高中数学选修2122综合试题

/高中数学选修2-1、2-2综合试题班级姓名得分选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数z的虚部记作Im（z），若z=，则Im（）=（） A．2 B．2i C．－2 D．－2i2．考察以下列命题： ①命题“”的否命题为“若” ②若“”为假命题，则p、q均为假命题 ③命题p：，使得；则：，均有 ④“”是“”的充分不必要条件则真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．43.在平行六面体中，为及的交点。若，，则及相等的向量是（）A．B．C．D．4．由直线曲线及轴所围图形的面积为（）A．- B．C． D．5．已知抛物线上有一点M（4，y），它到焦点F的距离为5，则的面积（O为原点）为（） A．1 B．2 C． D．6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：……①②③按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B． C． D．7．在正三棱柱中，若，则及所成角的大小为（）A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数若则或；类比向量若，则或②实数有类比向量有③向量，有；类比复数，有④实数有，则；类比复数，有，则其中类比结论正确的命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为(

)

A．

B．

2

C．

D．

10．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度及球半径（）A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。请将答案填在答题卷相应空格上。）11．表示虚数单位，则12．若命题“∈[1，3]，使a＋（a－2）x－2＞0”为假命题，则实数x的取值范围是______13．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.14．在长方体ABCD-ABCD中，若AB=BC=1，AA=2，则A到直线AC的距离为15．设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则=；当ｎ＞４时，＝（用含n的数学表达式表示）三、解答题：（本大题共6小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、(本题满分12分)已知m＞0，p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．17、(本题满分12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。18、（本题满分12分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。（1）求异面直线及所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面的所成角的正弦值。19、（本题满分12分）在平面直角坐标系O中，直线及抛物线＝2相交于A、B两点。（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。20、（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21、（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)－2lnx，f(1)＝0.（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′(eq\f(1,an－n＋1))－n2＋1，已知a1＝4，求证：an≥2n＋2.高中数学选修2-1、2-2综合试题参考答案ACABBADBCD16、1；[－1，2/3]；；；5，．16、17、(1)a1＝,a2＝,a3＝,猜测an＝2－(2)①由（1）已得当n＝1时，命题成立；②假设n＝k时,命题成立，即ak＝2－,当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－,ak＋1＝2－,即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N+,an＝2－都成立18、解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、COS<>所以异面直线及所成角的余弦为（2）设平面的法向量为则，则，故BE和平面的所成角的正弦值为19、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l及抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴。当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.又∵x1=y12,x2=y22,∴=x1x2+y1y2==3.综上所述,命题“”是真命题.解法二：设直线l的方程为my=x－3及=2x联立得到y2-2my-6=0=x1x2+y1y2=(my1+3)(my2+3)+y1y2=(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)×(-6)+3m×2m+9＝3（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2,可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。20．（Ⅰ）解：由，得.依题意△是等腰直角三角形，从而，故.所以椭圆的方程是.（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.将直线的方程及椭圆的方程联立，消去得.所以，.若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.设，则有.将，代入上式，整理得，所以.将，代入上式，整理得.由于上式对任意实数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.21、解：(1)因为f(1)＝a－b＝0，所以a＝b，所以f(x)＝ax－eq\f(a,x)－2lnx，所以f′(x)＝a＋eq\f(a,x2)－eq\f(2,x).要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.当a＝0时，则f′(x)＝－eq\f(2,x)＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．当a＞0时，要使f′(x)＝a(eq\f(1,x)－eq\f(1,a))2＋a－eq\f(1,a)≥0恒成立，则a－eq\f(1,a)≥0，解得a≥1；当a＜0时，由f′(x)＝a＋eq\f(a,x2)－eq\f(2,x)＜0恒成立，适合题意．所以a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)根据题意得：f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，得a＝1，所以f′(x)＝(eq\f(1,x)－1)2，于是an＋1＝f′(eq\f(1,an－n＋1))－n2＋1＝(an－n)2－n2＋1＝aeq\