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多项式插值(1)第二章§1引言函数逼近:

数学中的基本问题,最活跃的研究领域之一数值计算中函数表示的重要方法本质是讨论如何用简单函数近似代替复杂函数简单函数曲线拟合离散数据的方法、理论及其实现。2简单函数逼近函数复杂函数被逼近函数近似代替逼近基本术语：讨论如何用简单的函数一个复杂的函数近似地代替的方法、理论及其实现.

近似代替又叫做逼近.被逼近的函数或被近似的函数逼近的函数或近似的函数即3函数逼近是数值分析的许多分支的理论基础.

例如:数值积分;数值微分;微分方程数值解;曲线曲面拟合;函数值近似计算;等等4从逼近论的观点，通常有两种意义下的逼近：局部逼近整体逼近1、局部逼近所谓局部逼近就是求函数在某点附近的近似最常用的逼近方法：Taylor逼近方法理论依据：Taylor定理5定理1.1设n为一非负整数，在点某一邻域有阶连续导数，有则对的这里，n次Taylor逼近多项式和误差余项分别为(1.1)(1.2)(1.3)6注意：1、Taylor逼近多项式满足以下逼近要求

2、Taylor逼近是一种局部逼近在一点处的信息.仅利用了被逼近的函数下面举例说明Taylor多项式的逼近效果.7解由(1.2)式和(1.3)式易求得(1.2)(1.3)直观理解可以参见下图。8(a)的一次和二次Taylor逼近函数(b)的一次和二次Taylor逼近误差(a)(b)9因此，Taylor逼近适合作函数的局部逼近.由此可见：误差不是均匀分布的.当x越偏离x0误差就越大即当x越接近x0误差就越小；我们将主要讨论整体逼近问题:即对定义域上的所有点.近似函数对被逼近函数的逼近函数曲线对样本数据的拟合考虑:10例2求区间[0,1.5]上的二次（抛物）曲线,要求该曲线过样本点解设所求抛物线的方程为

利用待定系数法，可得此例将引出所谓的Lagrange型多项式插值问题,这时给定的样本数据仅包含函数值.11例3求区间[0,1]上的三次曲线，要求该函数曲线过且其一阶导函数曲线过样本点和(即函数曲线在0,1点处的斜率分别为0和1).和样本点解设所求的三次曲线为类似于例2的计算，可得12上例将引出所谓的Hermite型多项式插值问题此时样本数据包含：1、函数值2、一阶导数值.更广泛的还有所谓的Birkhoff插值问题.注意：13x01234567y27.026.826.526.326.125.725.324.8例4给定离散数据（下表），数据，使误差平方和最小。此例将引出所谓的最小二乘逼近问题。

用一直线拟合这组14插值问题涉及的基本内容：1.问题提法2.问题的适定性(解的存在、唯一性)3.解的构造

(或表示

)及其相关算法

4.误差分析(逼

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