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第九章多元函数微分学第三节全微分一、全微分的定义二、函数可微的条件三、全微分在近似计算中的应用四、小结一、全微分的定义复习：一元函数微分的定义设函数在的某邻域有定义，在点给一个增量，假设仍属于该邻域．如果存在不依赖于的常数，使得相应的函数的增量

能表示为

则称在点可微（分），并称为在点的微分，记作或，即.设二元函数在区域上有定义．如果自变量x,y分别获得增量

，那么，相应的函数有增量(称为全增量)

如对,自变量分别获得增量之后，函数的全增量为

增量复杂！能否像一元函数一样，用的线性函数来近似代替？ρ二、函数可微的条件1、函数可微的必要条件定理1如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数与必存在，且有函数f(x,y)在点(x,y)的全微分即为

一元函数：在某点的微分存在导数存在；

多元函数：在某点的全微分存在偏导数存在；？证函数在点处可微分，即有若给自变量x一个增量，而y固定，则有

于是等式两端同时除以，并令，得从而，函数在点处的偏导数是存在的，且

同样可证明，也存在，且

定理2

若函数在点处可微分，那么函数在这点必连续．因此函数在点处连续.证：由函数在点(x,y)处可微分，有或定理2反过来是不成立的，即连续未必可微！在某点的全微分存在偏导数存在；？例如：函数在点(0,0)处的两个偏导数都是存在的，并且都等于零．但是该函数在(0,0)处却不可微．显然，在点(0,0)处，偏导数存在：即该函数在(0,0)点处是不可微的，只需证明事实上则而（见例8.1例3）这说明因此函数在(0,0)处不可微．2、函数可微的充分条件定理3若函数在点处的偏导数与都存在并且连续，那么在点处函数是可微的.与一元函数类似，我们把自变量的增量分别用来表示，则在点处的全微分可以写为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数，如若三元函数可微，则函数可微函数连续偏导数存在且偏导数连续偏导数存在二元函数连续、可导、可微的关系例1

求函数的全微分.解

因此

解

于是

例2

求函数在点的全微分.因此

例3

求函数的全微分.解

因此

三、全微分在近似计算中的应用若函数在点处可微，那么在这点有当充分小时，有或记，上式可以表示为

右端的线性函数为函数在点附近的局部线性化．例4

计算的近似值.解设函数

因为

显然，要计算的值是函数在x=1.97,y=1.05时的函数值取

所以，由公式得例5

一个圆柱形构件受压后发生形变，它的半径由20cm增加解设构件的高为h，底半径为r，体积为V,则由于

到20.05cm，高由100cm减少到99cm，求此构件体积变化的近似值.于是

当

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