中考数学复习：全等三角形备考提分专项训练（原卷版+解析）

第十二章全等三角形备考提分专项训练（原卷版）

第一部分考前知识梳理

一、全等三角形的概念与性质

能够的两个图形叫全等图形，能够.的两个三角形叫全等三角形.

性质：全等三角形的—相等,相等.

几何符号语言：

AABC^ADEF

AB=DE,BC=EF,AC=DF

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF

二、三角形全等的判定方法

1.的两个三角形全等.（“边边边”或“SSS”）

几何符号语言：

‘AB=A'B'

在4ABC和△ABC中,BC=B/C/

AC=A'C'

ZXABC之△A'B'C'（SSS）

2.分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

几何符号语言：

‘AB=AE

在4ABC和△AB。中，|NA=NA'

AC=A'C'

ZXABC之△A'B'C'(SAS)

3.分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

几何符号语言：

ZA=ZAzCC

在△ABC和△AB。中，［AB=A'B，

ZB=/B'

△ABCgZ\A'B'C'（ASA）

4.相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

定理应用格式：

ZA=ZA'

在4ABC和△AB。中，［ZB=ZB'

BC=BC,

△ABCgZ\A'B'C'(AAS)

5.分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

注意：

（1）“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、

"SAS"、"ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.

(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个RtzY书写格式为:

AB=AE

在RtAABC和RtZXAB。中,RtA

BC=B'C'

AB3RtZ\ABC'(HL)

三、角平分线的性质与判定

角的平分线的性质角3的平分线的判定

图形

0EBEB

0P平分NA0BPD=PE

已知

PD_L0A于DPD，0A于D

条件

PE，0B于EPE_L0B于E

结论PD=PE0P平分NA0B

四、几何证明的一般步骤

1.明确命题中的

2.根据题意画出图形，并用数学符号

3.经过分析找出的途径，写出证明过程。

第二部分数学思想方法

方法：转化思想

解读：转化思想就是把解决的复杂问题转化为另一个比较简单的问题来解决，即化难为易，化未知为已知,

本章中在证明线段和角相等时，常转化为全等三角形全等来解决。

典例：(2022秋•建湖县期中)己知：如图，在△ABC中，AB^AC,在△ADE中，AD=AE,且NA4C=N

DAE=36°,连接8。，CE交于点、P,连接4P.

(1)求证：BD=CE；(2)求N8PC的度数；

(3)求证：平分N2PE.

BC

第三部分常考题型突破

题型一全等三角形的判定

例1-1（2023春•南岗区期末）如图，平分NAOC,D、E、尸分别是射线。4、射线02、射线。C上的点，

D、E、尸与。点都不重合，连接E。、EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△。。石丝你认

A.OD=OEB.DE=FEC.ZODE^ZOEDD.ZODE^ZOFE

例1-2（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话

给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据，配出

来的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

例1-3（2022•益阳）如图，在中，ZB=90°,CD//AB,OEJ_AC于点E,HCE=AB.求证:

△CED名AABC.

例1-4如图，AD,8c相交于点O,且。4=OC,OB=OD,EF过点O,分别交A3、CD于点E、F,且/

AOE=ZCOF,求证：OE=OF.

题型二角平分线的性质

例2-1（2022秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，是它的角平分线，OELAC于点E.若8C=12tro,

DE=4cm,则△3。的面积为cm2.

例2-2（2022秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,BE平分NABC,CE±BE.求

证：BD=2CE.

第四部分全章模拟测试

一、选择题（每题3分，共21分）

1.（2021秋•香洲区校级期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）

A.◎◎B.⑤㊉C.U।HU0,

2.（2022•南关区期末）如图，AB//DF,>AB^DF,添加下列条件，不能判断的是（）

3.（2022秋•双辽市期中）如图，要测量湖两岸相对两点A,B的距离，可以在AB的垂线上取两点C,

D,CD=BC,再在BE的垂线DG上取点E,使点A,C,E在一条直线上，可得AABC注△EDC.判

定全等的依据是（）

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

4.（2022秋•天河区校级期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC,DELABE,BE=2,

5.（2022秋•沧州期末）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示,

若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）

A.△ABC三条高线的交点处B.ZXABC三条中线的交点处

C.△ABC三条角平分线的交点处D.ZkABC三边垂直平分线的交点处

6.（2022秋•上城区校级期中）如图，ABLCD,且A8=CZ）.E、尸是AO上两点，CE.LADfBFLAD.若

BF=a,EF=b,CE=c,则A。的长为（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

7.（2022秋•辛集市期末）如图，在△A3。和中，AB=AD,AC=AE,AB>AC,ZDAB=ZCAE=

50°连接BE,CD交于点F,连接AF.下列结论：①BE=CD；②NEFC=50°；③AF平分ND4E；④

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每题4分，共24分）

8.（2022秋•莱州市期中）如图，AABC冬ADBE,A、。、C在一条直线上，且/A=60°,ZDBC=28°,

则NE=.

9.（2021秋•宁津县期末）如图，在AABC中，ZC=90°,以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边

1

AC,A3于点M、N,分别以点M、N为圆心，以大于一MN为半径作弧，两弧交于点P,射线AP交BC

2

于点。，若CD=2,AB=5,则△ABD的面积为.

10.（2022秋・常州期中）如图,4。是448。的高,4。=8。,8£'=4。/&1。=70°，则NDBE大小为

11.（2022秋•海淀区期中）在△ABC中,4。是中线，已知AB=7,AC=4,则中线的取值范围是.

12.（2022秋•句容市期中）如图，在四边形ABC。中，/B=NC,AB=20cm.BC=15cm,点E为AB的

中点，如果点P在线段BC上以5cm/s的速度由点8向点C运动，同时，点。在线段C£）上由点C向点

20

D运动.若点。的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为_三_a加时，能够使△

与△C。尸全等.

13.（2023春•渠县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1,在中，/ABC=

2

90°,BD是高,E是△ABC外一点，BE=BA,/E=NC,若DE=押,AD=16,BD=20,求ABDE

的面积.同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在8。上截取（如

图2）.同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为一.

图1图2

三、解答题（共55分）

14.（2022秋•龙港市期中）已知：如图，AC=BD,AD=BC.求证：ZC=ZD.

AB

15.(2022春•垦利区期末)如图，已知8E_LAC,CFLAB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点。，若

BD=CD.求证：平分/8AC.

16.(2021秋•巢湖市期末)如图，在△ABC中，AO平分NBAC,ZC=90°,Z)E_LA8于点E,点尸在AC

上，BD=DF.

(1)求证：CF=EB.

(2)若48=12,AF=8,求CF的长.

17.(2022秋•深水区期中)如图，△ABCg/kAbC,AD和A。'分别是△ABC和△ABC的角平分线.

(1)求证：AD^A'D'；

(2)把第(1)小题中的结论用文字语言描述：；

(3)写出一条其他类似的结论：.

18.（2013秋•越秀区校级期中）已知四边形4BCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,Z

MBN=60°,/MBN绕B点旋转,它的两边分别交A。，0c（或它们的延长线）于E、F,

（1）当绕8点旋转到AE=CF时（如图1）,试猜想AE,CF,之间存在怎样的数量关系？请

将三条线段分别填入后面横线中：+=（不需证明）

（2）当NM8N绕B点旋转到AEWCP时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

第十二章全等三角形备考提分专项训练（解析版）

第一部分考前知识梳理

一、全等三角形的概念与性质

能够完全重合的两个图形叫全等图形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等.

几何符号语言：

AABC^ADEF

AB=DE,BC=EF,AC=DF\

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF---------

二、三角形全等的判定方法

1.三边分别相等的两个三角形全等.（“边边边”或“SSS”）

几何符号语言：

'AB=AE

在4ABC和△ABC'中,BC=B'C'

AC=A'C'

AABC名△A'B'C'（SSS）

2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

几何符号语言：

一AB=AE

在4ABC和△AB。中，＜NA=NA'

AC=A'C'

△ABCgZXA'B'C'(SAS)

3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

几何符号语言：

ZA=NA'CC

在AABC和△AB。中，［AB=A'B'

ZB=ZB1

，△ABCgZ\A'B'C'（ASA）

4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

定理应用格式：

ZA=ZA'

在4ABC和△A，BC中,{NB=ZB'

BC=B，C'

△AB3ZkA'B'C'(AAS)

5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

注意：

（1）“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、

“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.

(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个RtzY书写格式为:

AB=AE

在RtAABC和RtZXAB。中,RtA

BC=B'C'

AB3RtZ\ABC'(HL)

三、角平分线的性质与判定

角的平分线的性质角3的平分线的判定

图形

0EBEB

0P平分NA0BPD=PE

已知

PD_L0A于DPD，0A于D

条件

PE，0B于EPE_L0B于E

结论PD=PE0P平分NA0B

四、几何证明的一般步骤

1.明确命题中的已知和求证

2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证

3.经过分析找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。

第二部分数学思想方法

方法：转化思想

解读：转化思想就是把解决的复杂问题转化为另一个比较简单的问题来解决，即化难为易，化未知为已知,

本章中在证明线段和角相等时，常转化为全等三角形全等来解决。

典例：(2022秋•建湖县期中)己知：如图，在△ABC中，AB^AC,在△ADE中，AD=AE,且NA4C=N

DAE=36°,连接8。，CE交于点P,连接4户.

(1)求证：BD=CE；(2)求N8PC的度数；

(3)求证：拼平分/BPE.

E

A/^^~T7D

/\/jp

BC

【思路引领】(1)要证明BO=CE,只要证明g△C4E即可，根据题目中的条件，利用SAS可以

证明△BAD四△C4E；

(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以求得NBPC的度数；

(3)根据全等三角形对应边上的高相等，可以得到点A到8。边距离等于点A到CE边上的距离，再根

据角平分线的判定，即可得到B4平分尸旦

【解答】(1)证明：VZ.BAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD^ZCAE,

在△54。和△CAE中，

(AB=AC

UBAD=/.CAE,

(AD=AE

：.ABAZ)^ACA£(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：VZBAC=36°,AB=AC,

：.ZABC=Z.ACB=72°,

由(1)知：△BAD0△C4E,

ZABD=ZACE,

：.ZPBC+ZPCB=ZPBC+ZACB+ZACE=ZPBC+ZACB+ZABD=ZABC+ZACB=72°+72°=

144°,

ZBf>C=180°-(/PBC+NPCB)=180°-144°=36°,

即N5PC=36°；

(3)证明：VABAD^ACAE,

点A到BD边距离等于点A到CE边上的距离，

.•.点A在NBPE的角平分线上，

即PA平分/BPE.

【总结提升】本题考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、角平分线的判定，解答本题的关

键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

第三部分常考题型突破

题型一全等三角形的判定

例1-1（2023春•南岗区期末）如图，。8平分/AOC,。、E、尸分别是射线OA、射线。8、射线。C上的点，

D、E、F与。点都不重合，连接E。、EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE也△FOE.你认

A.OD=OEB.DE=FEC.ZODE=ZOEDD.ZODE=ZOFE

【答案】D

【思路引领】由。2平分/AOC,得/DOE=/FOE,由公共边OE=OE,可知添加条件NODE=NOFE,

即可根据A4s得△£＞。£注△FOE,可得答案.

【解答】解：平分/AOC,

ZDOE=ZFOE,

又OE=OE,

若添加条件NODE=NOFE,则根据A4s可得△DOE丝△△?£1,故选项。符合题意，

而添加条件OD=OE不能得到△QOE也故选项A不符合题意，

添加条件DE=FE不能得到故选项B不符合题意，

添加条件/ODE=NOED不能得到故选项C不符合题意，

故选：D.

【总结提升】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS.ASA.

SAS,SSS,直角三角形可用乩定理，注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等

时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

例1-2（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话

给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据，配出

来的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

【答案】C

【思路引领】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解答】解：A.利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；

B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；

C.AB,AC,NB,无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；

D根据/A,/B,BC,三角形形状确定，故此选项不合题意；

故选：C.

【总结提升】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

例1-3（2022•益阳）如图，在中，NB=90°,CD//AB,于点E,S.CE^AB.求证:

△CED乌LABC.

【答案】证明过程见解答部分.

【思路引领】由垂直的定义可知，ZDEC=ZB=90°,由平行线的性质可得，ZA=ZDCE,进而由ASA

可得结论.

【解答】证明：'：DE±AC,ZB=9Q°,

；.NDEC=NB=90°,

VCD//AB,

：.ZA=ADCE,

在△CEO和△ABC中,

2DCE=乙4

CE=AB，

/DEC—Z-B

AACED^AABC(ASA).

【总结提升】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定

理是解题基础.

例1-4如图，AD、相交于点。，且。4=0C,OB=OD,EF过点0,分别交A3、CD于点E、F,且/

AOE^ZCOF,求证：OE=OF.

思路引领：由SAS证明△A08冬△COD,得出对应角相等/A=NC,再由ASA证明△49E四△CQF,

得出对应边相等即可.

证明：在和△COD中，

0A=0C

Z-AOB=Z.COD，

OB=0D

：./XAOB^ACOD(SAS),

・・・NA=NC,

在△AOE和△CO/中，

乙4=ZC

OA=OC

AAOE=乙COF

：./XAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF.

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等

是解决问题的关键.

题型二角平分线的性质

例2-1(2022秋•西城区校级期中)如图，在△ABC中，。是它的角平分线，于点E.若8C=12cm

DE=4cm,则△BCD的面积为24cm2.

【答案】24.

【思路引领】如图所示，过点D作DFLBC于F,利用角平分线的性质得到DF=DE=4cm,即可利用

三角形面积公式求出答案.

【解答】解：如图所示，过点。作。尸，BC于尸，

平分NACB,DFLBC,DEVAC,DE=4cm,

DF=DE=4cm,

^：BC=\2cm,

11C

.:△BCD的面积=今BC・DF=方X12X4=24(cm2),

故答案为：24.

【总结提升】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等

是解题的关键.

例2-2(2022秋•肥东县期末)如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分/ABC,CEYBE.求

证：BD=2CE.

思路引领：延长BA交CE的延长线于F,先证明△BCE0△BFE,得CE=EF,再证明△△。/名△人台。

得BD=CF,从而有B£)=2CE.

证明：延长区4交CE的延长线于R

平分NA8C,

；./CBE=NFBE,

'：CE.LBE,

:./BEC=NBEF=9Q°,

•在△BCE和中，

2CBE=乙FBE

BEBE,

ZBEC=乙BEF=90°

:.ABCE咨ABFE(ASA),

：.CE=EF,

在△ABC中，VZBAC=90°,CELBE,

：.ZABD+ZADB=90°,

ZCDE+ZFCA^90°,

又,：NADB=/CDE(对顶角相等)，

：.ZFCA=ZABD,

•在△ACB和△AB。中，

^FCA=/.ABD

ABAC,

ZBAC=^FAC=90°

：./\ACF^/\ABD(ASA),

：.BD=CF,

：.BD=2CE.

解题秘籍：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是

作好辅助线：延长交CE的延长线于尸.

第四部分全章模拟测试

一、选择题（每题3分，共21分）

1.（2021秋•香洲区校级期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）

A.卷）◎

B.③㊉

【答案】B

【思路引领】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断.

【解答】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意;

2、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；

C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

D,两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意.

故选：B.

【总结提升】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题.

2.（2022秋•南关区校级期末）如图，AB//DF,且A2=OR添加下列条件，不能判断△ABC2△PL比的

是（）

A.AC=EFB.BE=CDC.AC//EFD.ZA=ZF

【答案】A

【思路引领】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可.

【解答】解：-：AB//DF,

：.ZABC=NFDE,

A、由AB=DF,AC=EF,不能判定/XABC/△FOE,故A符合题意；

B、由AB=DF,BE^CDBPBC^DE,通过SAS即可证明故8不符

合题意；

C、由AC〃所得/ACB=NP£D,ZABC=ZFDE,AB=DF,通过AAS即可证明△ABC也△尸DE,故

C不符合题意；

D、由AB=DF,NA8C=/FDE通过ASA即可证明△ABC丝△引9E,故。不符合题意；

故选：A.

【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

3.（2022秋•双辽市期中）如图，要测量湖两岸相对两点A,B的距离，可以在AB的垂线B尸上取两点C,

D,使Cr>=BC,再在BF的垂线。G上取点E,使点A,C,E在一条直线上，可得△ABC之△EDC.判

定全等的依据是（）

A

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

【答案】A

【思路引领】根据全等三角形的判定进行判断，注意题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选

择判断方法.

【解答】解：在△A5C和△或"；中

2ABC=Z.EDC=90°

BC=CD,

.Z-BCA=Z.DCE

：.AABC^AEDC（ASA）,

依据是两角及这两角的夹边对应相等.

故选：A.

【总结提升】本题主要考查了三角形全等的判定方法，熟记判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL是解决问题的关键.

4.（2022秋•天河区校级期中）如图，在△ABC中，/C=90°,AD平分NBAC,DELABE,BE=2,

BC=6,则△BOE的周长为（）

B

D

C

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【思路引领】先根据角平分线的性质得到DE=DC,然后利用等线段代换得到△BDE的周长=BC+BE.

【解答】解：平分/BAC,DELAB,DCLAC,

:.DE=DC,

ABDE的周长=BO+OE+BE=B£>+OC+BE=BC+8E=6+2=8.

故选：B.

【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

5.（2022秋•沧州期末）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示,

若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）

A.△ABC三条高线的交点处

B.AABC三条中线的交点处

C.ZXABC三条角平分线的交点处

D.△ABC三边垂直平分线的交点处

【答案】C

【思路引领】根据角平分线的性质进行判断.

【解答】解：：度假村到三条公路的距离相等，

这个度假村为△ABC的角平分线的交点.

故选：C.

【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

6.（2022秋•上城区校级期中）如图，ABLCD,且A2=CDE、尸是上两点，CE_LA。，BF±AD.若

BF=a,EF=b,CE=c,则AD的长为（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【答案】C

【思路引领】由余角的性质可得/A=NC,由“44S”可证可得AF=CE=c,DE=BF

=a,可得AD的长.

【解答】-：AB1.CD,CE±AD,BF±AD,

：.ZAFB=ZCED=90°,ZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,

/A=/C,

VZA=ZC,NCED=NAFB,AB=CD,

.'.△ABF/ACDE(AAS),

AF—CE=c,DE—BF=a,

*：EF=b,

AD=AF+DF=c+(a-b)=a-b+c.

故选：C.

【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

7.（2022秋•辛集市期末）如图，在和△ACE中，AB^AD,AC^AE,AB>AC,NDAB=NCAE=

50°连接BE,CD交于点R连接AF.下列结论：①BE=CD；②NEFC=50°；③AB平分NZME；④

【答案】C

【思路引领】先由/D42=/C4E=50°证明/8AE=N/MC=50°+ZBAC,即可根据全等三角形的判

定定理“&4S”证明△BAE丝△D4C,得BE=CD,可判断①正确；

设BE交AC于点G,因为NAE2=ZACD,所以/EFC=NCGE-ZACD=ZCGE-ZABE=ZCAE=

50°,可判断②正确；

作于点/,AACD于点J,由SABAE=S的C得初吁/加。。，则A/=AJ,即可证明El平

分NDFE,可判断④正确；

假设NZMP=/EAR则NDA产-NZMB=N£A尸-NCAE,所以NBA尸=/C4R由NAfD=NAPE,

ZBFD=ZCFE,^ZAFB=ZAFC,即可推导出△APBgZkAFC,得AB=AC,与已知条件相矛盾，可

判断③错误，于是得到问题的答案.

【解答】解：：ND4B=/CAE=50°,

/BAE=ZDAC=50°+ZBAC,

在△瓦IE和△ZMC中，

AB=AD

Z-BAE=Z-DAC>

AE=AC

AABAE^ADAC(SAS),

：.BE=CD,/AEB=/ACD,

故①正确；

设BE交4c于点G,

：.ZEFC=ZCGE-ZACD=ZCGE-ZABE=ZCAE=50°,

故②正确；

作AI±BE于点I,AJ±CD于点J,

,**S/\BAE=S/\DACf

：.^AI-BE=^AJ-CD,

.\AI=AJ,

二点A在/DFE的平分线上，

：.FA平分/DFE,

故④正确；

假设/。4尸=/班/，则/DAk-ZDAB=ZEAF-ZCAE,

：.ZBAF=ZCAF,

,：ZAFD=ZAFE,ZBFD=ZCFE,

：.ZAFD+ZBFD=ZAFE+ZCFE,

：.ZAFB=ZAFC,

在△AFB和△AFC中，

ZBAF=Z.CAF

AF=AF,

.^AFB=AAFC

：.AAFB^AAFC(ASA),

：.AB=AC,与已知条件相矛盾，

:./DAFW/EAF,

故③错误，

二①②④这3个结论正确，

故选：C.

【总结提升】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

8.（2022秋•莱州市期中）如图，AABC^/XDBE,A、D、C在一条直线上，且NA=60°,NDBC=28

则NE=32°.

【答案】32°.

【思路引领】由全等三角形的性质得到ZE=ZC,由等腰三角形的性质可求出NBZM=60°,

根据三角形外角的性质求出NC,即可得到/E的度数.

【解答】W：VAABC^ADBE,

：.AB=BD,NE=NC,

.,./A=/BZM=60°,

；/BDA=NC+/DBC,NO8c=28°,

AZC=60°-28°=32°,

...NE=32°,

故答案为：32°.

【总结提升】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

9.（2021秋•宁津县期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边

1

AC、A8于点M、N,分别以点M、N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点尸，射线AP交BC

于点D,若C£>=2,AB=5,则△A3。的面积为5.

【答案】5.

【思路引领】作DEA.AB于E,根据角平分线的性质得到DE=DC=2,根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：作于E,

由基本作图可知，AP平分NC4B,

：A尸平分/CAB,ZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=2,

一11

△ABD的面积=/XABXDE=忘x5X2=5,

故答案为：5.

【总结提升】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

10.(2022秋•常州期中)如图，AO是△ABC的高，AD=BD,BE=AC,ZBAC=70°,则/D8E大小为

25°.

【答案】25.

【思路引领】证明RdBriE丝Rt^AOC,根据全等三角形的性质得到/OBE=NZMC,根据等腰直角三

角形的性质求出/D4B=NDBA=45°,计算即可.

【解答】解：是△ABC的高，

AZADB=ZADC=90Q,

在RtABDE和RtAADC中，

(BE=AC

IBD=AD'

.,.RtABDE^RtAADC(HL),

NDBE=ADAC,

在Rt/XAOB中，AD=BD,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

VZBAC=70°,

.♦.ND4c=70°-45°=25°,

：.ZDBE=ZDAC=25°,

故答案为：25.

【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定

定理是解题的关键.

11.（2022秋•海淀区校级期中）在△ABC中，是中线，已知A8=7,AC=4,则中线的取值范围是

311

【答案】-<AD<^.

2乙

【思路引领】通过倍长中线，构造从而得到AB=CE=7,利用三角形三边关系可得

CE-AC<AE<CE+AC,再通过AD=力ZE即可求解.

【解答】解：如图，延长AD至E4DE=ADf连接CE,

•・・AO是△A3C的中线，

：.BD=CD,

在△A3。和△EC。中，

AD=ED

Z.ADB=乙EDC,

BD=CD

：.AABD^AECD(SAS),

：.AB=CE=1,

在△AEC中，根据三角形的三边关系可得CE-AC<AE<CE+AC,

即7-4VAEV7+4,

.\3<AE<11,

u

：DE=ADf

1

：.AD=^AE,

311

故答案为：-<AD<—.

22

【总结提升】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三

角形是解题的关键.

12.(2022秋•句容市期中)如图，在四边形ABC。中，ZB=ZC,AB=20cm.BC=15cm,点E为48的

中点，如果点P在线段上以5”n/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点

20

D运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为=时，能够使△

8PE与△CQP全等.

B

【答案】y.

【思路引领】设点。的运动时间为rs,运动的速度为xa〃/s,则CQ=xfaw,BP=5tcm,CP=(15-5t)

cm,由于NB=/C,当BE=CP,8P=CQ时，利用“AAS”可判断△BEPgzXCP。，即10=15-5t,

5t=W；当BE=CQ,时，利用“A4S”可判断△BEP丝△CQP,即10=xf,5f=15-53然后分

别解方程即可.

【解答】解：设点。的运动时间为ts,运动的速度为w%/s,贝IBP=5tcm,CP=(15-5/)

:点E为AB的中点，

BE—10cm,

•・,/B=NC,

:•当BE=CP,BP=CQ时,ABEP^ACPQ(SAS),

即10=15-5t,5t—xt,

解得/=1,x=5(舍去)；

当BE=CQ,8P=C尸时，/\BEP^ACQP(SAS),

即10=xb5/=15-5t,

解得t=I，x=冬

一20

综上所述，点。的运动速度为刀切而时，能够使△BPE与△CQ尸全等.

故答案为：

【总结提升】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；

选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

13.（2023春•渠县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1,在RtZVIBC中，ZABC=

2

90°,8。是高，E是△A3C外一点，BE=BA,NE=NC,若DE=^BD,A£>=16,BD=20,求△BOE

的面积.同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在8。上截取8尸=。£,（如

图1图2

【答案】64.

【思路引领】由/名△BDE,求出。尸的长，再由面积公式求得即可.

【解答】解：如图所示，连接AR

180°-ZBDA-ZBAD=90°-ZBAD,

ZC=180°-ZABC-ZBAD=90°-/BAD,

'：ZABD=ZC,

'：ZE=ZC,

'：NABD=NE,

在AABF与4BED中，

AB=BE

乙ABF=乙BED,

BF=DE

:•△ABFQXBED(SAS),

S/\ABF=S/\BDE,

11

：SAABD=^BD-XZ)=1x20x16=160,

2

VBF=jx20=8,

：.DF=BD-BF=2Q-8=12,

11

：.SMFD=IxAD*DF=Jxl2X16=96,

•S/\ABF=S/\ABD~S/\AFD,

S/\BDE=S/\ABF=160-96=64.

故答案为：64.

【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

三、解答题（共55分）

14.（2022秋•龙港市期中）已知：如图，AC^BD,AD=BC.求证：ZC=ZD.

AB

【思路引领】由AC=BD、BC=AD、根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC四△区4£）,

则/C=/D

【解答】证明：在△ABC和△54。中，

AC=BD

BC=AD,

.AB=BA

：.AABC^ABAD（SSS）,

.*.ZC=ZZ）.