7-3三重积分的计算法-球面坐标

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7-3三重积分的计算法—球面坐标7.3.4利用球面坐标计算三重积分一、球面坐标M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo2M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo3r=常数，即以原点为心的球面。

=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。

=常数，即过z轴的半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo4zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo④球面坐标下的体积元素5为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面r=常数，

=常数，

=常数把积分区域

分成许多小闭区域。考虑由r,,各取得微小增量dr,d

所成的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。xyzo

drrd

6xyzo

经线方向的长为rd

,这就是球面坐标系中的体积元素。纬线方向的宽为rsin

,于是，小六面体的体积为dr向径方向的高为dr。7二、三重积分的球面坐标形式计算三重积分，一般是化为先r，再

，最后

的三次积分。8例如，半径为R的球体的体积9xyzo

10xyz1o

11xyzo212xyzo213xyzo214小结三重积分的计算方法：基本方法：化三重积分为三次积分计算。关键步骤：(1)坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限15柱形体域锥形体域抛物体域柱面坐标长方体四面体任意形体

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