：QM//平面NCD；

(2)若月C=1,8C=G,圆柱的体积为兀，求二面角的正弦值.

试卷第3页，共4页

22n

17.已知椭圆氏=+4=1(。>6>0)的左、右焦点分别为号且，离心率为；，且经过点

ab3

H)-

(1)求E的方程；

⑵过大且不垂直于坐标轴的直线/交E于48两点，点M为的中点，记△町g的面积

为小曲工的面积为$2,求空的取值范围.

)2

18.已知曲线G：y=lnx,C2：N=e”.

(1)证明：ex>Inx：

⑵若曲线片关于直线I对称的曲线为马，则称/为片与E2的一条对称轴.请写出G与G的一

条对称轴，并探究是否存在其它的对称轴；

(3)已知4出是q上的两点，4,当是C2上的两点，若四边形AtB}B2A2为正方形，其周长为3

证明：£>4人-2.(参考数据：ln2»0.693,V^«1.649)

19.已知正整数。应满足P44,正整数a,(z,=l,2,L,〃)满足a,Vp,之〃；=四对于确定的

4=1

正整数。应，记t的最小值为/(。应).例如：当p=2,q=3时，2X3=22+E+I2或

Z=1

2X3=12+12+12+12+12+12,£《=4或6,/(2,3)=4.

i=l

⑴当p=g=3时，写出£>,的所有值及「(3,3)的值；

;=1

(2)探究了(3,3左+D,eN*)的值；

⑶证明：t“lf2(3,13k+l)<227-

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CADCBBCBACDBC

题号11

答案ACD

1.C

【分析】应用排除法或先求集合A,再结合集合的交集判断求解.

【详解】解法一：(排除法)因x=0符合题意，排除D；因为x=9符合题意，排除A,B；

解法二：因为/={xeR|JT<4}={xeR|0Vx<16}，所以NcB={0,1,4,9},

故选:C.

2.A

【分析】利用复数的运算法则即可得出.

【详解】解法一：设2=。+砥a,6eR),则(a+bD(l-i)=a+b+(6-a)i=l+i,

解得。=0,6=1,所以z=i,所以，=1,

解法二：因为z(l—i)=l+i,所以-二罟=/］。：/?=1*~=i,z4=1,

解法三：方程两边同时平方，有z2.(-2i)=2i,所以Z?=-1/4=1,

故选:A.

3.D

一

【分析】对等式17Tk+6+己=0进行变形得己=_1_5,再运算数量积的运算求解即可.

【详解】设同=W=1,由题得e=-1-5，

所以H=/.(一7_B)=-a2-a-b=-15|2-|a|-|6|cosy=-1--^-=,

c1=(-a-bf=a2+2a-b+b2=3,所以同=G,

所以cosG,1=/W=一坐，又依司«0,可，

1aHe|2

所以仅4=

故选:D.

4.C

答案第1页，共21页

【分析】根据同角三角函数的基本关系以及辅助角公式求解即可.

【详解】解法一：(特殊法)由题知sin8」,cos8=正满足条件，所以tanO=XL

223

解法二:由题得Line+与osO=l,所以sin]+g]=l,

22I3J

7TTTTT

所以e+—=2E+—,左cz,所以。=2左兀+',左EZ,

326

c(7兀、71V3

tan6/=tan2knH■—=tan—=——.

(6)63

解法三：由题得sin2e+2A/5sinecos6+3cos之。=4，

所以Bsin？e-Z^sinecose+cos%=0，BP(VJsin^-cos^)2=0,

所以由sin。一cos。=0，即tan6=——.

3

解法四：由题得sin。=2-Geos。，所以(2-\ZJcosO)2+cos2。=1,

所以4cos2。-4V3cos6+3=0,即(2cos。一上了=0,

所以cose=^>sine=2-VJcose=L，所以tan。=

223

解法五：观察sin9+JJcos9=2,知sin。,cos。同正，。为第一象限角，

其正切值为正，排除A,B.

若tan6=百，可取e=g,贝!)sin6+ecos。=,

不符合已知条件，排除D,

故选:C.

5.B

【分析】根据分段函数的单调性以及指数函数的性质求解即可.

【详解】由指数函数的底数要求只讨论。>0且

由题意得在4J(x)=x+f-3为单调递增，

因为双勾函数/(%)=x+f-3在(0,G)单调递减，[6,+—单调递增，

所以五“4,故0<。416；

又X<4时，=为单调递增，故〃>1；

答案第2页，共21页

再由储44+q一1,得（zV4；

4

综上，l<a<4,

故选：B.

6.B

【分析】法一：分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由

球的表面积公式可得结果；法二：应用排除法得答案.

【详解】法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球。的大圆（如下图），

对角面为等腰梯形44'C'C,其上下底边长分别为2,4,高为3,

由正四棱台的对称性可知，球。的球心。在梯形上下底的中点连线。。2所在直线上，

设。Q=d,贝!|OQ=|3-⑷，球O半径为OC=R=OC,

由RtA。。］。',RIAOQC可得R2=|3—d『+22=d2+12,解得d=2,R=,

所以所求的球。的表面积为4成2=20兀,

法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径RN2（下底对角线长的一半），表面积

4兀R22167t，排除D；

对角面等腰梯形44'C'C的对角线长3®,故球半径尺>逑，表面积4成2>18兀，排除C；

2

若4成2=40兀，则及=两，易求球心到HC'的距离为4=3,球心到/C的距离为4=而，

无法满足|4+蜀=〃=3,或|4-囚=〃=3,排除A.

故选：B.

7.C

【分析】利用赋值法结合条件可得1（〃）=〃2进而即得；或构造函数/（无）=/求解.

答案第3页，共21页

【详解】解法一：由题意取x=〃(〃eN)/=l,可得

〃“+1)=/(〃)+41)+2"

=小-1)+2川)+2(〃-1)+2〃

=/(»-2)+3/(1)+2(??-2)+2(«-1)+2«

=(〃+1)/⑴+2(1+2+…+〃)

=(〃+1)八1)+〃(〃+1)

即知/"(〃)=硬⑴++=n2,则f(25)=625.

解法二：令g(x)=/(x)-f,贝i|g(x+y)=/(x+y)-(x+n

=f(x)+/(y)+2肛-(x+yy=/(x)+/(y)-x2-j2=g(x)+g(y),

所以g(")=g("l)+g⑴=・"="g⑴="(”I)T2)=O,

即g(〃)=/(")r，2=0,所以/(〃)=/,则/(25)=625.

解法三：由/(尤+了)=/(力+/(力+2孙可构造满足条件的函数/("=/,

可以快速得到1(25)=625.

故选：C.

8.B

【分析】法一：利用排除法，取特值检验即可；法二：根据周期性的定义判断A；根据对称

性的定义判断BC；利用导数判断f(x)在区间(0,71)内单调性，进而判断D.

【详解】法一：(排除法)因为/(7t)=cos7i+‘cos27r+!cos37t=-l+L-'=—*,

23236

11

=cosO+—cosO+—cosO=Id----F—=

2323~6

即/⑺H/(O),所以兀不是/(x)的一个周期，故A错误;

且/⑺~/(0),所以仁,0)不是/'(x)图象的一个对称中心，故C错误;

Tl113711

又因为了COS—+—COS71+—COS——=-------

22322

答案第4页，共21页

兀2兀

即/，所以/（x）在区间（0m）内不单调递减，故D错误;

法二：A：因为/（x+7r）=cos（x+7i）+gcos2（x+7r）+gcos3（x+7r）=-cosx+；cos2x-gcos3x

即/（尤+兀）2/（尤），所以兀不是/（尤）的一个周期，故A错误;

B：因为/（兀-x）=cos（兀一x）+gcos2（兀一x）+gcos3（兀一%）=-cosx+cos2x-jcos3x,

即/（71+尤）=/（无-无），所以》=兀是/'（x）图象的一条对称轴，故B正确;

C：因为/（-%）=cos（-%）+~cos2（-%）+~cos3（-%）=cosx+—1cosc2x+l-ecos3x,

23

即-/（-X）W/（X+7T）,所以仁,0j不是/（X）图象的一个对称中心，故C错误;

D：因为/'（X）=-sinx-sin2x-sin3x=-[sin（2x-x）+sin（2x+x）]-sin2x

=-2sin2x•cosx-sin2x=-sin2x•（2cosx+1）

当时,sin2x>0,2cosx+1>0,止匕时/'（%）<o；

sin2x<0,2cosx+1>0,此时>o；

当工£[,兀）时，sin2x<0,2cosx+1<0

此时/'（%）<0;

可知/（X）在10看）上单调递减，在上单调递增，在［1,无］上单调递减,

所以/'（x）在区间（0m）内不单调递减，故D错误;

故选：B.

【点睛】关键点点睛：对于复杂的函数性质问题，可以通过举反例的形式说明其错误，这样

可以简化计算和推理.

9.ACD

【详解】根据频率分步直方图、样本的数字特征等基础知识判断即可.

【试题解析】选项A：高一年学生成绩的众数为区间［70,80］的中点横坐标，故A正确；

选项B：高二年学生成绩得分在区间［40,60）的学生人数频率为（0.0025+0.0025）x10=0.05,

所以低于60分的比率为5%,故B错误；

选项C：高一年学生成绩的平均数约为

45x0.04+55x0.11+65x0.18+75x0.35+85x0.22+95x0.1=74分；

答案第5页，共21页

高二年学生成绩的平均数约为

45x0.025+55x0.025+65x0.1+75x0.25+85x0.4+95x0.2=80.75分，

因为74<80.75,故C正确；

选项D：高一年学生成绩的中位数位于［70,80),高二年学生成绩的中位数位于［80,90),故

D正确；

故选：ACD.

10.BC

【分析】函数的基本性质判断A,B,应用导函数求解函数的单调性判断D,应用导函数判断极

值存在性判断C.

【详解】A选项：当至少一个不为0,则函数/(无)为三次函数或者一次函数，值域均为

R;当6均为0时，值域为{1},故A错误；

B选项：函数g(x)=/(尤)-1=办'-法满足g(-尤)=-&+6x=-gG),可知g(x)为奇函数，

其图象关于(0,0)中心对称，

所以/'("的图象为g(无)的图象向上移动一个单位后得到的，即关于(0,1)中心对称，故B

正确；

C选项：f'(x)=3ax2-b,当H<0时，3办2-6恒大于0或者恒小于0,所以函数f(x)在R

上单调，无极值.故C正确；

D选项：y=3ax2—b,当6—3a>0时，取a=—1,6=—1,当xe时，

I33)

/'(X)=-3尤2+1>0J(x)在区间上单调递增，D选项错误.

故选:BC.

11.ACD

【分析】对于A,确定M点轨迹，即可判断；对于B,结合双曲线定义进行判断；对于C,

求出M点轨迹方程，联立方程或利用向量数量积判断与圆的交点情况，即可判断；对于D,

求出动点M的轨迹方程，进而求解数量积最值，即可判断.

【详解】选项A：因为|九阴|+|〃周=2=由国，所以W的轨迹为线段用"

从而〃的轨迹的长度等于2,故A正确；

答案第6页，共21页

选项B：因为|九明|-|初用=1,由双曲线的定义知，M的轨迹是以片,乙为焦点的双曲线的

右支，

而结论的方程中未限制范围，故B错误；(由c=l,2a=l,得〃的轨迹方程为

4X2-^=1(X>0))

选项C:解法一：由|儿/卜|九里|=4,得"(x+l)2+y2.J(x_l)2+y2=4,

2

化间得，(M+jZ+i)_4X=16,联“八',得厂=一>6,

I.)[X2+/=64

这与/46矛盾，所以方程组无解，故M的轨迹与圆-+V=6没有交点，故C正确;

解法二：若有交点M(x,y),则町工=(-l-x,-y)•)=x2+)2_]=5,

又说.访=|西]访cos而叱=4cos近研44,矛盾，

所以”的轨迹与圆/+必=6没有交点，故C正确；

选项D：

\MF.\I----------,----------

解法一：由^^=2得，V(x+1)2+^2=2/x-l)2+y2,

化简得口一+/=g，

所以M的轨迹是以，,oj为圆心，半径为g的圆,

威•西等于血在x轴上的投影的长度，

由图知其最大值为3,故D正确；

解法二：同法一得M的轨迹是以底为圆心，半径为g的圆,

OM-OF^={x,y}(l,0)=x,由圆的方程知x可取到最大值3,故D正确;

答案第7页，共21页

由回

解法三:由鹿I=2得，|阿|一|"|=|"归闺阊=2,|MO以。可+|3|43,

当M在巴耳的反向延长线上时取等号，

①两•配=^O|COSZMOF2<^0\<3；

②当M在匕片的反向延长线上，且卜2时，

满足条件匕^=2,此时OM.。月=3,

\MF2\

所以两•近的最大值为3,故D正确；

故选：ACD.

12.-2

【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.

【详解】由题意得函数>=lnx的导函数为>=工，故在x=2处切线的斜率为

x2

直线内->+1=0的斜率存在为4,根据题意得，-1，解得。=-2.

故答案为:-2.

13A/5+1

.2

【分析】由双曲线的几何性质确定〃力,。之间的等式关系，即可求解.

22

【详解】解法一：不妨设双曲线氏1―—=l(q>0,6>0),

ab

令x=c,可得》=±_L,所以|4用二空.

aa

QL2

依题意可得，|/巧=I耳典,所以丝=2c,

a

又白,所以/-碇-/=o,解得：£=上Y1,

a2

又因为c>a>0,所以

a2

解法二：如图，连结/片，在RtA"；旦中，

答案第8页，共21页

2c2cV?+1

所以离心率〃五=所卜二了.

22

解法三：山闾=2c,依题意知/(c,c)在曲线上，故二一」=1,

ab

整理得3/+1=0,/=出5(取正)，

2

故答案为：叵止.

2

14.—/0.0625.

16

【分析】利用古典概率模型以及等差数列的定义即可求解.

【详解】由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，

可以按照公差为-3,-2,-1,0,1,2,3分类，其中公差为-3,-2,-1和3,2,1的做法数对应相等.

公差为0的有(1,1,1),(2,2,2),…,(8,8,8)共8种做法;

公差为1的有(1,2,3),(2,3,4),…(6,7,8)共6种做法,同公差为-1的；

公差为2的有(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(4,6,8)共4种做法，同公差为-2的;

公差为3的有。,4,7),(2,5,8)共2种做法，同公差为-3的；

所以三个数恰好构成等差数列的概率P=8+6x：+：x：+2x2=^L=L

8x8x851216

故答案为:J.

16

71

15.⑴％=

(2)q+c=3+-\/3

答案第9页，共21页

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解;

（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.

【详解】（1）依题意，由正弦定理可得smCTinS,sin、一）

sinCsinC

所以sinC—sinB=sin(4—5),

又sinC=sin[兀一(4+5)]=sin(4+5),

所以sinB=sin(%+5)-sin(4-5)=2cos力sinS,

因为所以sinBwO,所以cos/=g,

又Z£（o,兀），所以4=g.

（2）解法一：如图，由题意得，S»BD+S-CD=SMBC，

ITT1IT1TT

所以一c,4Osin—+—6・/Z)sin—=—b・csin—,即6=2c,

262623

又b=AC=,所以c=

所以。2=/+。2-2bccos巴=9,即。=3,

3

所以。+。=3+下.

解法二：如图，A/CD中，因为/O=2,NC=26,NC4D=^,

6

由余弦定理得，CD2=22+(2V3)2-2x2x2V3cos-=4,

6

TT

所以。。=4。=2,所以C=/C/O=—,

6

所以8=兀-4-。二万,

所以a=bcos—=3,c=bsin—=VJ,

66

所以。+。=3+\/3.

16.（1）证明见解析

答案第10页，共21页

⑵嘤

【分析】（1）取/C中点N,利用线面平行的判定性质，结合圆柱的结构特征推理即得.

（2）以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面C8Q、平面C4。1的法向量，再利用面面

角的向量求法求解即得.

【详解】（1）取/C中点N,连结MN,O、D,DN,如图，

由分别为5C,/C的中点，得AW//AB,MN=-AB=AO,

21

由圆柱上下底面平行，且与平面NQOQ交于AO2和OXD,

得/Q//。。，且则MV//Q。且=

因此四边形肱⑦Q为平行四边形，OtM//ND,又QMcZ平面平面/CD,

所以〃平面/CD.

c

(2)由/C=l,BC=G,/3为底面直径，得44c2=90°,N8=2,

由圆柱。。2的体积=兀，/。；,。。2=兀，得。。2=1，

过C作CE_L平面48C,则C£_LC4C£，C3,又CALCB,

以C为原点，直线C4,C8,CE分别为"/轴建立空间直角坐标系,

则3(0,00),O,(1,y-,l),C(0,0,0),/(1,0,0)，CB=(0,瓜0),CO,=(1,y-，l),c2=(1,0,0)，

答案第11页，共21页

mCB=5/3^=0

设平面CBOX的法向量为而=（5,％zJ则_.1J3，令三=2,得

mCO,=-xl+—yl+z]=O

m=（2,0,-l）,

n-CA=%=0

设平面aq的法向量为力=（尤2，%,zJ,贝卜心西=；X2+g为+Z2=0，令%=2,得

设二面角8-。。-/的大小为6,贝叫°segc°s衡⑹仁群二表

2

于是sing=Vl-cos0=%=±/j2.,

V3535

所以二面角8-。0-/的正弦值为皿画.

35

x2V2

17.（1）—+^-=1

95

⑵（0,2）

【分析】（1）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解;

（2）解法一：设/*=叼-2（加W0）,利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点48的

纵坐标之比，利用韦达定理可求出43的纵坐标之比的取值范围，从而可求解;

解法二：设/：了=左卜+2）,木40,将面积之比表示为点A,B的纵坐标之比，利用韦达定理可

求出A,B的纵坐标之比的取值范围，即可求解.

【详解】（1）因为e2=;=Jt=3,所以5/=9万,

矿a29

因为点J,外在椭圆上，所以:+1=1.

即4三+2三5=1，解得/=9,所以/=5，

a5a

22

所以椭圆E的方程为土+匕=1.

95

（2）

答案第12页，共21页

解法一:

由（1）得片（一2,0）,依题意设/:。=叼-2（加彳。）,

二+匕=[

由95一'消去x,M（5m2+9）r-20mj-25=0,

x=my-2

20m

5m+9

设4（久1，乃），8（久2，、2），则

-25

5m+9

设M（x”y0）,贝＞]”=归三,

邑周忸以2卜2

20m

（必+%）2-16m2

由V-25得'

5m2+9

^2=WT?

即&+&+2=/i

y2yx5m+9

因为/所以＜g所以一T（蒜

所以一詈色放+2＜0,

令丛=＜0且（wT）,

%

则一3＜，+1+2＜0,解得一5＜，＜-,，且fw-l,

5t5

]S

所以0＜笠+1|＜2,所以方的取值范围为（0,2）.

解法二:

由（1）得耳（一2,0）,依题意设/:y=2（x+2）（人工0）,

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[22

工+匕=1

由<，95'7肖去',得（9左2+5）工2+36左2》+36左2-45=0,

y=k{x+i）

-36k2

设A0141）,8（X2,丫2），则彳25小

36k-4f

I129k2+5

%+%=k\xx+x2）+Ak=

所以2；2，

%%（否+2）（X2+2）=

、yK+J

设M（%,”），则”=归三，

S15,闺闻仇I

s2gM£1•闪

令二=，“<0且/w-1）,

%

20k,20k

%十%=？FT?（'+A24?

则％=%代入；3可得，

—ZJK12-25E

仇―9r+5'

（Z+1）2-16

消去％得:

~t~9k2+5

因为后2>o,所以-『藁帝<0,

所以一史<“土1广<o,解得一5</<」，且踪-1,

5t5

所以0<与+1|<2,所以"的取值范围为(0,2).

2»2

18.(1)证明见解析

⑵Cj与C2的一条对称轴为直线/：/=x,/是Cj与Cz的唯一对称轴

(3)证明见解析

【分析】(1)利用导函数与函数单调性、最值的关系结合隐零点证明；

(2)利用两函数成反函数关系可确定对称轴为并用反证法思想证明有且仅有一条对

称轴；

nx

（3）设4（再,111^）,31（尤2,12），鸟（工3，/），4（%”）,Sx4<^<x2,x4<x3<x2,利用正方

答案第14页，共21页

形的性质特征建立四个顶点横坐标之间的等量关系，进而确定正方形边长为

国囱=也产一huj=e』一七,；<七<1,构造函数即可证明.

【详解】(1)要证原命题，只需证e“-lnx>0,

设函数户(x)=e，Tnx,其导函数为r(x)=e'-1,x>0,

显然尸'(x)在(0,+8)单调递增，

且尸"一2<°，尸'(l)=e-l)°，

故存在唯一的％e[J满足/(%)=0,即e'。=J,

从而可得在(0,x。)上，P(x)>0*(无)单调递减；

在(x°,+e)上，/'(尤)>0,户(x)单调递增；

所以FQ)在x=%o处取到最小值/(%)=1°-120，

,x1

其中e°=一，即/=—lnx0,

所以尸(%0)='+%0>2>。得证.

(2)G与的一条对称轴为直线/:y=x,

且/是G与&的唯一对称轴，

证明如下：

。2：»=0-=。',所以〉=/在工=0处的切线斜率为1,切点为(0,1),

所以切线方程为y=x+l,所以结合函数图像可知e'21+x,当且仅当x=0时取等号，

即曲线a与直线4：y=X+1相切于点2(0,1),

且曲线G在直线4的上方(除点。)；

G:y=lnx,y'=L所以>=加在x=l处的切线斜率为1,切点为(1,0),

X

所以切线方程为y=xT,所以结合函数图像可知InxWx-l,当且仅当x=l时取等号,

即C1与直线4：y=x-l相切于点尸(1,0),

且曲线G在直线4的下方(除点尸)；

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而平行线4,4的距离为近，

故曲线。上的任意点与G上任意点的距离不小于41，

注意到己。两点距离恰为近，

故可得结论①：曲线。上的任意点与G上任意点的距离最小值为Q,

当且仅当这两点分别为尸,。时取到.

反证法：假设。与c2存在除/以外的其它对称轴厂，

那么尸关于/'的对称点尸'，

注意到P,Q两点关于直线/：y=X对称，故p在G上且异于点Q,

同理。关于/'的对称点。'，其中。'在Cj上且异于点尸，

根据对称性可得V2=\PQ\=\P'Q'\,

这与①矛盾，故假设不成立.故/是£与a?的唯一对称轴.

（3）由题意，不妨设4（占,1叫）,用（了2,11巾2），82卜3,e*），4（X4，e»）,其中

%<项<X[E<工3<,

并由（2）分析得4,为分别与a,当关于直线>=%对称，

可得_LI,I,且/=6,Im2=x,x=可,1%=x,

AYA2BXB2±3{4

由正方形可得忸闻U忸|可|,即小52-再）=应区-%3）

所以再=£,即正方形对角线4打，尤轴，

13

因为围囱=|,即行(e-ln.x2)=V2(lnx2-lnx1)

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%3

BPe+Im：]=21nx2.②

又因为再二七=hu：2,所以②式可化为e*+1叫=2n

故与为方程e'+lnx-2x=0的根,

即〃(%)=1+111¥-2%0>0)的零点为公，

S^jH,(x)=ex+i-2>jc+l+--2-x+--l>2.x---l=l>0,

xxxVx

所以a(x)在(o,+8)单调递增，

且〃(muC-lnZ-KoMlNe-Z)。，

所以;<再<1,

所以正方形的边长忸同=行―-1强卜行⑹一再)[<X]<1,

令夕⑺二亚(e'-x),(x>0),且忸也|="(xj,

^（x）=V2（ex-l）>0,所以9（x）在（0,+8）单调递增,

则e（xj>=&&-专,即正方形的边长大于近血-等,

所以正方形的周长£>4友人-2血>4x3-2.

【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于设4（再孙）心（％,g）,B2（X3,e&）,4（x4，叫,

其Z<占<%,Z<%<%,利用正方形的性质特征建立四个顶点横坐标之间的等量关系，进

而确定正方形边长为忸也|=行卜*3-山卜行@-西）,；"<1,构造函数，利用导函数与

函数的单调性与最值的关系即可证明.

19.的所有值为：3,5,7,9,43,3）=3.

1=1

⑵g+2

（3）证明见解析

【分析】（1）根据题目所给新定义列出4种不同可能即可求解；

（2）利用左=1,2猜想出q=3左+l,eN*）时，［（3应）=/（3,3左+1）=3后+3=g+2,再证明

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即可；

（3）利用放缩法和裂项相消求和的方法即可证明.

【详解】（1）因为3x3=3?,3X3=22+22+12,3x3=22+12+12+12+12+12,

3x3=12+12+12+12+12+12+12+12+12,

所以才为的所有值为：3,5,7,9,所以/（3,3）=3.

i=l

(2)当上=1时，探究展示如下表:

nn

a；=Pq=1212=122=432=9

Z=1i=l

项数23016

项数20306

项数力4208

项数彳81010

项数2120012

由上表可知，"3应）=f（3,4）=6=3+3=4+2.

当左=2时，探究展示如下表:

nn

Zai=pq=2112=122=432=9

Z=1Z=1

项数彳3029

项数彳0319

项数力42111

项数281113

项数2120115

项数2