61平面向量的概念(析训练)-2021-2022学年高一数学满分计划（人教A版2019）

20212022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.1平面向量的概念一、单选题1．（2021·全国·高一课时练习）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（2021·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数3．（2021·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的是（）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④4．（2021·上海·高一课时练习）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④5．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和6．（2021·天津市新华中学高一阶段练习）下列命题正确的是（）A．若，则、、、四点构成平行四边形B．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同C．若、都是单位向量，则D．向量与是两平行向量7．（2021·全国·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的个数是（）①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行；⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A．2 B．3 C．4 D．59．（2021·云南省楚雄天人中学高一阶段练习）下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若，则；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．3 B．2 C．1 D．010．（2021·浙江丽水·高一期末）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则11．（2021·安徽·合肥一中高一期中）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．且 B． C． D．12．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（）A．18 B．24 C．36 D．42二、多选题13．（2022·全国·高一）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”14．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共线 D．15．（2021·福建·大同中学高一阶段练习）下列关于向量的结论：其中正确的选项为（）A．若，则或，B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反；C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；D．若向量与同向，且，则.16．（2021·江苏常州·高一阶段练习）设、都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使成立的是（）A． B． C． D．17．（2022·全国·高一专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是（）A．与相等的向量(不含)只有一个B．与的模相等的向量(不含)有9个C．的模是的模的倍D．与不共线18．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中不正确的是（）A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线C．若非零向量与共线，则D．四边形ABCD是平行四边形，则必有三、填空题19．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.20．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.21．（2021·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________．22．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①都是单位向量;②∥∥③与相等的向量有3个;④与共线的向量有3个;⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.其中正确的是____.(填序号)23．（2021·上海·上外浦东附中高一阶段练习）下列命题中正确的是______①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；24．（2021·上海市进才中学高一期中）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.①零向量平行于任意向量；②对于非零向量，若，则；③对于非零向量，若，则；④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.四、解答题25．（2021·全国·高一课时练习）1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．(1)在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？(2)是否存在的相反向量？26．（2021·全国·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.27．（2021·江苏·高一课时练习）如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.（1）写出与相等的向量；（2）写出与共线的向量；（3）向量与是否相等？28．（2022·全国·高一）是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：（1）分别找出与，相等的向量；（2）找出与共线的向量；（3）找出与模相等的向量；（4）向量与是否相等？参考答案：1．C【解析】【分析】既有方向，又有大小的量为向量【详解】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C2．A【解析】【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.【详解】A：与的长度相等，方向相反，正确；B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C：零向量的方向任意，故错误；D：向量的模是一个非负实数，故错误.故选：A3．D【解析】【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D4．D【解析】【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤.【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②∥，则与为共线向量，故不正确；③，向量的模长是非负数，故正确；④｜｜=1，故正确；⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.故选：D.5．B【解析】【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选：B.6．D【解析】【分析】利用共线向量的定义可判断A选项的正误；利用向量相等的定义可判断BC选项的正误；利用平行向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错；对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错；对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向不一定相同，故、不一定相等，C错；对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对.故选：D.7．C【解析】【分析】根据相反向量的定义即可判断A；由向量不能比较大小即可判断B；根据共线向量的定义即可判断C；当时，即可判断D.【详解】解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；因为向量不能比较大小，故②错误；若，则向量方向相同，故③正确；当时，向量的方向不能确定，故④错误.所以正确说法的个数是2个.故选：C.8．A【解析】【分析】根据向量的定义判断．【详解】①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．正确的有两个．故选：A．9．C【解析】【分析】根据向量的定义判断．【详解】（1）由相等向量的定义知（1）正确；（2）平行且模相等的两个向量，可能方向相反，不相等，（2）错；（3）不相等的两个向量，模可能相等，例如所有单位向量模都是1．（3）错；（4）根据相等向量的定义知（4）错．因此只有1个命题正确．故选：C．10．D【解析】【分析】根据向量相等、向量共线的定义或性质，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；B：时，，不一定相等，错误；C：若为零向量时，，不一定有，错误；D：说明，同向，即，正确.故选：D11．D【解析】【分析】结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项.【详解】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，所以是成立的充分条件，故选项D正确；故选：D.12．A【解析】【分析】根据向量的定义确定，考察向量的方向与长度．【详解】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个，长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个，长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个．故选：A．13．AD【解析】【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.14．BC【解析】【分析】对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为，所以B正确，对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，对于D，因为，所以D错误，故选：BC15．BC【解析】【分析】根据相等向量、相反向量的定义，非零平行向量关系，逐项判定，即可得出结论.【详解】若，但方向不能确定，选项A错误；非零向量与平行，则与的方向相同或相反，选项B正确；根据向量相等的定义，选项C正确；向量不能比较大小，选项D错误.故选：BC.16．AD【解析】【分析】分析可知、方向相反，由此可出合适的选项.【详解】因为与同向的单位向量为，与同向的单位向量为，若，则、方向相反.故选：AD.17．ABC【解析】【分析】根据向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐项判定，即可求解.【详解】因为，所以与相等的向量只有，所以A正确；与向量的模相等的向量有：，所以B正确；在直角中，因为，所以，所以，所以C正确；因为，所以与是共线向量，所以D不正确.故选：ABC.18．ABC【解析】【分析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得.【详解】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；C中，向量与共线，说明与方向相同或相反，与不一定相等，所以C中命题不正确；D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确.故选:ABC【点睛】本题考查了相等向量,相反向量,共线向量的概念,属于基础题.19．【解析】【分析】（1）通过计算向量的模进行判断即可；（2）通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线.【详解】结合图形可知，（1）；（2）因为，所以，所以向量共线，.答案：（1）（2）20．3【解析】【分析】由相等向量的模长、方向均相同，结合几何图形写出的相等向量，即知个数.【详解】由题图知：与向量相等的向量有，∴共有3个.故答案为：321．②③##③②【解析】【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若,，则，显然正确，故③正确；对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.故答案为：②③22．①②④⑤【解析】【分析】根据平面向量的概念几何平面图形的性质逐个分析即可求出结果.【详解】①由两菱形的边长都为1，故①正确;②正确;③与相等的向量是，故③错误;④与共线的向量是，故④正确;⑤正确.故答案为：①②④⑤23．②【解析】【分析】根据相等向量的概念判断①、②、③；考虑的情况，由此判断④.【详解】①因为，而方向不一定相同，所以不一定成立，故错误；②相等向量具有“传递性”，故正确；③的充要条件是且方向相同，故错误；④当，此时不一定成立，故错误；故答案为：②.24．①③【解析】【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②错误；对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.故选：①③