北师大七年级数学知识点详细总结

人教版七年级知识点详细总结

七年级上册

第一章丰富的图形世界

一、几何图形

1.从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2.点、线、面、体

(1)几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

(2)点动成线，线动成面，面动成体。

二、生活中的立体图形

I上、,J圆柱:底面是圆面，侧面是曲面

1、枉体，

［棱体:底面是多边形侧面是正方形或长方形

妣圆锥：底面是圆面侧面是曲面

锥体［4棱锥:底面是多边形侧面都是三角形

球体：由球面围成的(球面是曲面)

2.棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面,n个侧面，共(n+2)个面；3n条棱,n条侧棱；2n个顶点。

3、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

三.从不同角度看

5.三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

7、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成

(n-2)个三角形。

弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

第二章有理数及其运算

一.正数和负数

1.正数：大于0的数叫做正数。

2.负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

3.0既不是正数也不是负数。

二.有理数

1.有理数：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有

理数。

2.有理数的分类

正有理数「

有理数零心

负有理数匚

整数r

有理数y

I分数

4.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零

5.数轴：规定了原点（在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点）、正方向（通

常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向）和单

位长度（选取适当的长度为单位长度）的直线叫做数轴。画数轴时，要注意

上述规定的三要素缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。

6.倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1

和-1。零没有倒数。

7、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对

（|a|N0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a,则a》0；若|a|=-a,

则aWO。

8、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两

个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

三.有理数的运算

1.有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去

较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律:有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和

不变。

表达式：(a+b)+c=a+(b+c)

2.有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+(-b)

3.有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：ab=ba

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：(ab)c=a(be)

乘法分配律:一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积

相加。

表达式：a(b+c)=ab+ac

4.倒数

除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，则这两个数的积等于

5.有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。。除以任何一个不

等于0的数，都得0.

6.有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做累(power)。an

中，a叫做底数(basenumber),n叫做指数(exponent)。

根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。正数的任何

次事都是正数，0的任何正整数次幕都是0。

7.有理数的混合运算顺序

(1)“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

8、科学技术法：把一个大于10的数表示成a*10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数

(即0<a<10),n是正整数)。

9.近似数(approximatenumber)：

10.有理数可以写成m/n(m、n是整数，n#0)的形式。另一方面，形如m/n(m、

n是整数，nWO)的数都是有理数。所以有理数可以用m/n(m、n是整数，nWO)

表示O

四.拓展知识

1.数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

⑴所有有理数组成的数集叫做有理数集；

⑵所有的整数组成的数集叫做整数集。

2.任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。

3.根据绝对值的几何意义知道：即对任何有理数a,它的绝对值是非负数。

4.比较两个有理数大小的方法有：

(1)根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

(2)根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了

分类讨论的数学思想；

(3)做差法：a_b>0=a〉b；

(4)做商法：a/b>l,b>0Qa>b.

第三章字母表示数

一、代数式

1.用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫

代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、＞、＜、W”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号

两边的式子一般都是代数式；

③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题

的意义。

2.代数式的书写格式：

①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；

③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如应写作；

④数字与数字相乘，一般仍用“义”号，即“义”号不省略；

⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4+（a-4）应写作；注意:

分数线具有“小”号和括号的双重作用。

⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名

称写在式子的后面，如平方米

3.代数式的系数：

代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3,4o

注意：①单个字母的系数是1,如a的系数是1；

②只含字母因数的代数式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。a3b的系数是1

4.代数式的项：

代数式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的

项叫做常数项

注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。

二、同类项

1.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注意：①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字

母的指数也相同。这两个条件缺一不可；

②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；

③几个常数项也是同类项。

2.合并同类项：

把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；

②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

注意：

①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；

②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上;

③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。

三、去括号

1.根据去括号法则去括号

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面

是，，一”号去掉，括号里各项都改变符号。

2.根据分配律去括号：

括号前面是“+”号看成+1,括号前面是“一”号看成T,根据乘法的分配律用+1或T去乘

括号里的每一项以达到去括号的目的。

3.注意：

①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；

②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“一”号；

③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。

第四章平面图形及其位置关系

一、线段、射线、直线

1.正

确理

解直

线、射

线、线

段的

图形表示方法端点长度

概念

以及

它们

的区

别：

名称

■1.直线48（或BA）

直线无端点无法度量

AB直线1

射线0M射线0M1个无法度量

1线段/尔或BA）

线段2个可度量长度

AB线段1

2.点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

3.直线性质

（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

4.线段的性质

（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

二、比较线段的长短

1.线段公理:两点间线段最短；两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离.

2.比较线段长短的两种方法

①圆规截取比较法；

②刻度尺度量比较法.

3.用刻度尺可以画出线段的中点，线段的和、差、倍、分；

用圆规可以画出线段的和、差、倍.

三、角的度量与表示

1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

这个公共端点叫做角的顶点；

这两条射线叫做角的边.

2.角的表示方法A

角的符号为//

①用三个字母表示，如图1所示/AOB。含------B

②用一个字母表示，如图2所示/b

③用一个数字表示，如图3所示N1

④用希腊字母表示，如图4所示/8

3.角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用

表示，1度记作“1°”，n度记作“n。

把i°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“r

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1

1°=60',1'=60”

4.角的性质

(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

(2)角的大小可以度量，可以比较

(3)角可以参与运算。

5.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5所示：

6.一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，

所成的角叫做平角。如图6所示：

7终边继续旋转，当它又和始边重合时,

所成的角叫做周角。如图7所示：

8从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫

做这个角的平分线。

四、平行与垂直

1.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

2.如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

3.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

4、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5、如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足为0点，线段CO的长度叫做点C到直线AB

的距离。

第五章一元一次方程

一.方程的有关概念

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.等式的性质

（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

4.一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，例如：

1700+50x=1800,2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程

5、解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）

（4）合并同类项

（5）将未知数的系数化为1

注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或

几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其

次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

等式的性质（1）:等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.

用式子形式表示

为:如果a=b,贝!)a±c=b±c

等式的性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式

表示为：如果a=b,贝！）ac=bc;如果a=b（cWO）,贝U=

三、移项法则

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

四、去括号法则

1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.

2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.

五、解方程的一般步骤

1.去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）

2.去括号（按去括号法则和分配律）

3.移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）

4.合并（把方程化成ax=b（aWO）形式）

5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=）.

六、用方程思想解决实际问题的一般步骤

1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.

2.设：设未知数（可分直接设法，间接设法）

3.歹IJ:根据题意列方程.

4.解：解出所列方程.

5.检：检验所求的解是否符合题意.

6.答：写出答案(有单位要注明答案)

七、有关常用应用类型题及各量之间的关系

1.和、差、倍、分问题：

(1)倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长

率……”来体现.

(2)多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2.等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积=成品体积.

3.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

(1)既有调入又有调出；

(2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

(3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4.数字问题

(1)要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位

数字为c(其中a、b、c均为整数，且lWaW9,0WbW9,0WcW9)则这个

三位数表示为：100a+10b+c.

(2)数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表

示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+l或2n—1表示.

5.工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率X工作时间

6.行程问题：

(1)行程问题中的三个基本量及其关系.路程=速度X时间.

(2)基本类型有.相遇问题；.追及问题；常见的还有：相背而行；行船

问题；环形跑道问题.

7.商品销售问题

有关关系式:

商品利润=商品售价一商品进价=商品标价X折扣率一商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价义折扣率

8.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和,

存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金X利率X期数

本息和=本金+利息

利息税=利息义税率（20%）

第六章生活中的数据

1.科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学

记数法。

2.扇形统计图及其画法：

扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别

代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇

形统计图。

画法：

（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应

的扇形圆心角的度数与360的比）。

（2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。

（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。

3.各种统计图的优缺点

条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

第七章可能性

一、确定事件和不确定事件

(1)、确定事件

必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。

不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。

(2)、不确定事件：

有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件

⑶、

「必然事件

厂确定事件y

事件不胃能事件L

不确定事A

二、不确定事件发生的可能性

一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。

必然事件发生的可能性是1

不可能事件发生的可能性是0

-七年级下册知识点总结

第一章整式的运算

一.整式

1.单项式

①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

②单项式的系数是这个单项式的数字亩双，作为单项式的系数，必须连同数字前面的

性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.

③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

2.多项式

①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的

项叫做常数项.一个委项式市,次数最高项的次数,叫做这个3项复的次数.

②单项式布3项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系薮.3项式的每一项都

是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项

都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的

次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.

3.整式单项式和多项式统称为整式.

.赵在1单项式

代数式整式i多项式

、其他代数式

二.整式的加减

1.整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.

2.括号前面是“一”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号

内各项都要相乘.

三.同底数暴的乘法

mntn+n

1.同底数基的乘法法则：a-a=a（m,n都是正数）是募的运算中最基本的法则，在应

法则运算时，要注意以下几点：

①法则使用的前提条件是：幕的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字

母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幕的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而

对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数暴相乘时，法则可推广为口（其中m、n、p均为正数）；

⑤公式还可以逆用：口（m、n均为正整数）

四.同底数塞的除法

L同底数幕的除法法则：同底数幕相除,底数不变,指数相减,即.（aWO,m、n都是正数,且

m>n）.

2.在应用时需要注意以下几点：

①法则使用的前提条件是“同底数幕相除”而且0不能做除数，所以法则中a#0.

②任何不等于0的数的0次幕等于1,即=1（"*°）,如10°=1,（-2.5°=1）,则0°无意义.

③任何不等于0的数的-p次塞（p是正整数）,等于这个数的p的次幕的倒数,即ap（aW

0,p是正整数），而0二CT都是无意义的；当a>0时,a*的值一定是正的；当a〈0时,ap的值可

（-2）-2=-（-2）-3=--

能是正也可能是负的，如4,8

④运算要注意运算顺序.

五.易的乘方与积的乘方

1.塞的乘方法则：口（m,n都是正数）是累的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.

2.□.

3.底数有负号时，运算时要注意,底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成

同底，

如将（-a）-化成

a"（当九为偶数时）,

一般地（-幻"=<

-a”（当〃为奇数时）.

4.底数有时形式不同，但可以化成相同。

5.要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b

不为零）。

6.积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的基相乘，即口也

为正整数）O

7.幕的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

六.整式的乘法

1.单项式乘法法则:单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将

系数相乘与指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2.单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单

项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

3.多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所

得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是:在没有合并同类项之前，积的项数应等

于原两个多项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘口，其二次项系数为1,一

次项系数等于两个因式中常

数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式

(mx+a)和(nx+b)相乘可以得口

四.平方差公式

1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，

即(a+b)(a—b)=a2—b2

其结构特征是：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

五.完全平方公式

1.完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积

的2倍,

(4?+Z?)2=a2±2ab+b2

即0n''；

口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

2.结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

3.在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现口这样的错误。

添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样

七.整式的除法

1.单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数累分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式；

2.多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是

把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另

外还要特别注意符号。

八.分解因式

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系：

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

九.分解因式的一般方法：

1.提公共因式法

①.如果一个多项式的各项含有公因式,则就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化

两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如：ab+ac=a(b+c)

②.概念内涵：

(1)因式分解的最后结果应当是“积”；

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式；

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：ma+mb-me=m(a+b-c)

③.易错点点评：

(1)注意项的符号与哥指数是否搞错；

(2)公因式是否提“干净”；

(3)多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1,不漏掉.

2.运用公式法

①.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运

用公式法.

②.主要公式：

(1)平方差公式：a?-b?=(a+b)(a-b)

(2)完全平方公式：a2+2ab+b-=(a+b)2

a2-2ab+b2-(«-Z7)2

3.分组分解法：

①.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+«)=(«+b)(m+ri)

②.概念内涵：

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分

解................组后是否可利用公式法继续分解因式.

③.注意.分组时要注意符号的变化.

4.十字相乘法：

①.对于二次三项式口，将a和c分别分解成两个因数的乘积，一□.且满足口,往往写成

□.的形式，将二次三项式进行分解.

2

如：ax+bx+c=((21X+C1)((72X+C2)

②.二次三项式的分解：

p=a+bq=abx1+px+q=(x+a)(x+b)

③.规律内涵：

(1)理解:把好+px+q分解因式时，如果常数项q是正数,则把它分解成两个同号因数，它

们的符号与一次项系数P的符号相同.

(2)如果常数项q是负数，则把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系

数P的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数P.

十.点评：

1.易错点点评：

(1)因式分解要分解到底.如——y4=(%2+,2)(1—就没有分解到底.

(2)十字相乘法在对系数分解时易出错；

(3)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

2.因式分解的思路与解题步骤：

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

第二章平行线与相交线

一.台球桌面上的角

1.互为余角和互为补角的有关概念与性质

①如果两个角的和为90°（或直角），则这两个角互为余角；

②如果两个角的和为180。（或平角），则这两个角互为补角；

注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两

个角的相互位置没有关系。

③它们的主要性质：同角或等角的余角相等；

同角或等角的补角相等。

2.对顶角

①两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角o

③对顶角的性质：对顶角相等。

二、同位角、内错角、同旁内角

1.两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2.同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）

的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3.内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）

的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4.同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）

的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

三.探索直线平行的条件

两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：

①同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；

③同旁内角互补，两直线平行。

④在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行。

⑤在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线平行。

四.平行线的特征

平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条:

①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等；

③两直线平行，同旁内角互补。

四.用尺规作线段和角

1.关于尺规作图

尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。

2.关于尺规的功能

直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。

圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任

意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。

第三章生活中的数据

一、单位换算

1.长度单位

(1)百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。

(2)10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。

(3)1微米no,纳米。

(4)1米=10分米=100厘米毫米=1()6微米=1()9纳米。

2.面积单位

(1)10-6千米=1米2=102分米2=10"厘米2=106毫米2=]0。微米2=]018纳米2。

3.质量单位

(1)1吨=1。3千克=1。6克。

二、科学计数法表示绝对值小于1的较小数据

1.用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时，也可以表示为aXIOn的形式,

其中

KIaI<10,n为负整数，n等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个

数(包括小数点前面的一个零)的相反数。

三、近似数与精确数

1.精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。

2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。四、有效数

字1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，

所有的数字都叫这个数的有效数字。

3、对于科学计数法型的近似数，由aXIOn(1WIaI<10)中的a来确定，a的

有效数字就是这个近似数的有效数字。与XIOn无关。

四、近似数的精确度

1.近似数的精确度是近似数精确的程度。

2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3.精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。

五、统计图(表)

L条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

2.折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。

第四章概率

一、事件

1.事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2.必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，

不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完

全没有机会发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也

可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。

二、等可能性

等可能性是指几种事件发生的可能性相等。

1.概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）

=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。

2.必然事件发生的概率为1,记作P（必然事件）=1；

3、不可能事件发生的概率为0,记作P（不可能事件）=0；

4、不确定事件发生的概率在Osi之间，记作o〈p（不确定事件）〈1。

5.概率的计算

（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的

结果的总数n,再数出事件A可能出现的结果数m,利用概率公式直接得出事件A的概率。

（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”

或画“树状图法”。四、几何概率1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组

成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率

公式可表示为P（A）=SA/S全，这是

第五章三角形

一.三角形的定义

1.不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可

以用符号表示。

2、顶点是A、B、C的三角形,记作“AABC”,读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC,有时也用a,b,c

来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b,c来表示；4、NA、

NB、NC为AABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系

1.三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母可表

示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a»

2.判断三条线段a,b.c能否组成三角形

(1)当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；

(2)当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边(未知边)的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于

两边的和，即

三、三角形中三角的关系

L三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2.三角形按内角的大小可分为三类：

(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

(2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtA”表示“直角三角形”，

其中直角NC所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角

边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。（3）钝角三角形，即有

一个内角是钝角的三角形。

3.判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。4、直角三角形的面积

等于两直角边乘积的一半。

四、三角形的三条重要线段

L三角形的角平分线：

（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫

做三角形的角平分线。

（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

2.三角形的中线：

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

3.三角形的高线

（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角

形的高线，简称为三角形的高。

（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

区另U相同

中线平分对边三条中线交于三角形内部

角平分线平分内角三条角平分线交于三角形内部

锐角三角形：三条高线都在三角形

内部

（1）都是线段

（2）都从顶点画出

垂直于对直角三角形：其中两条恰好是直角

（3）所在直线相交于一

高线边（或其边

点

延长线）

钝角三角形：其中两条在三角形外

部

五、全等图形

1.两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

六、全等三角形

1.能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“话”连接，读作“全等于”。

2、用“手”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

七、全等三角形的判定

1.三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

八.作三角形

1.已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来

作图的。

2.已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来

作图的。

3.已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。

九.探索直三角形全等的条件

1.斜江和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。

这只对直角三角形成立。

2.直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、

“AAS”、“SSS”来判定。

直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：

①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。

③三条边对应相等的两个直角三角形全等。

第六章变量之间的关系

一、变量、自变量、因变量

1.在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。变量是在程序的运行过程中随时可以

发生变化的量。

2.如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

二.表示变量之间关系的表示方法

简单地说：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量，反之，可以取不同数值的就叫

做变量。而变量包括自变量和因变量。自变量即能够影响其他变量的一个变量，或者说因为

自己改变导致其它的变量也随之而变化的量。因变量则为受其它变量改变后而随之影响变化

的变量。例如，计算圆的面积公式S=2中，圆周率常量，圆的面积随着圆的半径的变化而

变化，就是变量。圆的半径是自变量，圆的面积是因变量。同理，在一个变化过程中有两个

量x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则x是自变量，y是因变量。

1.列表法。

采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选

取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表

法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限

性，只能表示因变量的一部分。

2.关系式法。

关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变

量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

3.图象法。

对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量X与因变量y的每对对应值分别作

为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是

它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间

关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似

的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步

骤是：①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越

多，画出的图象越精确。②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平

方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y

轴）上的点来表示因变量。③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线

把所描的各点连结起来。

三.三种表示方法的关系

表格、关系式与图象都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出

表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确

定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、

比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。

四、概念

变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它

在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变

的量，它“依赖于”自变量的改变。

常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.

五、变量的表示

1.列表法

采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一般第一行代表自

变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再

分别求出对应的因变量的值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变

量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

2.图象法

对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横

坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象

就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点

是非常直观。不足之处是所画的图象