2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习

第二章一元二次方程*5一元二次方程的根与系数的关系基础过关全练知识点一元二次方程的根与系数的关系1.(2023云南玉溪期中)已知α、β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为()A.-1 B.5 C.3 D.-22.(2022湖南益阳中考)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是()A.-1 B.0 C.1 D.2[变式1](2022青海中考)已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为()A.4 B.-4 C.3 D.-3[变式2](2022四川乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x=1，则这两根之积为()A.13 B.23 [变式3](2022贵州黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1，x2，若x1=-1，则a-x1A.7 B.-7 C.6 D.-63.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x2-3x-5=0；(2)3x2+5x+2=0；(3)x2+2x-3=0.4.(2023广东广州中大附中月考)已知x1，x2是一元二次方程x2-5x-3=0的两个根，求：(1)x1+x2=，x1x2=；

(2)1x(3)x1能力提升全练5.(2021广西玉林中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1，x2，则()A.x1+x2<0 B.x1x2<0 C.x1x2>-1 D.x1x2<16.(2022四川宜宾中考)已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为()A.0 B.-10 C.3 D.107.(2021贵州遵义中考)在解一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是()A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0 C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=08.(2022内蒙古呼和浩特中考)已知x1，x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式x1A.4045 B.4044 C.2022 D.19.(2022湖北鄂州中考)若实数a、b分别满足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，则1a+110.(2022山东日照中考)关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x211.(2023四川南充顺庆模拟)已知关于x的一元二次方程mx2-(1+2m)x+m+1=0(m≠0).(1)求证：方程总有两个不等实数根；(2)若方程的两根为x1、x2，是否存在x12+x22=x1素养探究全练12.若x1，x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，求下列代数式的值.(1)x1(2)(x1-x2)2；(3)x1(4)x113.阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1·x2=c问题解决：(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；

(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解.求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”.

第二章一元二次方程*5一元二次方程的根与系数的关系答案全解全析基础过关全练1.C根据根与系数的关系得α+β=5，αβ=-2，所以α+β+αβ=5-2=3.故选C.2.B解法一：设x2+x+m=0的另一个根是α，根据根与系数的关系得-1+α=-1，∴α=0.故选B.解法二：∵x=-1是方程x2+x+m=0的一个根，∴(-1)2-1+m=0，∴m=0，∴原方程为x2+x=0，∴x(x+1)=0，∴x1=0，x2=-1.故选B.[变式1]B解法一：因为关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，所以1+m+3=0，解得m=-4.故选B.解法二：设x2+mx+3=0的另一个根是α，根据根与系数的关系得1×α=3，所以α=3，根据根与系数的关系得1+3=-m，所以m=-4，故选B.[变式2]D∵方程的一个根是1，∴3-2+m=0，解得m=-1，∴两根之积为-13[变式3]B∵关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1，x2，∴x1+x2=2，x1x2=-a，∵x1=-1，∴x2=3，∴x1x2=-3=-a，∴a=3，∴原式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.故选B.3.解析(1)∵a=1，b=-3，c=-5，∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-5)=9+20=29>0，∴方程有两个实数根，设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-ba=3，x1x2=ca(2)∵a=3，b=5，c=2，∴Δ=b2-4ac=52-4×3×2=25-24=1>0，∴方程有两个实数根，设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-ba=−53，x1x(3)∵a=1，b=2，c=-3，∴Δ=b2-4ac=(2)2-4×1×(-3)=2+12=14>0，∴方程有两个实数根，设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-ba=−2，x1x2=4.解析(1)5；-3.(2)1x(3)x12+x22=(x1能力提升全练5.D根据题意得Δ=(-2)2-4m>0，解得m<1，所以x1x2=m<1.x1+x2=2.故选D.6.A∵m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，∴mn=-5，∵m是x2+2x-5=0的一个根，∴m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0.故选A.B设此方程的两个根是α、β，根据题意得α+β=-p=-3+1=-2，αβ=q=5×(-4)=-20，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x-20=0.故选B.A∵x1是方程x2-x-2022=0的一个实数根，∴x12-x1-2022=0，即2022=x1，∵x1，x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=-2022，则原式=x1(x12-2022)+x22=x12+x22=(x4045.故选A.9.4解析∵实数a、b分别满足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，∴a、b可看做方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根，则a+b=4，ab=3，则原式=a+bab10.-1解析本题容易忽略根与系数的关系应用的前提是方程有解，做题时容易忽略m的取值范围而出错.根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=m2，∵x12+x22=316，∴(x1+x2)2-2x1x2=316，∴4m2-m=316，∴m1=-18，m2=38，当m=-18时，Δ=16m2-8m=54>0，满足题意；当m=311.解析(1)证明：∵Δ=[-(1+2m)]2-4m(m+1)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0，∴方程总有两个不等实数根.(2)不存在，理由如下：根据题意得x1+x2=1+2mm，x1x2=m+1m，若存在x12+x22=x1x2，则(x1+x2)2-2x1x2=x1x2，即(x1+x2)2-3x1x2=0，∴1+2mm2−3·m+1m=0，整理得m2+m素养探究全练12.解析由根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=1.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1(2)(x