专题11双曲线（重难点突破）（原卷版）-2021年秋季高二数学上学期讲义（人教A版）

专题11双曲线一、考情分析二、考点梳理考点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，点P不存在．

考点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长考点三、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)，也叫通径．2、与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.三、题型突破重难点题型突破一双曲线的定义及其应用例1、（1）、双曲线的渐近线方程是（）A． B．C． D．(2)、设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．(3)、（2022·全国高三专题练习）已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（）A． B． C． D．【变式训练11】、（2021·全国高三月考（文））双曲线的焦点坐标（）A． B． C． D．、【变式训练12】、已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点，与的内切圆切于点，则的最小值为()A． B． C． D．【变式训练13】、（2021·银川三沙源上游学校高二期末（理））命题“”是命题曲线表示双曲线的（）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件例2．（1）、（2021·全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线（2）．（2021·全国高二课时练习）已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.【变式训练21】、（2021·全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（）A．双曲线 B．射线C．线段 D．双曲线的一支或射线【变式训练22】、（2021·全国高二课时练习）已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程.

重难点题型突破二双曲线的标准方程例3、(1)已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点是右支上一点，若，且，则的离心率为（）A． B．4 C．5 D．(2)过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为()A． B． C． D．【变式训练31】、（2021·东城·北京二中高二月考）过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与轴交于点，若线段的中点为双曲线的虚轴端点（为坐标原点），则双曲线的离心率为___________.【变式训练32】、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（）A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1

例4、（2021·全国高二课时练习）设动圆的半径为，分别求满足下列条件的动圆的圆心的轨迹方程．（1）与圆内切，且过点；（2）与圆外切，且与圆内切．【变式训练41】、（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．

重难点题型突破三双曲线的几何性质及其应用例5、（1）(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±2x D．y＝±eq\f(1,2)x（2）、（2021·内蒙古包头·（理））设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则当的面积最大时，C的方程为（）A． B． C． D．【变式训练51】、（2021·湖北）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【变式训练52】、（2021·嘉峪关市第一中学（理））如果双曲线的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线，则该黄金双曲线C的虚轴长为（）A．2 B．4 C． D．

例6．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．（1）求，的最小值；（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．【变式训练61】、（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．（1）求双曲线C的标准方程和离心率；（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．

四、定时训练（30分钟）1．（2021·贵州贵阳·高三月考（文））双曲线的右焦点到渐近线的距离为_______.2．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的焦点坐标为____________，离心率为____________.3．（2021·东城·北京二中高二月考）双曲线的焦距为___________.4．（2021·全国高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．5．（2021·榆林市第十中学（理））已知双曲线（，），直线与的右支分别交于点、，与轴交于点.若，则的渐近线方程为______.6．（2021·全国）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A． B． C． D．7．（2021·江苏高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1）焦点在轴上，，经过点；（2）经过、两点．

8．（2020·江苏）已知．（1）若表示双曲线，求实数的取值范围；（2）若表示焦点在轴上的椭圆，且是中的充分不必要条件，求实数的取值范围．9．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的