人教B版高中数学必修第一册第三章函数3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点课件

3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点【课程标准】1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题．2．掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识．教

材

要

点知识点函数模型(1)一次函数模型解析式：______________．(2)二次函数模型①一般式：________________．②顶点式：__________________________，其中顶点坐标为________________．y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)(3)分段函数模型有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．状元随笔(1)在函数建模中，通常需要先画出函数图象，根据图象来确定两个变量的关系，选择函数类型．(2)函数模型在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．基

础

自

测1．一个等腰三角形的周长是20，则底边长y是关于腰长x的函数，其解析式为(

)A.y＝20－2x(x≤10)

B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)答案：D2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为(

)A．110元/个B．105元/个C．100元/个D．95元/个答案：D解析：设每个商品涨价x元，利润为y元，则销售量为(400－20x)个，根据题意，有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500.所以当x＝5时，y取得最大值，且为4500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4500元．3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(

)A．52B．52.5C．53D．52或53

答案：D4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出________张门票．234

题型1一次函数模型的应用

[经典例题]例1.(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(

)A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套【解析】因利润z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．【答案】

D

(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的92%付款．某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？【解析】由优惠办法①可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．由优惠办法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，令y1－y2＝0得x＝34.所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x<34时，y1<y2，即优惠办法①更省钱；当x>34时，y1>y2，优惠办法②更省钱．方法归纳(1)一次函数模型的实际应用：一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．(2)一次函数的最值求解：一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．跟踪训练1

若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(

)答案：B解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A，C两项．故选B项．题型2二次函数模型的应用

[经典例题]例2.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】

(1)根据题意得y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．状元随笔本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．方法归纳二次函数的实际应用(1)在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．(2)对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．跟踪训练2

有A，B两城相距100km，在A，B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？

题型3分段函数模型的应用

[经典例题]例3.WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元计费；超过500min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费，在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费．计费时间均取整数，不足1min的按1min计算．WAP手机上网不收通话费和漫游费．(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式；(2)12月份小王WAP上网使用量为20h，要付多少钱？(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？

(2)当x＝20×60＝1200(min)时，x>500，应付y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．(3)90元已超过30元，∴上网时间超过500min，∴30＋0.15([x]－500)＝90，解得[x]＝900，∴上网时间为900min.方法归纳分段函数的实际应用(1)在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量x取值范围的不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数建立函数模型解决问题．(2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个，分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个．

状元随笔本题考查分段函数问题，生产不超过500台时，产量等于销售量；产量超过500台时，销售量为一个常数500台．1．(5分)某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表：下面函数解析式中，能表达这种关系的是(

)A．y＝x2－1B．y＝2x＋1C.y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2x/小时123…y/个138…答案：D

答案：B

3．(5分)国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(

)A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元答案：C

4．(5分)在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是(

)答案：C解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．5．(5分)经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.解析：日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.答案：2t2＋108t＋400，t∈N6．(5分)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5