2025届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用课时规范练文含解析北师大版

PAGE其次章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用课时规范练A组——基础对点练1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先动身B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时动身，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．答案：D2．20世纪30年头，为了防范地震带来的灾难，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是运用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为()A．6 B．8C．10 D．12解析：由题意知，lgA－lg0.001＝4，所以lgA＝1，即A＝10.故选C.答案：C3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．故选C.答案：C4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A．11000元 B．22000元C．33000元 D．40000元解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x＝60时，有最大利润33000元，故选C.答案：C5．今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do9(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2答案：C6．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经验了n次涨停(每次上涨10%)，又经验了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏状况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利 B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D．无法推断盈亏状况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经验n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经验n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．答案：B7．(2024·开封质检)用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3米 B．4米C．6米 D．12米解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．答案：A8.某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：A9．(2024·南昌模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差__________．解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式的电话费相差10元．答案：10元10．(2024·唐山模拟)某人安排购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年削减它的价值的10%)，试求，大约运用多少年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元？解析：设运用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元．依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.0634＞0，所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．故大约运用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．B组——素养提升练11．(2024·沈阳模拟)一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个微小的小孔渐渐地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发觉容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有起先时的八分之一．解析：依题意有a·e－b×8＝eq\f(1,2)a，所以b＝eq\f(ln2,8)，所以y＝a·e－eq\f(ln2,8)t.若容器中的沙子只有起先时的八分之一，则有a·e－eq\f(ln2,8)t＝eq\f(1,8)a，解得t＝24，所以再经过的时间为24－8＝16min.答案：1612．(2024·东城区模拟)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，该物质的浓度为________mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则最小的整数t的值为________．(参考数据：lg2≈0.3010)解析：依据条件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64，∴a＝100，r＝eq\f(2,5).∴M(t)＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)＋24，∴M(4)＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＋24＝26.56.由100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)＋24<24.001得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)<(0.1)5，∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(t)<lg(0.1)5，∴tlgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))<－5，∴t[lg2－(1－lg2)]＜－5.∴t(2lg2－1)＜－5，代入lg2≈0.301，得－0.398t＜－5，解得t＞12.6.∴最小的整数t的值是13.答案：26.561313．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为激励销售商订购，确定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋eq\f(60－51,0.02)＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．(2)当0≤x≤100时，p＝60；当100＜x＜550时，p＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50)；当x≥550时，p＝51.所以p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60（0≤x≤100），,62－\f(x,50)（100＜x＜550），（x∈N＋），,51（x≥550）.))(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(p－40)x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x（0≤x≤100），,22x－\f(x2,50)（100＜x＜550），（x∈N＋），,11x（x≥550），))当0≤x≤100时，L≤2000；当x≥550时，L≥6050；当100＜x＜550时，L＝22x－eq\f(x2,50).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22x－\f(x2,50)＝6000，,100＜x＜550，))解得x＝500.14．为了维持市场持续发展，壮大集团力气，某集团在充分调查市场后确定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如表(单位：万美元)：年固定成本每件产品的成本每件产品的销售价每年可最多生产的件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特殊关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N＋)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种