河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024—2025学年高三（上）质检联盟期中考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，平面向量，复数，数列，概率统计．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则（）A． B． C． D．2．已知向量，若（），则实数的值为（）A．1 B．1 D． D．3．在数列中，若，则下列数是中的项的是（）A．4 B．4 C． D．34．已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（）A．4 B．4 C． D．5．已知，则（）A． B． C． D．6．已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（）A． B．2 C．4 D．67．函数的所有零点的和为（）A． B．3 C．4 D．68．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若复数是方程的两个根，则（）A．为纯虚数 B． C． D．10．已知表示不超过的最大整数．设函数的两个零点为，则（）A． B． C． D．11．已知数列的前项和为则下列说法正确的是（）A．是等比数列 B．C．中存在不相等的三项构成等差数列D．若，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．设是等差数列的前项和，若，则▲．13．将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合．与相交于点，若，则▲．14．已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4:4:2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；（2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．16．（15分）记△的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求△面积的最大值．17．（15分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（17分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围；（3）若，且，求的最小值．19．（17分）已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”．（1）若，判断数列是否为“封闭数列”；（2）已知递增数列为“封闭数列”，求；（3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列．2024-2025学年高三（上）质检联盟期中考试数学参考答案1．B2．A3．B4．C5．C6．D7．C8．A9．ABD10．AC11．ABD12．13．14．15．解：（1）设事件分别表示买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得，，由全概率公式有，所以他买到的红茶是优质品的概率为．（2）设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，则．16．解：（1）由，可得，即，所以，，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立．故△面积的最大值为．17．解：（1）令，得．当时，因为，所以，两式相减得，即，所以，所以，即，所以．又，符合上式，所以（2），则，，两式作差得，即，所以．18．解（1）当时，，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即．（2）由，得，令，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．因为，所以，则的取值范围为．（3）因为，且，所以在上恒成立．设函数，可得在上单调递减，所以在上恒成立，即对时恒成立．设，则．设，则，令，解得．当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．，当时，，，则，所以存在，使得，即．当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值．，当时，，又整数，所以的最小值为2．19．（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．因为和均不是中的项，所以数列不是“封闭数列”．（2）解：由题意数列递增可知，则不是中的项，所以是中的项，即．因为，所以都是中的项，所以，得，由，