2024-2025学年新教材高中数学第9章统计章末综合提升学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE9.3统计案例公司员工的肥胖状况调查分析(略)[巩固层·学问整合][提升层·题型探究]随机抽样方法的应用【例1】某县共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个容量为300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应实行什么样的方法？并写出详细过程．[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病状况差异明显，因而采纳比例安排分层随机抽样的方法．详细过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．(2)依据样本量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)依据各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．(4)将300人合到一起，即得到一个样本．eq\o([跟进训练])1．某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为()A．193 B．192C．191 D．190B[1000×eq\f(n,200＋1200＋1000)＝80，求得n＝192.]频率分布直方图及应用【例2】某花木公司为了调查某种树苗的生长状况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)，3株；[109,111),9株；[111,113)，13株；[113,115)，16株；[115,117)，26株；[117,119)，20株；[119,121)，7株；[121,123)，4株；[123,125]，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？[解]分组频数频率累积频率[107,109)30.030.03[109,111)90.090.12[111,113)130.130.25[113,115)160.160.41[115,117)260.260.67[117,119)200.200.87[119,121)70.070.94[121,123)40.040.98[123,125]20.021.00合计1001.00(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.在本例中由得到的频率分布直方图估计树苗的高度(cm)的平均数．[解]由频率分布直方图可得树苗的高度(cm)的平均数的估计值为0.03×108＋0.09×110＋0.13×112＋0.16×114＋0.26×116＋0.20×118＋0.07×120＋0.04×122＋0.02×124＝115.46(cm)用样本估计总体分布的方法1用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要留意其方法步骤.2借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和沟通.数据的集中趋势和离散程度的估计【例3】甲、乙两位学生参与数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384；乙：9295807583809085.(1)求甲成果的80%分位数；(2)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参与合适？请说明理由．[解](1)把甲的成果依据从小到大的依次排列可得：7879818284889395因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成果的80%分位数是第7个数据93.(2)eq\o(x,\s\up7(－))甲＝eq\f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\o(x,\s\up7(－))乙＝eq\f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适．用样本的数字特征估计总体的方法为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据依据由小到大(或由大到小)的依次排列，假如数据的个数是奇数，处于中间位置的数，假如数据的个数是偶数，中间两个的数据的平均数；平均数就是全部样本数据的平均值，用eq\o(x,\s\up7(－))表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用统计量，其计算公式是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up7(－))2＋x2－\o(x,\s\up7(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up7(－))2]).eq\o([跟进训练])2．从某项综合实力测试中抽取100人的成果，统计如表，则这100人成果的标准差为()分数54321人数2010303010A．3B．eq\f(2\r(10),5)C．3D．eq\f(8,5)B[∵eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up7(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up7(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up7(－)))2]＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)⇒s＝eq\f(2\r(10),5).][培优层·素养升华]【典例】为了爱护学生视力，教室内的日光灯在运用一段时间后必需更换．已知某校运用的100只日光灯在必需更换前运用的天数如下：天数[150，180)[180，210)[210，240)[240，270)[270，300)[300，330)[330，360)[360，390]灯管数1111820251672(1)试估计这种日光灯的平均运用寿命；(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换比较合适？[解](1)各组组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．故估计这种日光灯的平均运用寿命约为268天．(2)方差为eq\f(1,100)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60.故标准差为eq\r(2128.60)≈46.故标准差约为46,268－46＝222(天)，268＋46＝314(天)，所以这100只日光灯的运用寿命大部分落在222～314天之间，故可在第222天到第314天内统一更换较合适．平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定界限时，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离，应当进行检查，找出缘由，从而刚好解决问题，本题主要考查了数据分析的核心素养.[素养提升练]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]频数62638228(1)依据上表作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[解](1)产品质量指标的频率分布直方图如图．(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2