《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 13-2 一阶常系数线性差分方程

第十三章差分方程第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程二、一阶常系数非齐次线性差分方程三、小结一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中是常数，当不恒等于零时，称差分方程是非齐次的；当恒等于零时，称差分方程是齐次的，即为称(2)是(1)所对应的齐次线性差分方程.一、一阶常系数齐次线性差分方程1、迭代法齐次线性差分方程可化为于是，利用数学归纳法可证明若令y0=C(任意常数)，则差分方程(2)的通解为解：例1将方程变形为由于y0=1，则有所以，原方程满足初始条件y0=1的特解为2、特征根法齐次线性差分方程可化为即这说明齐次差分方程的解与它的一阶差分只相差一个常数因子倍数，故可认定yx是某个指数函数，不妨设将其代入齐次差分方程，得即所以从而由解的结构可得齐次线性差分方程的通解为因此是齐次差分方程的一个解.特征方程特征根解：例2特征方程为得特征根所以原差分方程的通解为例3

解：将差分方程改写为得特征根特征方程为所以原差分方程的通解为由初始条件y0=3，得C=3，因此所求的特解为二、一阶常系数非齐次线性差分方程由解的结构知，差分方程(1)的通解由两项的和组成：一项是该方程的一个特解，另一项是对应的齐次差分方程的通解.在前一部分已经讨论完齐次线性差分方程的通解，所以接下来只讨论特解的求法.1、迭代法差分方程(1)可化为以此类推，由数学归纳法得差分方程(1)的一个特解为又因为差分方程(1)对应的齐次线性差分方程的通解为所以差分方程(1)的通解为解：例4

其通解为再利用迭代法，可得原方程的一个特解所以原差分方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为解：例5

其通解为再利用迭代法，可得原方程的一个特解所以原差分方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为2、待定系数法[1]f(x)为多项式型：差分方程(1)可改写为因此可假设差分方程的解为以下的待定式这里Qn(x)是n次待定多项式，k的取值按下列方式确定解：例6

所以齐次线性方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为又因为1不是特征根，且右端函数为零次多项式，则可设特解为将代入原方程，有得b=1.于是原方程的通解为解：例7所以齐次线性方程的通解为又因为1是特征根，且右端函数为二次多项式，则可设特解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为将代入原方程，有于是有所以原方程的通解为此时差分方程(1)可写为[2]f(x)为指数函数与多项式之积型：这是右端函数为多项式型的非齐次线性差分方程.由待定系数法得它的特解，则原方程的特解为解：例8所以齐次线性方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为由于1不是特征根，且上面方程的右端函数为一次多项式，所以可假设再求原方程的一个特解.代入原方程，化简得解：例8比较同次幂的系数，得于是得到原方程的一个特解因此，原方程的通解为此时差分方程(1)可写为[3]f(x)为三角函数型：它对应的齐次线性差分方程的通解为(i)(ii)解：例9

三、小结1、一阶常系数齐次线性差分方程求