广东省梅州市2024-2025学年高三上学期10月期中考试 数学试题含答案

2024-2025学年度第一学期期中考试卷（高三数学）一、单选题1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知，则（

）A．0 B．1 C． D．24．已知．若，则（

）A． B． C． D．5．若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．6．已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3二、多选题9．已知数列的前项和为，若，则（

）A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5C．数列是等差数列 D．10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是周期为π的奇函数 B．的图象关于点对称C．在上单调递增 D．的值域是11．已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知，若不等式恒成立，则的最大值是.13．在边长为2的正三角形中，D为BC的中点，，则.14．若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则．四、解答题15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求锐角的大小；(2)若，且的周长为，求的面积.16．已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)求在上的单调递增区间；(3)若，，求的值.17．已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的恒成立，求的最小值.18．定义函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)若对任意x∈R恒成立，求的取值范围；(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数）19．若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．(1)判断是否为“集合”，说明理由；(2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；(3)求所有满足条件的“集合”．2024-2025学年度高中数学期中考试卷一、单选题1．已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简集合，再由交集运算即可求解.【详解】可得，即，所以.故选：B2．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可.【详解】若命题“”为真命题，则，解得，所以a的取值范围是.故选：A.3．已知，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.【详解】依题意，，则.故选：C4．已知．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.【详解】因为，且，则，可得，所以.故选：B.5．若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数和正弦函数的性质进行比较即可.【详解】因为，而，则，又，即，即，所以.故选：A.6．已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案.【详解】显然在上单调递减，要想在R上单调递减，则，解得.故选：D7．已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解.【详解】因为，，所以，故，又是第一象限角，为第四象限角，故，因此，因此，由于，则，故.故选：C.8．已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解.【详解】，其中，且，则有，解得，即，则，即，画出与图象如图所示：由图可知，曲线y=fx与的交点个数为.故选：B.二、多选题9．已知数列的前项和为，若，则（

）A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5C．数列是等差数列 D．【答案】ACD【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确；【详解】因为，，所以数列是公差为，首项是20的等差数列，即，对于A，，所以4是数列中的项，故A正确；对于B，令，即，前五项大于零，所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误；对于C，，所以，，，所以数列是等差数列，故C正确；对于D，，，所以，故D正确；故选：ACD.10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是周期为π的奇函数 B．的图象关于点对称C．在上单调递增 D．的值域是【答案】CD【分析】先化简,,A选项利用奇函数若x=0，则，验证；B选项令,求出fx对称点坐标；C选项通过令，求出fx的增区间，再判断是否正确；D选项通过,确定fx的值域.【详解】.A选项：fx周期为,不是奇函数，A错误；B选项：令,,解得：,当时，，所以关于对称，fx关于对称，B错误；C选项：令，，解得:，所以fx增区间为，,当k=1时，则，C正确；D选项：,则,,D正确.故选：CD.11．已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】应用赋值法判断A，B选项；对求导，得到，赋值法得到，判断C；根据函数的周期性结合赋值法得出再计算即可求解判断D.【详解】由已知有为R上的奇函数，所以，令时，，故，故A选项正确；令时，，故，故B选项错误；由已知有：在R上可导，对求导有：，即，，令时，，则，又因为是奇函数，故是偶函数，所以故，所以也是一个周期为4的周期函数，，C选项错误；令，则恒成立，由已知是奇函数，故，故，则，所以是一个周期为4的周期函数，又因为，奇函数的定义域为，所以，令时，，，所以，令时，，所以，令时，，所以,，故D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．已知，若不等式恒成立，则的最大值是.【答案】6【分析】根据，，得到，利用“1”的代换转化为，再用基本不等式求解即可【详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以的最大值是.故答案为：.13．在边长为2的正三角形中，D为BC的中点，，则.【答案】14．若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则．【答案】【分析】设该公切线在的切点为，借助导数的几何意义可得切线，再与曲线切于，计算即可得解.【详解】设直线与曲线的切点为，由，得切线方程为，又，所以，将点代入，有，解得（负值舍去），所以切线方程为，设切线与曲线的切点为，又，所以，，，消去、，得，令，，当且仅当时，等号成立，即函数在0,+∞上单调递增，又f1所以方程的实数解为，故有，解得.故答案为：.四、解答题15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求锐角的大小；(2)若，且的周长为，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周长求出，即可得到，，再由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因，代入得，又因，则，又为锐角，故；（2）由可得，因为，则.由（1）可得，由正弦定理，其中，设比值为，则，，，因的周长为，即，即，则，，故的面积.16．已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)求在上的单调递增区间；(3)若，，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，化简得到，由的最小值为，列出方程，即可求解；（2）由，可得，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解；（3）由，求得，进而得到，结合正弦的倍角公式，得到，即可求解.【详解】（1）解：由函数，因为函数的最小值为，可得，解得.（2）解：由（1）知：，因为，可得，令和，解得和，所以函数在上的单调递增区间为.（3）解：由（1）知，，因为，可得，所以，又因为，可得，因为，可得，所以，则.17．已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的恒成立，求的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；（2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解.【详解】（1）易知，因为，所以，当时，恒成立，此时在上单调递增，当时，由，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上，时，在上单调递增，时，的减区间为，增区间为.（2）因为当时，时，，由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，即恒成立，得到，所以，令，则，由，得到，当时，，时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，故的最小值为.18．定义函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)若对任意x∈R恒成立，求的取值范围；(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数）【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；（3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数的零点个数及最值.【详解】（1）由，可得,所以曲线在处的切线斜率.（2）若对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，则，由解得，或；由解得，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，且当时，，故的最小值为，故，即的取值范围是.（3），当时，，因此当为奇数时，，此时则，所以单调递减，此时，显然有唯一零点，无最小值，当时，，且当时，，由此可知此时不存在最小值，从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值，当时，即当为偶数时，，此时，由，解得；由，解得，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，即，所以当为偶数时，没有零点，即当为偶数时，没有零点，存在最小值，综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值；当为偶数时，没有零点，存在最小值.【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则：（1）恒成立恒成立；（2）恒成立恒成立；（3）恒成立，恒成立；（4）恒成立．19．若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．(1)判断是否为“集合”，说明理由；(2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；(3)求所有满足条件的“集合”．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)；(3)，其中.【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可；（2）设，进而研究或是否存在正整数解即可；（3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解.【详解】（1）因为，所以不是“一集合”．（2）设．若，则或．由，解得（舍去），此时；由化为，而，故方程无正整数解．若，则或，由，解