河北省张家口市尚义县2024−2025学年高二上学期10月阶段测试 数学试卷含答案

河北省张家口市尚义县2024−2025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷一、单选题（本大题共2小题）1．在空间直角坐标系中，点的坐标为，点关于平面对称的点是（

）A． B．C． D．2．已知，且与共线，则的坐标是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共1小题）3．一组样本数据为6，11，12，16，17，19，31，则错误的选项为（

）A．该组数据的极差为25B．该组数据的分位数为17C．该组数据的平均数为16D．若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等三、单选题（本大题共5小题）4．在三棱柱中，（

）A． B． C． D．5．若空间中有三点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．已知点，又点在平面内，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则CD的长等于（

）

A． B． C． D．8．已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（

）A． B． C． D．四、多选题（本大题共3小题）9．下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（

）A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行C．两条不重合直线的方向向量分别是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则10．下列说法正确的是（

）A．向量与向量共面B．若与共面，则，使得C．若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底D．若，则共面，反之不正确11．棱长为1的正方体中，点在棱CD上运动，点在侧面上运动，满足平面，则（

）A．点在侧面对角线上 B．点在侧面对角线上C．线段PQ的最小值为 D．线段PQ的最小值为五、填空题（本大题共3小题）12．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为.13．如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为.

14．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为.六、解答题（本大题共5小题）15．在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）；(2)若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，.

(1)试用表示向量；(2)求与的夹角.17．如图，在长方体中，.

(1)证明：平面；(2)求到平面的距离.18．如图1，等腰中，底分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.(1)求证：平面；(2)为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.19．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点.(1)在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值.

参考答案1．【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数，因为点的坐标为，所以点关于平面对称的点是.故选：C.2．【答案】B【详解】因为，且与共线，所以，解得，所以.故选：B.3．【答案】ACD【详解】对于A，根据极差定义，该组数据的极差为，故A正确；对于B，因为，所以该组数据的分位数为，故B错误；对于C，该组数据的平均数为，故C正确；对于D，若该组数据去掉得到一组新数据，则新数据6，11，12，17，19，31的平均数为，所以这两组数据的平均数相等，故D正确.故选：ACD.4．【答案】C【详解】如图所示根据题意知又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，则，所以，根据向量的平行四边形法则可得故选：C5．【答案】D【详解】，设平面的一个法向量为，由得，令得，所以，则点到平面的距离为.故选：D.6．【答案】C【详解】，，由于，所以三点不共线，可得，即可得，解得.故选：C.7．【答案】A【详解】由二面角的平面角的定义知向量，所以，得，由得，因为，所以，可得.故选：A.8．【答案】A【详解】由题意知，平面，平面，所以，又，故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，得所以，，记，则，所以F到直线BC的距离为.故选：A9．【答案】ABC【详解】解：对于A，因为两个不重合的平面法向量平行，则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面，即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，所以这两个平面平行，故正确；对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故正确；对于C，因为，所以，所以，故正确；对于D，因为，，所以，所以，所以或，故错误.故选：ABC.10．【答案】AB【详解】对于A，令，则，解得，可得，故A正确；对于B，若与共面，则，使得，故B正确；对于C，因为是空间的一个基底，所以不共面，假设共面，则存在实数，使得，即，解得，所以假设成立，所以不能构成空间一个基底，故C错误；对于D，若，则共面，反之也正确，故D错误.故选：AB.11．【答案】BD【详解】如图建立以为坐标原点空间直角坐标系，设，，则，所以因为平面，所以，可得，由可知点在侧面对角线上，故A错误，B正确；，可得，所以，故当时，，故D正确.故选：BD.12．【答案】【详解】由题意可知，根据点到平面的距离为.故答案为：13．【答案】0.775/【详解】由题意，开关在某段时间均正常工作的概率，开关在某段时间正常工作的概率，这段时间内线路正常工作的概率为：.故答案为：0.775.14．【答案】【详解】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量，且平面与直线相交于，所以直线与平面所成角的正弦值为，对于二次函数，其是图象一条开口向上的抛物线，对称轴为，当时，函数取到最小值，且最小值为，此时直线l与平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值为，对应平面的方程为.故答案为：.15．【答案】(1)，(2)【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得；因为成绩在的频率为，所以，第百分位数位于，设其为，则，解得，所以，第百分位数约为.（2）由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06，采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人，设分数在[40，50)内的2人为，分数在[50，60)内的3人为，则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况，其中得分不在同一组的2人有：，，，，，，有6种情况，所以概率为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）；（2）因为，，，所以，所以，因为，所以与的夹角为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，

则，所以，，所以，又因，平面，平面，所以平面；（2）设平面的法向量为n=x,y,z，到平面的距离为，由，所以，令，可求得则，所以.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）如图，由（1）知平面，取的中点，连接，则，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，可得，，由得，则，设n=x,y,z为平面则，即，令，则，所以，为平面的一个法向量，所以，由图可得平面与平面夹角的余弦值为.19．【答案】(1)存在点(2)【详解