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第九章多元函数微分学第四节多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的微分法二、一阶全微分形式的不变性三、小结一、多元复合函数的微分法1．复合函数的中间变量均为一元函数时的情形点可导；定理1（1）函数都在（2）函数在对应的点处有连续的偏导数．在点可导，且有则复合函数链式法则树形图
全导数区分导数的符号分段相乘；分叉（路径）相加；
在与定理1相类似的条件下点可导，则函数对于t是可导的，且有都在例如，设函数
链式法则可以推广到复合函数的变量多于两个的情形．例1
设函数其中，求解由于由链式法则，得2．复合函数的中间变量为多元函数的情形定理2(1)函数在点存在偏导数；在的对应点(2)函数处存在连续的偏导数则复合函数在点对的偏导数都存在，且有链式法则例2
设函数，其中，求解
由链式法则,得例3
设函数，求解
令，这时，根据链式法则，有例4
设函数，f具有连续二阶偏导数，求则解
令显然f是一个抽象复合函数，由链式法则，有需要注意的是，树形结构与f相同.仍为抽象复合函数，例4
设函数，f具有连续二阶偏导数，求解
于是根据链式法则，有为了书写方便，引入下面得到记号：中的下标1表示对第一个中间变量u求偏导，中的下标2表示对第二个中间变量v求偏导，表示先对第一个中间变量u,再对第二个中间变量v求偏导，从而例3的结果可以写为3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3(1)函数在点存在偏导数，在x可导；在的对应点(2)函数处存在连续的偏导数则复合函数在点对的偏导数都存在，且有
对中间变量有三个或三个以上，而其中有的是多元函数，有的是一元函数时，也有类似的结论.设函数具有连续偏导数，具有偏导数，则复合函数可看作情形2中由链式法则可得复合函数在点对的偏导数为想一想，这里的有什么区别？例5
设函数而，求解
由链式法则例6
设其中求解
由链式法则例7
求函数的偏导数解
令，则由链式法则，有二、一阶全微分形式的不变性多元函数也有类似的性质.设函数z=f(u,v)可微，当是自变量时，有全微分当是的中间变量时，即且都具有连续偏导数，则复合函数在点(x,y)的全微分为对复合函数利用链式法则，有所以由此可见，无论u和v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分形式是一样的.例8
利用微分形式不变性求且的全微分.解
由一阶全微分形式的不变性，有又u和v是关于x和y的函数，且代入合并含有dx和dy的项，有三、小结1、多元复合函数的微分法（链式法则）
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