2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE单元素养评价(三)(第八章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列命题中正确的是 ()A.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.棱柱的底面肯定是平行四边形D.棱锥的底面肯定是三角形【解析】选A.平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱,故A正确;三棱柱的底面是三角形,故C错误;底面是矩形的平行六面体的侧面不肯定是矩形,故它也不肯定是长方体,故B错误;四棱锥的底面是四边形,故D错误.2.(2024·芜湖高一检测)如图,△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′,其中A′B′=2,则△ABC的面积为 ()A.2 B.4 C.2QUOTE D.4QUOTE【解析】选D.因为Rt△A′B′C′是一平面图形的直观图,直角边长为A′B′=2,所以直角三角形的面积是QUOTE×2×2=2,因为平面图形与直观图的面积的比为2QUOTE,所以原平面图形的面积是2×2QUOTE=4QUOTE.3.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则 ()A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的【解析】选C.(1)当平行于三棱锥一底面,过球心的截面如题(1)图所示;(2)过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如题(2)图所示;(3)过三棱锥的一个顶点(不过棱)和球心所得截面如题(3)图所示;(4)棱长都相等的正三棱锥和球心不行能在同一个面上,所以题(4)图是错误的.4.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:(1)若m⊥α,n∥α,那么m⊥n;(2)若m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;(3)若α∥β,m⊂α,那么m∥β;(4)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β,其中正确命题的序号是 ()A.(1)(2) B.(2)(3)C.(1)(3) D.(2)(4)【解析】选C.对于(1),假如m⊥α,n∥α,依据直线与平面垂直的性质可知m⊥n,所以(1)正确;对于(2),假如m⊥n,m⊥α,n∥β,依据线面垂直与线面平行性质可知α与β可以垂直,也可以平行,还可以相交,所以(2)错误;对于(3),假如α∥β,m⊂α,依据直线与平面平行的判定可知m∥β,所以(3)正确;对于(4),设平面α,β,γ分别是正方体中经过同一个顶点的三个面,则有α⊥γ且β⊥γ,但是α⊥β,推不出α∥β,故(4)不正确.5.(2024·杭州高一检测)如图,在正四面体OABC中,D是OA的中点,则BD与OC所成角的余弦值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.取AC的中点E,连接DE,BE,依据题意∠BDE为异面直线BD与OC所成的角,设正四面体的边长为2,则DE=1,BD=BE=QUOTE,由cos∠BDE=QUOTE=QUOTE,所以BD与OC所成角的余弦值是QUOTE.6.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体,且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为QUOTE-1和3,则此组合体的外接球的表面积是 ()A.16π B.20π C.24π D.28π【解析】选B.设外接球半径为R,球心为O,圆台较小底面圆的圆心为O1,则:OQUOTE+12=R2,而OO1=QUOTE+2-R,故R2=1+(QUOTE+2-R)2,所以R=QUOTE,所以S=4πR2=20π.7.(2024·西城高一检测)阅读下面题目及其证明过程,在横线处应填写的正确结论是 ()如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点,求证:平面PAC⊥平面BDE.证明:因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,所以.

又因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBDC.BD⊥平面PAC D.AC⊥平面BDE【解析】选C.因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.8.(2024·九江高一检测)半正多面体亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为QUOTE,则该二十四等边体外接球的表面积为 ()A.4π B.6π C.8π D.12π【解析】选C.由已知依据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为QUOTE,侧棱长为2的正四棱柱的外接球,所以(2R)2=(QUOTE)2+(QUOTE)2+22,所以R=QUOTE,所以该二十四等边体的外接球的表面积S=4πR2=4π×(QUOTE)2=8π.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为 ()A.QUOTEπ B.(1+QUOTE)πC.2QUOTEπ D.(2+QUOTEπ)【解析】选AB.若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=QUOTE,这时表面积为QUOTE×2π·1·l+π·12=(1+QUOTE)π;若绕斜边旋转一周时,旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意底面半径为QUOTE,两个圆锥的母线长都为1,所以表面积S=2×QUOTE×2π·QUOTE×1=QUOTEπ,综上所述该几何体的表面积为QUOTEπ或(1+QUOTE)π.10.(2024·潍坊高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1A.截面形态可能为正三角形B.截面形态可能为正方形C.截面形态可能为正六边形D.截面面积最大值为3QUOTE【解析】选ACD.明显A,C成立,B不成立,下面说明D成立,如图截得正六边形,面积最大,MN=2QUOTE,GH=QUOTE,OE=QUOTE=QUOTE,所以S=2×QUOTE×(QUOTE+2QUOTE)×QUOTE=3QUOTE,故D成立.11.设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,则下列命题中正确的是 ()A.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βB.若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥βC.若l∥α,α⊥β,则l⊥βD.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n【解析】选BD.由α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线知:A.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故A错误;B.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故B正确;C.若l∥α,α⊥β,则l与β相交、平行或l⊂β,故C错误;D.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则由线面平行的性质定理得m∥n.故D正确.12.在三棱锥C-ABD中(如图),△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形,O为斜边BD的中点,AB=4,二面角A-BD-C的大小为60°,下面结论中正确的是 ()A.AC⊥BDB.AD⊥COC.cos∠ADC=QUOTED.三棱锥C-ABD的外接球表面积为32π【解析】选AD.因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形,O为斜边BD的中点,所以CO⊥BD,AO⊥BD,AO∩OC=O,所以BD⊥平面AOC,所以AC⊥BD,因此A正确;假设CO⊥AD,又CO⊥BD,AD∩BD=D,可得CO⊥平面ABD,与∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°冲突,因此B不正确;AB=4,AC=OA=2QUOTE,AD=CD=4,所以cos∠ADC=QUOTE=QUOTE≠QUOTE,因此C不正确;三棱锥C-ABD的外接球的球心为O,半径为2QUOTE,表面积S=4π×(2QUOTE)2=32π,因此D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.(2024·南京高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P是棱CC1上一点,记三棱柱ABC-A1B1C1与四棱锥P-ABB1A1的体积分别为V1与V2,则QUOTE=.

【解析】设AB=a,在△ABC中AB边所对的高为b,三棱柱ABC-A1B1C1则V1=QUOTEabh,V2=QUOTE×ah·b,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=QUOTE,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.

【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,MN⊂平面A1B1C1D1,所以MN又PQ=平面PMN∩平面ABCD,所以MN∥PQ.因为M,N分别是A1B1,B1C1所以MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC,又AP=QUOTE,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,所以CQ=QUOTE,从而DP=DQ=QUOTE,所以PQ=QUOTE=QUOTE=QUOTEa.答案:QUOTEa15.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中AD=BD=QUOTE,∠BAC=30°,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转动,则下列说法正确的是(填序号).

①当平面ABD⊥平面ABC时,C,D两点间的距离为QUOTE;②在三角板ABD转动过程中,总有AB⊥CD;③在三角板ABD转动过程中,三棱锥D-ABC体积的最大值为QUOTE.【解析】①取AB中点O,连接DO,CO,因为AD=BD=QUOTE,所以DO=1,AB=2,OC=1.因为平面ABD⊥平面ABC,DO⊥AB,DO⊂平面ABD,所以DO⊥平面ABC,DO⊥OC,所以DC=QUOTE,①正确;②若AB⊥CD,AB⊥OD,OD∩CD=D,则AB⊥平面CDO,所以AB⊥OC,因为O为AB中点,所以AC=BC,∠BAC=45°与∠BAC=30°冲突,所以②错误;③当DO⊥平面ABC时,棱锥的高最大,此时V棱锥=QUOTE×QUOTE×AC·BC·DO=QUOTE×QUOTE×1×1=QUOTE,③正确.答案:①③16.在四面体S-ABC中,SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=QUOTE,AC=QUOTE,则该四面体体积的最大值为,该四面体外接球的表面积为.

【解析】四面体的体积最大时即面SAB⊥面ABC,SA=SB=2,且SA⊥SB,所以AB=2QUOTE,因为BC=QUOTE,AC=QUOTE,所以AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,取AB的中点H,连接CH,SH,SH⊥AB,面SAB∩面ABC=AB,SH在面SAB内,所以SH⊥面ABC,而SH=QUOTE×QUOTESA=QUOTE,所以VS-ABC=QUOTES△ABC·SH=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;则外接球的球心在SH所在的直线上,设球心为O,连接OC,CH=QUOTEAB=QUOTE×2QUOTE=QUOTE,因为SH=QUOTE,所以O与H重合,所以R=CH=SH=QUOTE,所以四面体的外接球的表面积为4πR2=8π.答案:QUOTE8π四、解答题(共70分)17.(10分)某个实心零部件的形态是如图所示的几何体,其下部是正四棱台ABCD-A1B1C1D1,其上部是底面与四棱台的上底面重合的正四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),若加工处理费为0.2元/cm【解析】因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2所以该零部件上部的表面积S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=A2QUOTE+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm2),又四棱台ABCD-A1B1C1D1所以该零部件下部的表面积S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面=A1QUOTE+4×QUOTE×(AB+A1B1)×h等腰梯形的高=202+4×QUOTE×(10+20)×QUOTE=1120(cm2),则该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),0.2×2420=484(元),故需支付加工处理费484元.18.(12分)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2QUOTE,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1;(2)求圆柱的侧面积.【解析】(1)依题意AB⊥AC.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC.又因为AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B.因为BA1⊂平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.(2)在Rt△ABC中,AB=2,AC=2QUOTE,∠BAC=90°,所以BC=2QUOTE.S侧=2QUOTEπ×3=6QUOTEπ.19.(12分)(2024·全国Ⅰ卷)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;(2)设DO=QUOTE,圆锥的侧面积为QUOTEπ,求三棱锥P-ABC的体积.【解题指南】(1)依据已知可得PA=PB=PC,进而有△PAC≌△PBC,可得∠APC=∠BPC=90°,即PB⊥PC,从而证得PB⊥平面PAC,即可证得结论;(2)将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系,进而求出底面半径,求出正三角形ABC的边长,在等腰直角三角形APB中求出AP,结合PA=PB=PC即可求出结论.【解析】(1)由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,因为PB在平面PAB内,所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=QUOTE,l2-r2=2.解得r=1,l=QUOTE,从而AB=QUOTE.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=QUOTE.所以三棱锥P-ABC的体积为QUOTE×QUOTE×PA×PB×PC=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.20.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【证明】(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1所以A1B1∥ED.又因为DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1又因为BE⊂平面ABC,所以C1C因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.21.(12分)如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=QUOTE,AB=BC=QUOTEAD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36QUOTE,求a的值.【解析】(1)在题图①中,因为AB=BC=QUOTEAD=a,E是