第十八章 相似形 综合检测

第十八章相似形综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(共8小题，每小题4分，共32分)1.已知两数x，y，且3x=2y，则下列结论一定正确的是()A.x=2，y=3 B.x3=y2 C.x+yy=52.(2023北京顺义新英才学校月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，ADBD=2，若DE=6，则BCA.12 B.10 C.9 D.83.(2022山东德州中考)如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为()A.2.7m B.3.6m C.2.8m D.2.1m4.(2023北京顺义牛栏山一中期中)如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.AB2=AP·AC D.ABBP=5.(2023浙江宁波鄞州月考)如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则a、b应满足的条件是()A.a=22b B.a=2b C.a=2b D.a=226.(2022湖南湘潭中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE∶S△ABC=()A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶47.(2023山东潍坊诸城月考)在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D，E分别在AB，AC上，△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED=1∶8，则AD的长为()A.35cm B.53cm或2cm C.2cm D.348.(2022四川攀枝花中考)如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是()A.56 B.1 C.54 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分)9.(2023北京交大附中诊断)黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.现有长为4m的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为xm，依题意，可列方程为.

10.(2023江苏扬州宝应月考)已知两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm，且它们的周长相差60cm，则这两个三角形的周长分别为.

11.(2022浙江嘉兴中考)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，△ABC的边BC落在直尺的一边上，直尺的另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD为.

12.在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是.

13.如图，把矩形I、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的L型放入矩形ABCD中.矩形I的一个顶点落在L型中正方形的顶点E处，其他顶点在矩形ABCD的边上；L型中的正方形有三个顶点恰好在矩形ABCD的边上，另有一个顶点和小正方形顶点重合.若矩形I与矩形ABCD相似，则AB∶BC的值为.

三、解答题(共48分)14.(6分)如图所示，在△ABC中，∠A=40°，∠B=65°，点D、E分别在边AB、AC上，且∠AED=75°.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD∶BD=2∶3，AE=3，求AC的长.15.(9分)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，S△ADE=16cm2，S△EFC=49cm2.(1)求BCDE的值(2)求△ABC的面积.16.(9分)大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位.某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，如图所示，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与大雁塔底部的点A在同一直线上)，这时测得FG=1.92米，CG=20米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB.17.(2023浙江杭州月考)(10分)如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠AED=∠C，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.(1)求证：AF∶AG=AD∶AB；(2)若AE=3，AC=5，求△ADF与△ABG的面积之比.18.(2023四川遂宁射洪一中教育联盟期中)(14分)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B.(1)求证：△ABP∽△PCM；(2)设BP=x，CM=y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当△APM为等腰三角形时，求PB的长.(直接写出答案，不写解题过程)

第十八章相似形综合检测答案全解全析1.C∵3x=2y，∴xy=23，∴x+yy=xy+yy2.C∵ADBD=2，∴ADAB=23，∵DE∥BC，∴△ADE∴DEBC=ADAB=23，∵DE=6，∴BC=32DE=33.A如图，过点B作BF⊥AD于点F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴DCBF=ACAB，∴0.6BF∴BF=2.7m.故选A.4.D∵∠A=∠A，∴当∠ABP=∠C时，△ABP∽△ACB；当∠APB=∠ABC时，△ABP∽△ACB；当AB2=AP·AC，即APAB=ABAC时，△ABP∽△ACB；当添加条件ABBP=ACCB时，由已知条件无法得到△ABP5.B由题意得，对折两次后得到的小长方形纸片的长为b，宽为14a∵小长方形与原长方形相似，∴ab=b14a，∴b2=14a2，∴a2=4b2，∴a6.D∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1∶2，∴S△ADE∶S△ABC=1∶47.B∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶8，∴S△ABC∶S△ADE=9∶1.∵△ADE与△ABC相似，∴△ADE与△ABC的相似比为1∶3.∵∠A=∠A，∴①当∠C=∠AED时，△ADE∽△ABC，∴ADAB=13，∴AD=AB3=2(cm)；②当∠C=∠ADE时，△AED∽△ABC，∴ADAC=13，∴AD=AC3=553cm.故选B8.A∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，∵E、F分别为BC、CD的中点，∴DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，∵EH∥CD，∴FH=BH，∴EH为△BCF的中位线，∴EH=12CF=32，在Rt△BCFBF=BC2+CF2=42+32=5，∴BH=FH=12BF=52，∵EH∥CD，∴△EHG∽△DFG，∴EHDF=GH9.答案x2=4(4-x)解析较长一段的长为xm，则较短一段的长为(4-x)m，∴x4=4−xx，即x2=4(4-10.答案100cm，40cm解析由题意得，两个相似三角形的对应边的比是35∶14=5∶2，∵相似三角形的周长比等于相似比，∴可以设较大三角形的周长是5xcm，较小三角形的周长是2xcm，∵周长相差60cm，∴5x-2x=60，解得x=20，∴这两个三角形的周长分别为100cm，40cm.11.答案2解析由题意得，DE=1，BC=3，在Rt△ABC中，∠A=60°，易得AB=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB，即13=3−BD312.答案10解析由网格可得AB=2，BC=2，AC=10，如图所示，作△DEF，DE=5，DF=10，EF=5，∵ABDE=BCDF=ACEF=105，∴△∴△DEF与△ABC相似比的值是10513.答案45或解析本题通过拼图的方式考查相似的知识点.如图，设BF=FG=a(a≠0)，DW=x(x≠0).由题意得HJ∶JT∶HT=1∶2∶5，△GFH∽△HJT∽△TCR∽△RWE，得，FH=2a，GH=HJ=5a，JT=25a，TH=5a，CT=a，CR=2a，WR=2a，EW=4a，∴BC=9a，∵矩形I与矩形ABCD相似，∴CDBC=DWEW或CDBC=EWDW，∴x+4a9解得x=165a或x=210a-2a(负根舍去)∴AB=CD=165a+4a=365a或AB=CD=210a-2a+4a=2a+210∴ABBC=365a9a=45或14.解析(1)证明：∵∠A=40°，∠B=65°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.∵∠AED=75°，∴∠AED=∠C.又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.(2)∵∠AED=∠C，∴DE∥BC，∴ADBD=AEEC，∴23=3EC，∴∴AC=AE+EC=3+92=1515.解析(1)∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，∵EF∥AB，∴∠A=∠FEC，∴△ADE∽△EFC.∴S△ADES△EFC=DEFC2=∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，∴DEBC=411，∴BCDE(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC∵S△ADE=16cm2，∴S△ABC=121cm2.16.解析根据题意得△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴DCBA=ECEA，GHAB∵DC=HG，∴FGFA=ECEA，∴1.921.92+20+∴CA=40米，∴2AB=1.281.28+40，∴AB=64.答：大雁塔的高度AB为64.5米.17.解析(1)证明：∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△DAE∽△BAC，∴∠ADE=∠B.∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴∠AFD=∠AGB=90°，∴△ADF∽△ABG，∴AFAG=AD即AF∶AG=AD∶AB.(2)∵△DAE∽△BAC，∴ADAB=AEAC=∵△ADF∽△ABG，∴S△ADFS△ABG=AD18.解析(1)证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP，∵∠APM=∠B，∴∠BAP=∠CPM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCM.(2)BP=x，则PC=8-x，∵P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，∴0<x<8.∵△ABP∽△PCM，∴PBCM=ABPC，∴xy∴y与x之间的函数解析式为y=-15x2+85x(0<x(3)PB的长为3或398[详解]①当AP=A