分段函数与二次函数的单调性（4大压轴考法）原卷版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题12分段函数与二次函数的单调性

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................3

题型一、已知二次函数单调性求参数...........................................3

题型二、求二次函数的最值（范围）...........................................4

题型三、根据二次函数的最值（范围）求参数.................................4

题型四、分段函数单调性的应用................................................5

压轴能力测评（10题）...............................................6

”解题知识必备8

一、基本初等函数的单调性

1.正比例函数>=依（左20）

当%>0时，函数y=履在定义域R是增函数；当4<0时，函数y=依在定义域R是减函数.

2.一次函数丫=辰+6（无20）

当Q0时，函数丫=履+。在定义域R是增函数；当4<0时，函数丫=履+。在定义域R是减函数.

k

3.反比例函数y=—（左w0）

x

k

当左>0时，函数y=*的单调递减区间是（-8,0）,（0,+8）,不存在单调增区间；

x

当左<0时，函数y=A的单调递增区间是（-00,0）,（0,+00）,不存在单调减区间.

4.二次函数y=以2+fer+c（QwO）

若a>0,在区间函数是减函数；在区间［-幺，+oo）,函数是增函数；

2a2a

若a<0,在区间函数是增函数；在区间［-幺，+00）,函数是减函数.

2a2a

二、二次函数的单调性与最值

1.一元二次函数y=ox?+wO）

。＞0时，函数有最小值土£±；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大;

a＜0时，函数有最大值处二廿，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大;

2.一元二次函数y=/(x)=ax2+bx+c(a＞0)在区间［m,n］上的最值。

h

当一丁＜加，/COmax=/⑺，/("in=/(附

bi

b

一二〉"时，/(X)max=/(m)，/(尤)min=/(»)

三、分段函数中的单调性

(1)若已知分段函数f(x)=\^XU(“力(若x=a是分段函数定义域的连妾点)在定义域

/,(%),%e/2=(a,c)

/=/］o/2(/=R)上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件

①力(x)在/［上单调递增

②力口)在右上单调递增

③在连接点x=a必有＜(a)＜力(a)(即左端的值小于等于右端的值)

（2）若已知分段函数=3㈤（若x=a是分段函数定义域的连妾点）在定义域

=（a,c）

1=1^1^1=R）上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件

①力（x）在上单调递减

②力（》）在,2上单调递减

③在连接点x=。必有<（a）2人（a）（即左端的值大于等于右端的值）

（3）由分段函数中的值域确定参量取值范围

解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步

,工此段为具体函数

/（X）=<的值域为D

/（x）,xe/2f此段为含有参量的函数

首先把分段函数中的一段具体函数的值域A求出来

其次根据已知条件函数的值域为D，由=。确定出2的范围

最后通过。2的范围确定出参量的取值范围

“压轴题型讲练♦♦

【题型一已知二次函数单调性求参数】

一、单选题

1.（23-24高一上.江苏扬州.期中）若函数y=f-2"+1在区间［-2』上为单调增函数，则实数a的取值范

围为（）

A.a<-2B.a<-2C.a>lD.a>l

二、多选题

2.（23-24高一上•甘肃庆阳・期中）已知函数〃尤）=丁一〃氏+1在区间［3,8］上单调，则实数%的值可以是（）

A.2B.7C.14D.20

三、填空题

3.（24-25高一上•全国•课堂例题）若函数〃力=-/-2（a+l）x+3的单调递增区间是则实数a的

值为.

4.（24-25高一上•上海•随堂练习）已知函数〃x）=f-2（1-a）x+2在（-8,4］上是减函数，则实数。的取值

范围为•

5.（24-25高三•上海•课堂例题）已知/（x）=2加+5是定义域在R上的函数，若对于任意-1M<电<3,都

有"%）-〃％）>y,则实数。的取值范围是________.

xl—x2

【题型二二次函数的最值（范围）】

一、解答题

1.（24-25高一上•上海•课后作业）求函数〃力=4工2-4办+/-2。+2在［0,2］上的最小值.

2.（24-25高一上•全国•课前预习）已知函数“天卜%2-2彳-3.

⑴若尤e［0,2］,求函数〃x）的最值；

⑵若xe印+2］,求函数〃尤）的最值.

3.（23-24高一上•天津静海•阶段练习）已知函数〃力=2/+〃箕+〃的图象过点（11）,且满足/（—2）=/（3）.

⑴求函数“X）的解析式：

⑵求函数“X）在。+2］上的最小值；

4.（23-24高一上•北京•期中）已知二次函数/（尤）=2/-（4-2左）》+；.

⑴若存在无使/（x）<0成立，求人的取值范围；

⑵当左=0时，求“X）在区间［2a,a+1］上的最小值.

5.（24-25高三上•江西•开学考试）已知函数/（x）=£+x-3/+L（/eR）.

⑴若〃尤）在（十,2）上单调递增，求/的取值范围；

（2）若1>0,设函数在区间上的最大值为g（t）,求g⑺的表达式，并求出g（。的最小值.

【题型三根据二次函数的最值（范围）求参数】

一、单选题

1.（24-25高一上•北京•开学考试）已知二次函数了=m2一27nx（机为常数），当-14x42时，函数值y的

最小值为-2,则他的值是（）

、2

A.—2B.1C.2或—D.—1

3

二、多选题

2.（23-24高一下.全国•课后作业）二次函数y=d+（2a-1）尤-3在1,3］上最大值为1,则实数。值为（

C.—D.—1

4

3.（2024高三.全国.专题练习）若二次函数〃力=办2+2"+1在区间［—2,3］上的最大值为6,则〃等于（）

A.—B.—C.—5D.5

33

三、填空题

4.（2023高一上•浙江台州•专题练习）当加-机时，二次函数产了2-2%-3的最大值为5,则机的值

是•

四、解答题

5.（24-25高三上•江苏宿迁•阶段练习）已知函数/'。）=4/一4办+。2一2。+2.

⑴若a=2,求函数/（尤）在区间（-1,2）上的值域；

⑵若函数/（尤）在区间［0,2］上有最小值3,求。的值.

【题型四分段函数单调性的应用】

一、单选题

无2+2ax+\6,x<2

1.（23-24高一上•浙江宁波・期中）已知函数〃x）=在定义域上单调递减，则实数。的取

-----,x>2

—1

值范围是（）

A.[<-2]B.(—,一2]C.(^»,0)D.(-4-2]

（2a—1）尤+l,x<2

2.（23-24高一上•山东•期中）已知函数/（尤）=4是R上的单调增函数，则实数。的取值范

x+—,x>2

£45j_5

B.C.D.

29524254

——ax—5,%«1

3.（23-24高一上•福建莆田•阶段练习）已知函数〃x）=°对办,%©%且玉NZ都有

—,X>1

/（玉）一/（%）>0成立，贝壮的取值范围是（）

玉-x2

A.-3<a<0B.-3<a<-2

C.aK—2D.a<0

[Y2—2X<1

4.（23-24高一上•云南曲靖・期中）已知函数〃x）=②~।的最小值是-2,则实数。的取值范围是

\cix—x+2,%>1

（）

5.（22-23高一上•广东深圳•期中）已知函数=<2二，若存在石,马€巴尤产马，使

\X-CLX,X21

/（%）=/（尤2）成立，则实数〃的取值范围是（）

A.[0,2）B.（-oo,0]C.（-co,0]u[2,+oo）D.（-00,0]u（2,+oo）

♦♦压轴能力测评8

一、多选题

/、/+（2+b\x—1,xc0

1.（22-23高一上河北保定•期末）若函数〃x=/*'、c在R上为单调减函数，则实数6的值

（2Z?-l）x+Z?-2,x>0

可以为（）

A.0B.-1C.-2D.——

2

x2-ax+5,x<1

2.（23-24高一上.山西太原.阶段练习）已知函数〃"=〃是R上的减函数，则实数4的取值

—,x>l

可以是（）

5

A.—B.1C.2D.3

2

二、填空题

3.（24-25高一上•上海•随堂练习）若函数、=/+2024（4-l）x+2在（e,4048]上是严格减函数，则实数a

的取值范围是.

4.（23-24高一上.河北.阶段练习）已知函数〃x）=,在R上是单调函数，则a的取值范围

[-X+2x-7,x>2

是.

三、解答题

5.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知函数>（%）=2/一10%,无«"+1]的最小值为g（。，求g⑺的表达

式.

6.（23-24高一上•重庆巴南•阶段练习）已知二次函数/（元）=依2+bx+cJ（O）=l,/（l）=。，且对任意实数x

均有〃x）20成立.

⑴若函数/（力的解析式；

⑵若函数g（