2024-2025学年高一年级上册期中模拟考试数学试题（新高考地区专用集合与逻辑、不等式、函数） （全解全析）

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷02

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章〜第三章。

5.难度系数：0.55。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/={xeZ|-4<x<l},S=则的非空子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【解析】因为/={xeZ|-4Vx<1}={-3,-2,-1,0},

XS=j-2,-l,0,||,所以“口8={-2,-1,0},

所以/C3的元素个数为3,其非空子集有2?一1=7个.

故选A.

2.不等式（尤-3乂5-尤）<0的解集为（）

A.{x|3<x<5}B.[x\x<3,或x>5}

C.{x|-5<x<-3}D.{x|x<-5,或x>-3}

【答案】B

【解析】由（计3）（5—x）<0可得（无一3）@一5）>0,解得x>5或x<3,

故不等式的解为卜,<3或无>5},故选B.

3.下列各组函数是同一组函数的是（）

2x+l,x>0

B.y=|x+l|+|x|与y

—2.x—1,x<一1

c.歹二k|与y=J^"

D.y=|x|与尸（石）2

【答案】C

【解析】对于A中，由函数户土

的定义为(-8,1)。(L+00),

函数了=4X+]的定义域为（F,-l）U（-1,1）51,茁）

X-1

两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意;

2x+l,x>02x+l,x>0

对于B中，由函数V=|%+1|+周=<1,-1<x<0与函数y=Wx<0

—2.x—1,x<-1—lx-1,x<—1

其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数y=国与y=」?=国，两个函数的定义域与对应关系都相同，

所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；

对于D中，函数)=国的定义域为R,函数y=(&)2的定义域为[0,+与，

两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意.

故选C.

4.已知P：-2<x<10,l-7«<x<l+ffl(m>0),若。的充分不必要条件是4,则实数加的取值范围为

()

A.0<m<3B.0<m<3

C.m<3D.m<3

【答案】A

【解析】设/=卜卜2(尤410},B={x\l-m<x<l+m],

因为。的充分不必要条件是4,所以8是A的真子集，

m>0

所以1-加2,且等号不同时成立，解得0〈加W3,

1+m<10

当机=3时，5={x|-2<x<4),成立，所以0〈冽<3.故选A.

5.若两个正实数x,y满足4x+y=2",且不等式尤+（〈疗一加有解，则实数〃？的取值范围是（）

A.(-1,2)B.—2)U(1,+00)C.(-2,1)D.(-co,-l)u(2,+oo)

【答案】D

14

【解析】由两个正实数X—满足4X+昨2X,,得亍=2,

4xv

当且仅当一=丁，即y=4x=4时取等号，

y4x

由不等式》+4＜加2-加有解，得病一m〉2，解得加＜T或加＞2,

4

所以实数机的取值范围是（-哈-1）。（2,内）.

故选D.

6.记实数项,尤2,…,毛的最小数为min{x/2,…再,}，若/（无尸min（x+l,尤2-2x+l,-x+8）,则函数的最大

值为（）

9

A.4B.-C.ID.5

2

【答案】B

【解析】

如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数乂=x+l,%=--2x+l,%=-x+8的图象,

而〃x）=min{x+l,x2-2x+l,r+8}的图象即是图中勾勒出的实线部分,

要求的函数/'（x）的最大值即图中最高点A的纵坐标.

7

x=­

V=X+1故所求函数（）的最大值为，

由：…+8联立解得，/X

y=—

2

故选B.

(3〃-l)x+4(2,(x<1)

7.已知函数/(%)=〃/在R上单调递减，则实数〃的取值范围为()

一,021)

〔X

【答案】D

3a—1<0

【解析】因为/(X)在R上单调递减，故。>0,

3a-l+4a>a

辽1,1

^-<a<­.

63

故选D.

“2,"⑷一""西)<2,且

8.已知函数/'(x)为定义在R上的偶函数，Vx15x2e(0,+oo),无]<

X2-Xy

/⑼=0,则不等式的解集为()

A.[-1,1]B.(-l,0)U(0,l)

C.(-1,0)31，+*D.(-1,1)

【答案】D

【解析】由题意，Vx15x2e(0,+oo),不<9，则%-再>0，

f(x2)+21(xJ+2

2<0

2-再

，〃士)+2

因为苫2-占>0,Xlx2>0,得小)+2_〃网)+2<0,即〃9)+2<

x2x1x2

设g(x)="?+2,(x>0),则函数g(x)在(0,+e)上单调递减，

X/(l)=-2,则g⑴J(?+2=0,

因为不等式〃x)>-2,/(x)+2>0,

则g(x)>g⑴，

所以0<x<l,

又函数y(x)为定义在R上的偶函数,

所以当％<0时，一l<x<0,

又"0)=0，

所以不等式/(X)>-2的解集为(-1,1).

故选D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正数x,V满足x+y=2,则下列选项正确的是()

A.1+'的最小值是2

B.刈的最小值是1

xy

的最大值是:

C./+/的最小值是4D.x(y+l)

【答案】AD

11/4+y_1y%1Vx

【解析】A.=2,当且仅当宗=丁，即x=y=l时

xyyJ222x2y♦2.x2y

等号成立，故选项A正确.

B.孙字］=1,当且仅当x=y=l时等号成立，故选项B错误.

C.X2+j2=(x+.y)2-2xy>(x+y)2-2=2，当且仅当天=了=1时等号成立，故选项C

错误.

D.因为x+y=2,所以x(y+l)V3+；+l：=g,当且仅当苫=>+1=：时等号成立，故选项D正确.

故选AD.

10.集合/=｛#-1)/+3》-2=0｝有且仅有两个子集，贝匹的值为()

11

A.1B.-C.-1D.——

88

【答案】AD

【解析】集合/=卜|(。-1)—+3、-2=0｝表示关于％的方程(Q—l)/+3x—2=0的解集，

又集合A有且仅有两个子集，所以集合A有且仅有一个元素，

当。-1=0,即。=1时，由3x-2=0,解得x=g,即/=，•!，，符合题意;

当”1片0,即awl时，则A=32+8（a-l）=0,解得。=-1止匕时/=

综上可得，“=1或a=-；

O

故选AD.

11.7（x）是定义在R上的偶函数，当xNO时，f（x）=4x-f,则下列说法中簿送的是（）

A./（x）的单调递增区间为（一叫一2]u[0,2]B./（-7t）</（5）

C.f（x）的最大值为4D./（力>0的解集为（T,4）

【答案】ABD

【解析】A.两个单调区间中间要用“和”分开，故A错误；

B.因为/（力是定义在R上的偶函数,所以/（一兀）=/（兀）,

又在[2,E）上单调递减,贝1]/（-兀）=/（兀）>/（5）,故B错误;

C.当x20时，/（x）=4x-x2=-（x-2）2+4,7（x）最大值为4,

又因为/（x）是偶函数，所以/（x）的最大值为4,故C正确；

D.如图所示：/（耳>0的解集为（-4,0）"0,4）,故D错误.

1-4-2O

故选ABD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.命题。：3%0>1,君-/<0,则命题。的否定为.

【答案】Vx>l,x2-x>0

【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：

命题。：*21,尤；-无。<0的否定为VxNl,%2-x>0.

故答案为：Vx>l,x2-x>0.

13.若函数=且/⑷=8,则实数a的值为

Vx)x

【答案】土戈

【解析】•••函数=+2,又y=的值域为R,

<X)X\X)X

/./(x)=%2+2(xeR),

:./(a)=8,可得/+2=8，解得”土指.

故答案为：士瓜.

14.函数/(x)=J-d+5x+6在区间［1,5］的最大值为.

【答案】4/3.5

2

【解析】(1)由一*+5x+620=>——5%—6K0n—1KxK6,

所以/卜)的定义域为［T6］

令"(1)=-工2+5x+6=-(工一||十^，开口向下，对称轴为x=g,

根据复合函数的单调性可知，

/(X)的单调递增区间是-1,1；单调递减区间是1,6

/(X)在区间［1,5］的最大值为d£|=(.

7

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知集合/=lxeR|ax2-3x+l=0,aeR^.

(1)若集合/中仅含有一个元素，求实数。的值；

(2)若集合/中含有两个元素，求实数。的取值范围.

【解析】(1)当。=0时，x=j,符合题意；

,Q

当awO时，A=(-3)--4a=0,得.=“

9

综上，4=0或"一.

4

（2）集合力中含有两个元素，即关于x的方程如2_3%+1=0有两个不相等的实数根,

9

所以awO,且八=（一3）9-4。〉0,解得且awO,

所以实数a的取值范围为同。<^且。70}.

16.（15分）

已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，当x<0时，/（x）=--x2.

⑴求「（X）的解析式；

⑵用定义证明在（-叫-1）上为增函数.

【解析】（1）因为函数f（x）是定义在肚的奇函数，所以/（0）=0,〃_幻=_/（0

2

又当％<0时，/(x)=——%2,

2?

所以当1〉0时，_%<0,/(—X)=----(―X)9=----X2=-f(X),

—XX

2

所以当1>0时，/(%)=—+/,

22

—x，工<0

x

故/(%)=]06=0

2

--FX9,X>0

a

（2）证明：设再<工2<-1，

则/(%)-/(%)=+

2（%2一西）1

X

(x2-Xj)(x2+xi)=(%2-1

XxX2

因为项<%2<-1,所以％-玉>0，x2+^<-2,xxx2>1,贝！JO<---<2,

2

故一+x2+x1<0,所以/(%)一/(,)<0,即〃再)</(切,

所以「（X）在（一双T）上为增函数.

17.(15分)

设函数g（x）=2x2+bx+c.已知关于尤的不等式g（x）<20的解集为（-4,1）.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若关于》的方程85)-"覆=0在区间(2,4)内有解，求实数机的取值范围.

【解析】(1)因为2/+6x+c<0的解集为(-4,1),

所以一4和1是方程2/+法+。-20=0的两个根，

-4+1=(,A

7\b=6

由根与系数的关系可得“，解得』，

,yc-20\c=12

-4x1=-----i

I2

所以g(x)=2/+6x+12.

(2)因为关于x的方程g(x)-MX=0在区间(2,4)内有解，

12

所以加=2%+—+6在区间(2,4)内有解，

x

1?

令力(x)=2x+—+6,函数人(x)在(2,6)上递减，在(庭,4)上递增，

又〃(迷)=4指+6,〃(2)=16,〃(4)=17,

所以4痛+6(机<17.

18.(17分)

定义在(0,+句上的函数/(x)满足：①/(2)=1,②/(盯)=/(x)+/Q),其中'J为任意正实数：③

任意正实数无，唾满足xwy时,(x-y)[/(x)-/3]>0恒成立.

⑴求/⑴，/(4)；

⑵试判断函数f(x)的单调性：

(3)如果/口)+/6-3)42,试求》的取值范围.

【解析】⑴取x=1=l得,/(1)=/(1)+/(1),.-./(1)=0；

/(4)=/(2)+/(2)=2;

(2)令x=X[,y=X2，可得(不一工2)[/(不)一102)]>0，

设七>%>0,则网_/>0,所以/(否)_/(工2)>0，即/(西)>/(马)，

/(x)S(0,+8)±单调递增；

(3)根据/⑺满足的条件②及"4)=2,

/(x)+/(x-3)42得，/[x(x-3)]</(4);

根据/'(x)为增函数得X(X-3)44；

x>0

再由“X)的定义域得到不等式组<x-3>0,

x(x-3)<4

解得3<》44,.”的取值范围为(3,4].

19.(17分)

若函数G在加上的最大值记为>2，最小值记为Wn，且满足/max-Wn=1，则称函数G

是在m<x<n上的“美好函数

(1)函数①>=x+l;②了=|2x|；③了=x2,哪个函数是在l〈xW2上的“美好函数”，并说明理由；

(2)已知函数G:y=ax2-2ax-3Maw0).

①函数G是在14x42上的“美好函数”，求。的值；

②当。=1时，函数G是在+l上的“美好函数”，求I的值.

【解析】⑴①因为1WXV2,所以2VX+1V3,所以几ax=3,ymin=2,

得Baxn=1，故>=》+I是在14X