北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（）A.0B.1C.D.22.如图，在平行六面体中，（）A.B.C.D.3.已知，则的坐标为（）A.B.C.D.4.如图，已知正方体的棱长为（）A.1B.C.D.5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（）A.B.C.3D.6.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（）A.B.C.D.7.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是（）A.B.C.D.或9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，则两点间的距离为（）A.B.C.D.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和夹角的余弦值为（）A.B.C.D.二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.12.已知向量且，则__________，__________.13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的余弦值为__________；在的投影向量__________.15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则②任意向量满足③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面④已知向量，若，则为钝角其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.（1）求证：；（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离.17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.如图，在平行六面体中，，与相交于点，设.（1）试用基底表示向量；（2）求的长；（3）求直线与直线所成角.19.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.【详解】依题意，，则.故选：C2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】故选：C3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，所以故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，且，所以.故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.【详解】，且分别是平面的法向量，则，则有，故，则.故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.【详解】直线方向向量，直线方向向量，，所以两向量夹角为，直线和所成角为，故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则或，充分性不成立，若，则，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，与不能构成空间基底；故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，所以，因为点关于轴的对称点为点，所以，所以，故选：D10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得，又分别是的中点，所以，且，所以即为异面直线和的夹角的平面角，又易知，且，所以，因此，即和夹角的余弦值为.故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或【分析】求出，再根据求解即可.【详解】因为向量，所以，所以，所以与共线的单位向量为或.故答案为：或.12.【答案】（1）（2）【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，当时，所以，所以；因为，，所以.故答案为：；.13.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到直线的距离.【详解】如图，过点作于点由题意得，，，所以.故答案为：3.14.【答案】①②【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，在的投影向量为.故答案为：.15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断③；当时可判断④.【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，，故，所以，故①正确；对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，，且，所以，则四点共面，所以③正确；对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；（3）.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.【小问1详解】因为是正方体，故可得面，又面，故可得.【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：则可得：，设平面的法向量为，则，即，取，可得，故平面的一个法向量为.【小问3详解】设点到平面的距离为，则.故点到平面的距离为.17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以设平面的法向量为，所以，即，令，所以，即为平面的一个法向量，所以，又因为平面，所以平面；【小问2详解】由（1）知，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；（3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】【小问2详解】，所以，，，由（1）知，所以，所以；【小问3详解】，，，所以与所成角为，所以直线与直线所成角为.19.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可证明；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解.【