《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第八章 空间解析几何答案

习题8-1（A）1．求空间两点与之间的距离．解：．2．写出点的对称点坐标：（1）分别关于、、平面的对称点坐标；（2）分别关于轴、轴、轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）；；．（2）；；．（3）．3．判断由，，三点构成的三角形的形状．解：因为，，，进一步，计算可得，所以为直角三角形．4．求点到各个坐标轴之间的距离．答案：点到轴的距离，点到轴的距离，点到轴的距离．5．在轴上求一点，使它到点和的距离相等．解：由题意设点，且满足，即，解得，所以．6．一动点与定点的距离为，求动点所满足的方程．解：由题意，所以，即．一动点与两定点与距离相等，求动点所满足的方程．解：由题意，即，整理得．

习题8-2（A）1．设向量，，求．解：．2．已知点是线段的中点，是线段外一点，若，，求．解：由题意知，，因此，．3．设点分别是四边形两对角线与之中点，若，，求．解：设中点为，中位线，中位线，所以在中，．4．已知向量，求以及与平行的单位向量．解：，与平行的单位向量．5．若，，且向量与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．6．已知向量、，求、及．解：；；，，由可知，所以．7．设，，求向量的方向角和方向余弦．解：，，方向余弦，，方向角，，．8．一向量的终点为且它在轴、轴、轴上的投影依次为，和，求这个向量的起点的坐标．解：由题意可知，设点坐标为，则，，，解得，，，所有点坐标为．9．若向量与向量垂直，求值．解：，解得或．10．求与向量、都垂直的单位向量．解：由题意，且，故所求单位向量为．11.已知点，，，求．解：因为，，所以，因此．12．若与垂直且都是单位向量，求以，为邻边的平行四边形面积．答案：．解析：由题意，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为：．习题8-2（B）1．证明向量与向量垂直．证：，因为，故，所以．2．用向量证明三角不等式．证：设，，，则，两边平方得，即．又因，，，又，所以即，故．3．已知向量满足，，，求．解：，，，所以．4．已知向量满足，且，，求．解：，因为，，，则，又因，，所以．5．已知向量、、两两垂直，且、、，设，求以及与的夹角．解：，所以.又因，所以，故与的夹角．6．两个非零向量和满足如下条件：向量与垂直，并且向量与垂直，求向量，的夹角．解：设向量与的夹角为，由，有；由，有，上述两个方程联立，解得，得，所以向量与的夹角为．

习题8-3（A）分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点且垂直于轴；（2）过点且平行于平面；（3）过点且与线段垂直，其中为坐标原点；（4）过三点，，；（5）线段的垂直平分面，其中，；（6）平行于平面且过点；（7）过轴和点；（8）过轴且垂直于平面；（9）过原点及点且垂直平面；（10）过点且在轴和轴上的截距分别为和．解：（1）由于所求平面垂直于轴，故所求平面平行于平面，所以所求平面的方程为；（2）设所求平面为，又因为其过点，代入得，所以所求平面方程为；（3）向量即为所求平面的法向量，又平面过点，所以所求平面方程为，即；（4）所求平面的法向量为，代入点，得到所求平面方程为，即；（5）即为所求平面的法向量，且过线段的中点，所以所求平面方程为，即；（6）由题意所求平面垂直于轴，且过点，所以所求平面方程为；（7）设所求平面方程为，代入点得，所以所求平面方程为；（8）所求平面的法向量为，且过原点，所以所求平面方程为；（9）所求平面的法向量为，所以所求平面方程为；（10）由题意设所求平面的截距式方程为，其中为平面在轴上的截距，代入点，解得，所以所求平面为．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）平面；（2）垂直于轴的平面；（3）平行于轴的平面；（4）平行于轴的平面；（5）在轴、轴和轴上截距全为1的平面；（6）在轴、轴和轴上截距分别为2、和4的平面；求平面与平面的夹角．解：，，，所以两平面夹角．一平面过点且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为，代入得，所以所求平面为．一平面过点，且与平面和都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向，又知其过点，所以得到所求平面方程为，即．求点到平面的距离．解：由点到平面的距离公式可得．习题8-3（B）1．一平面过两点，,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为，且，将点，代入平面方程中，联立方程组解得，或，所以所求平面方程为或．2．一动点与平面的距离等于它到轴的距离，求动点的轨迹．解：由题意点到轴的距离为，点到平面的距离为，所以，解得，即为动点的轨迹．3．设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为︰，求平面的方程．解：平面与之间的距离为．设所求平面方程为，则与的距离应为，与的距离应为，而，于是，得，所以所求平面方程为．4．一平面与平面平行，若点到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为，又点到两平面的距离相等，则，即，得，（舍），所以所求平面方程为．5．求过轴且与点的距离为的平面方程．解：由过轴，设所求平面方程为，由点到的距离为，有，即，得，所求方程为，即．6．求平行于平面且与三坐标平面所构成的四面体的体积为个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为，即，由题意，解得，所求平面方程为．

习题8-4（A）分别求满足下列各条件的直线方程：过点且与直线平行；过原点垂直于平面；过两点，；过点且与两平面及都平行；过点且与直线平行．答案：（1）；（2）；（3）（或）；（4）；（5）．分别求满足下列各条件的平面方程：过点且垂直于直线过点及直线；过轴，且平行于直线：过两平行直线与．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．用对称式方程及参数方程表示直线解：先在直线上找一点，令，解方程组，得.故点在直线上．再求直线的方向向量，由题意可知，所以对称式方程为，从而参数式方程为求两直线与的夹角．解：由已知，有直线的方向向量为，直线的方向向量为，由夹角公式可得，所以．求直线与平面的夹角．解：直线的方向向量，平面的法线向量，由直线与平面的夹角公式，有．6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）和；（2）和；（3）和；（4）和．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．求直线与平面的交点．解：将直线改写为参数方程，将其代入到平面方程之中，有，即，得，再将代到直线的参数方程之中，得，所以直线与平面的交点为．8．设直线，，求同时平行于且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量，则其方程为，下面求．在上取点，在上取点，利用点到平面距离相等可得：，解得.因此，所求平面为．9．求点在平面点上的投影．解：做过点且垂直于平面的直线方程为，该直线与平面的交点即为所求的投影点．习题8-4（B）1．求点关于直线的对称点的坐标．解：设，过做平面，则的方程为，求得直线与平面的交点为，则点是线段的中点，因此由中点公式得．2．求原点关于平面的对称点.解：过原点做该平面的垂线，代入平面方程解得，得直线与平面的交点为．设所求对称点为，则有，所以．3．求点到直线的距离．解：过点作一个垂直于直线的平面，方程为，即将直线的参数方程代入到平面方程中，得所以直线与平面的交点坐标为，所以点到直线的距离为点与交点的距离，即所求距离为．4．设直线在平面上的投影方程为，在平面上的投影方程为，求直线在平面上的投影方程．解：设过直线的平面束方程为，即，若该平面与轴平行，则有，所以在平面上的投影方程为．5．若直线与相交，求的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有，，，所以．下面求交点：将直线方程改写为参数方程，，与相交时，下列方程组应有解：，解得，代入参数方程得到交点坐标为．求过直线且与球面相切的平面方程．解：所求平面为，即，球心为原点，到平面的距离等于半径，所以，分子分母平方相等化简得，即，解得或，代入方程，得所求平面为或．7．求过原点，且经过点到直线的垂线的平面方程．解：由已知得的方向向量，过点做直线的垂直平面，其方程为，即.设交点为直线与此平面的交点，解得.由于所求平面过原点，可设其方程为,将、坐标代入平面方程得：解得.故所求平面方程为．

习题8-5（A）分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点为球心，为半径的球面方程；（2）以点为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点和等距的动点轨迹；（4）与原点及定点的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）；（2）．答案：（1）球心，半径；（2）球心，半径．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）面上抛物线绕轴旋转一周；（2）面上直线绕轴旋转一周；（3）面上椭圆分别绕及轴旋转一周；（4）面上双曲线分别绕及轴旋转一周．答案：（1）；（2）；（3）绕轴：，绕轴：；（4）绕轴：；绕轴：．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）；（2）；（3）.答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；．5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）；（2）（3）；（4）．答案：略．习题8-5（B）一球面过原点和、和，求该球面的方程．解：设球面方程为，由于它过、和，因此解得因此，该球面的方程为．画出下列各曲面所围立体的图形:（1），，，，（在第一卦限内）；（2），，，，（在第一卦限内）．答案：略．

习题8-6（A）说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）（2）（3）（4）答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）（2）答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.求曲线在面上的投影．解：由有.因此，曲线在面上的投影为求曲线在面上的投影．解：由有.因此，曲线在面上的投影为画出下列空间区域的草图．（1）由平面及三个坐标面围成；（2）由圆锥面及上半球面围成；（3）由抛物面，平面，及围成；（4）是由不等式及确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在面及面上的投影区域．（1）介于球面内的圆柱体；（2）由圆锥面及抛物柱面围成．答案：略．习题8-6（B）分别求母线平行于轴与轴且都通过曲线的柱面方程．答案：平行于轴：；平行于轴：．求曲线的参数方程．答案：．

总习题八一、填空题1．设向量，，且，，与的夹角，则向量与的数量积；答案：．解析：．2．同时垂直于和的单位向量为；答案：．解析：，所以，即为所求单位向量．3．设单位向量的两个方向余弦为，，则向量的坐标为；答案：．解析：设第三个方向角为，由，得所以．4．过点且平行于直线和直线的平面方程是；答案：．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为，，所以所求平面的法向量为，又因为所求平面过点，由点法式得平面方程为，化简得．5．过点且与平面垂直的直线方程为；答案：．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为由对称式得所求直线方程为．6．过点且通过直线的平面方程是；答案：．解析：点与题中的直线共面，所以点和直线通过的点所形成的向量，直线的方向向量为，所求平面的法向量为，所求平面方程为．7．平面上的抛物线绕轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕轴的旋转曲面方程是，绕轴的旋转曲面方程是．8．曲线在平面上的投影是；答案：．解析：曲线在坐标平面上的投影是坐标平面上的柱面与坐标平面的交线，坐标平面上的柱面方程是，坐标平面的，故投影方程是．二、选择题：1．设向量与满足，则与一定（）；(A)平行(B)同向(C)反向(D)垂直答案：C．解析：当与反向时，，故选C．2．设向量，则有（）；.(A)与垂直(B)与垂直(C)与垂直(D)与平行答案：C．解析：两边乘以，则，故与垂直.3.已知向量的方向平行于向量和之间的角平分线，且，则（）；(A) (B)(C)(D)答案：A．解析：由题意可知，则，，于是可设，又因，故，解得，所以，选A．4．设空间直线的方程为，则该直线必定（）；(A)过原点且垂直于轴 (B)不过原点但垂直于轴(C)过原点且垂直于轴 (D)不过原点但垂直于轴答案：A．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为，轴的单位向量为，所以，，选A．5．已知平面通过点，且垂直于直线，则平面的方程是（）；(A)(B)(C)(D)答案：B．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即，所以平面的方程为，选B．6．若直线与直线垂直，则（）；(A)(B)(C)(D)答案：.解析：直线的方向向量，直线的方向向量，由题意知，故，所以.7．下列结论中错误的是（）；(A)表示椭圆抛物面(B)表示双叶双曲面(C)表示圆锥面(D)表示抛物柱面 答案：B.解析：双叶双曲面的方程为，故选择B.8．曲线在坐标平面上的投影是（）；(A)(B)(C)(D)答案：C．解析：联立两个曲面和，消去得到在坐标平面上的柱面方程为，该柱面与坐标平面的交线即为所求投影，故选C．三、解答题.1．一单位向量与轴轴的夹