2024-2025学年高中数学第3章概率3.1.1随机事件的概率学案新人教A版必修3

PAGE3.1随机事务的概率3.学习目标核心素养1.了解随机事务、必定事务、不行能事务的含义．(重点)2．会初步列出重复试验的结果．(重点)3．理解频率与概率的区分与联系．(难点、易混点)通过对概率概念的学习，培育数学抽象素养.1．必定事务、不行能事务与随机事务事务类型定义必定事务在条件S下，肯定会发生的事务，叫做相对于条件S的必定事务，简称必定事务不行能事务在条件S下，肯定不会发生的事务，叫做相对于条件S的不行能事务，简称不行能事务确定事务必定事务与不行能事务统称为相对于条件S的确定事务，简称确定事务随机事务在条件S下，可能发生也可能不发生的事务，叫做相对于条件S的随机事务，简称随机事务事务确定事务与随机事务统称为事务，一般用大写字母A，B，C……表示2.频率与概率(1)频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)概率随机事务发生可能性的大小用概率来度量，概率是客观存在的．对于给定的随机事务A，事务A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈eq\f(nA,n).思索：频率与概率有什么关系？[提示]频率是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的变更而变更．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同．概率是一个事务的固有属性，是一个在0与1之间的确定值，不随试验结果的变更而变更．频率是概率的近似值．概率是频率的稳定值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事务的概率是未知的，常用频率估计概率．1．事务“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是()A．必定事务 B．不行能事务C．随机事务 D．以上均不正确[答案]C2．下列说法正确的是()A．任何事务的概率总是在(0,1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事务发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C[由频率与概率的有关概念知，C正确．]3．“同时抛掷两枚质地匀称的硬币，记录正面对上的枚数”，该试验的结果共有________种．3[正面对上的枚数可能为0,1,2，共3种结果．]4．某人射击10次，恰有8次击中靶子，则该人击中靶子的频率是________．0.8[eq\f(8,10)＝0.8.]事务类型的推断【例1】(1)下列事务：①抛一枚硬币，出现正面朝上；②某人买彩票中奖；③大年初一太原下雪；④标准大气压下，水加热到90℃A．1 B．2C．3 D．4(2)在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”A．必定事务 B．不行能事务C．随机事务 D．以上选项均不正确(1)C(2)C[(1)①②③可能发生，也可能不发生，是随机事务，④肯定不发生，是不行能事务，故选C.(2)从1,2,3，…，10这10个数字中任取3个数字，这三个数字的和可能等于6，也可能大于6，∴数字之和大于6，可能发生也可能不发生，∴“这三个数字的和大于6”推断一个事务是哪类事务的方法推断一个事务是哪类事务要看两点：一看条件，因为三种事务都是相对于肯定条件而言的；二看结果是否发生，肯定发生的是必定事务，不肯定发生的是随机事务，肯定不发生的是不行能事务.eq\o([跟进训练])1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必定事务；②当“x为某一实数时可使x2<0”是不行能事务；③“每年的国庆节都是晴天”是必定事务；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”A．4 B．3C．2 D．1B[③“每年的国庆节都是晴天”是随机事务，故错误；①②④的推断均正确．]试验结果的列举【例2】设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本领件．(1)“a＋b＝5”(2)“a＝b”这一事务包含哪几个基本领件？(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”[解]这个试验的基本领件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(1)“a＋b＝5”(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．(2)“a＝b”这一事务包含以下4个基本领件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)>－1，所以eq\f(a,b)<1.所以a<b.所以包含以下6个基本领件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．不重不漏地列举试验的全部可能结果的方法1结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必需首先明确试验中的条件.2依据日常生活阅历，依据肯定的依次列举出全部可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.eq\o([跟进训练])2．下列随机事务中，一次试验各指什么？试写出试验的全部结果．(1)抛掷两枚质地匀称的硬币；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．[解](1)一次试验是指“抛掷两枚质地匀称的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．随机事务的频率与概率[探究问题]1．随机事务的频率与试验次数有关吗？[提示]频率是事务A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．2．随机事务的概率与试验次数有关吗？[提示]概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多少次完全无关．3．试验次数越多，频率就越接近概率吗？[提示]不是．随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大．在事务的概率未知的状况下，我们常用频率作为概率的估计值．即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．【例3】某险种的基本保费为a(单位：元)，接着购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a1.251.51.752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险状况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事务“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；(2)记B为事务“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．思路点拨：(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数(一年内出险次数小于2的频数)，进而可得P(A)的估计值；(2)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%的频数(一年内出险次数大于1且小于4的频数)，进而可得P(B)的估计值．[解](1)事务A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事务B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.1．(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成果记录如下：射击次数n100120150100150160150击中飞碟数nA819512081119127121(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？[解](1)计算eq\f(nA,n)得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.(2)由于这些频率特别地接近0.800，且在它旁边摇摆，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.2．(变结论)本例条件不变，记C为事务“一续保人本年度的保费高于基本保费的150%”，求P(C)的估计值．[解]事务C发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4，由表中数据知，一年内出险次数大于或等于4的频率为eq\f(20＋10,200)＝0.15，故P(C)的估计值为0.15.随机事务概率的理解及求法1理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事务发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事务的概率.2求法：通过公式fnA＝eq\f(nA,n)＝eqeqeq\f(m,n)计算出频率，再由频率估算概率.1．辨析随机事务、必定事务、不行能事务时要留意看清条件，在给定的条件下推断是肯定发生(必定事务)，还是不肯定发生(随机事务)，还是肯定不发生(不行能事务)．2．随机事务在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的状况下，随机事务的发生呈现肯定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事务发生的频率去估算概率．3．写试验结果时，要按依次写，特殊要留意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“依次”“放回”“不放回”等．1．推断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“抛掷硬币五次，均正面对上”是不行能事务． ()(2)在平面图形中，三角形的内角和是180°是必定事务． ()(3)频率与概率可以相等． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列事务中的随机事务为()A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)cB．没有水和空气，人也可以生存下去C．抛掷一枚硬币，反面对上D．在标准大气压下，温度达到60℃C[A中的等式明显对随意实数a，b，c是恒成立的，故A是必定事务；在没有空气和水的条件下，人是肯定不能生存下去的，故B是不行能事务；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面对上还是反面对上，故C是随机事务；在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是603．一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892这一地区男婴诞生的概率约是________．(保留4位小数)0．5173[计算eq\f(m,n)即得男婴诞生的频率依次约为0.5200，0.5173，0.5173,0.5173.由于这些频率特别0.5173，因此，这地区男婴诞生的概率为0.5173.]